Все работы по ИД МАТАНУ FAIT1 / INTEGRAL 3
.doc-
Найти массу материальной дуги линии , если линейная плотность в каждой точке равна
Ответ.
-
Найти массу первого витка винтовой линии , , , если плотность в каждой точке линии равна модулю радиус-вектора этой точки.
Ответ.
99. Найти массу четверти эллипса , лежащей в первом квадранте, если плотность в каждой точке равна произведению координат этой точки.
Ответ.
100. Найти массу четверти окружности , расположенной в первом квадранте, если плотность массы в каждой точке пропорциональна абсциссе этой точки (коэффициент пропорциональности ). Ответ.
101. Найти массу материальной дуги линии , , , , если линейная плотность её равна Ответ.
102. Найти массу участка цепной линии между точками x1=0 и x2=a, если плотность в каждой её точке обратно пропорциональна ординате точки и равна δ в точке (0, a). Ответ. δa.
103. Найти массу дуги конической винтовой линии , , от точки O(0,0,0) до A(a,0,a), если плотность в каждой точке кривой выражается формулой Ответ.
104. Найти координаты центра масс дуги винтовой линии , если линейная плотность в каждой точке пропорциональна произведению координат этой точки.
Ответ.
105. Найти массу лемнискаты , если линейная плотность в каждой её точке равна модулю ординаты точки. Ответ.
-
Найти работу силы при перемещении точки вдоль дуги синусоиды . Ответ.
-
Найти работу, производимую силой при перемещении точки вдоль дуги астроиды от точки A(a, 0) до точки Ответ.
108. Найти работу поля при передвижении точки вдоль дуги линии Ответ. 1,1.
-
Найти работу силы при перемещении материальной точки вдоль дуги эллипса x=cost, y=2sint, расположенной в первой четверти. Ответ.
-
Найти работу, производимую силой при перемещении точки вдоль ломанной ABC, A(1,1), B(3,1), C(3,5).
Ответ. 190.
-
Показать, что работа, производимая силой , не зависит от вида пути с началом в точке O(0,0) и концом в точке A(1,1). Найти эту работу. Ответ. 1.
-
Показать, что работа, производимая силой, не зависит от пути перемещения точки, и найти эту работу, если точка перемещается из положения O(0,0) в положение A(2,2). Ответ. 8.
-
Показать, что работа поля не зависит от вида пути перемещения точки. Найти работу при перемещении точки из положения (0,0) в положение (1,1). Ответ. 2.
-
Показать, что работа силы не зависит от формы пути, а зависит только от начальной и конечной точек перемещения. Найти работу этой силы при перемещении точки из положения O(0,0) в положение M(1,1). Ответ. 1.
-
Показать, что работа при перемещении точки в поле не зависит от формы пути. Найти работу при перемещении точки из положения (0,0) в положение (π, π). Ответ. .
-
Проекции силы F на оси координат задаются формулами и . Показать, что работа силы при перемещении точки зависит только от начального и конечного положений точки и не зависит от формы пути. Найти работу при перемещении точки из положения (1,0) в положение (0,3). Ответ. 0.
-
Поле образованно силой. Определить работу этого поля при перемещении массы m по контуру, образованному полуосями координат и первой четвертью эллипса , . Ответ.
-
В каждой точке M эллипса , приложена сила F, равная по величине расстоянию от точки M до центра эллипса и направленная к центру эллипса. Найти работу силыF при перемещении точки вдоль дуги эллипса, лежащей в первом координатном угле. Ответ.
-
В каждой точке плоскости на материальную точку действует силаF . Найти работу силыF при перемещении точки из начала координат в точку (1,1) по двухзвенной ломаной, звенья которой параллельны осям координат (рассмотреть два случая). Ответ. 1,5 и 1.
-
В каждой точке плоскости на материальную точку действует сила, имеющая постоянную величину F и направление положительной оси абсцисс. Найти работу этой силы при перемещении точки вдоль дуги окружности лежащей в I квадранте. Ответ. FR.
Задания 121-130: Доказать, что заданное выражение является дифференциалом некоторой функции; найти эту функцию:
Задания 131-135: Найти функцию U(x, y), полным дифференциалом которой является данное подынтегральное выражение и вычислить интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница для криволинейного интеграла.
Дополнительные задачи
-
Доказать формулу Дирихле.Пользуясь этой формулой, доказать равенство.
-
Какой из интегралов больше:
а)
б) ?
-
Найти среднее значение функции z=12-2x-3y в области, ограниченной прямыми 12-2x-3y=0, x=0, y=0. Отв. 4.
-
Оценить интеграл , где D – круг . Отв.
-
Вычислить или установить его расходимость. Отв. 2.
-
Вычислить , если . Отв. F(A,B)-F(A,b)-F(a,B)+F(a,b).
-
Вычислить . Отв. .
-
Найти объем тела, ограниченного цилиндрами и плоскостями z = 0, x+y = 2e, . Отв. .
-
На тонкой пластине, имеющей форму параболического сегмента, ограниченного параболой и осью OX, распределён электрический заряд с поверхностной плотностью σ=2x+y. Найти полный заряд пластинки. Отв.
-
Плоское кольцо ограниченно двумя концентрическими окружностями, радиусы которых равны r и R, r<R. Зная, что плотность материала обратно пропорциональна расстоянию от центра окружностей, найти массу кольца. Плотность на внутренней окружности кольца равна единице. Отв. 2πr(R-r).
-
В квадратной пластинке со стороной 3 плотность пропорциональна расстоянию от одной из её вершин. Найти среднее значение плотности пластинки, если в точке, удалённой от указанной вершины на , плотность равна 5. Отв.
-
Найти момент инерции однородного круга радиуса R относительно точки, лежащей на окружности. Отв. .
-
При какой замене переменных x и y на u и v параллелограмм, ограниченный прямыми x+y=1, x+y=2, 2x-y=1, 2x-y=3 на плоскости XOY перейдёт в прямоугольник на плоскости UOV со сторонами, параллельными координатным осям? Сделать чертёж.
-
Вычислить , сделав замену, подобранную в задаче 13 (область D – указанный в задаче параллелограмм). Отв. .
-
Подобрать замену переменных x и y на u и v, при которой область D на плоскости XOY, ограниченная линиями xy=1, xy=2, x-y=1, x-y+1=0, (x>0, y>0), перейдёт в прямоугольник на плоскости UOV, стороны которого параллельны координатным осям. Сделать чертёж.
-
С помощью тройного интеграла найти объём тела, ограниченного поверхностями . Отв.
-
Найти массу однородного тела, ограниченного поверхностями . Отв.
-
В трёхкратном интеграле поменять порядок интегрирования в последовательности: а) y,x,z; б) z,x,y.
-
При каком значении параметра a объём тела, ограниченного поверхностями равен заданному числу V? Отв. .
-
Вычислить , где L – часть спирали Архимеда ρ=2φ, заключённая внутри круга радиуса R с центром в полюсе. Отв.
-
Найти длину дуги пространственной кривой между точками (0,0,0) и (3,3,2). Отв. 5.
-
Вычислить , где L – замкнутый контур квадрата с вершинами (1,0), (0,1), (-1,0), (0,-1). Отв. 0.
-
Вычислить Отв. 0.
-
Доказать, что величина интеграла , где L – замкнутый контур, выражает площадь области, ограниченной этим контуром.
-
Найти функцию U(x,y,z) по её полному дифференциалу Отв. .
-
Сила по величине обратно пропорциональна расстоянию точки её приложения от оси OZ, перпендикулярна к этой оси и направлена к ней. Найти работу силы при движении точки массы m под действием этой силы по окружности x=cost, y=1, z = sint от точки A(1,1,0) до точки B(0,1,1).
Отв. 0,5kln2, k – коэффициент пропорциональности.