Пример 3.5

Найти графически наибольшее и наименьшее значения функции в области Q, ограниченной линиями , , .

Решение.

Используем алгоритм графического метода (информация 3.2.8).

Построим линии , , , ограничивающие область Q. Получим треугольник АВС (рисунок 3.4).

Р

Линии уровня функции имеют уравнение , или . Очевидно, это параболы с вершинами в точках , осью симметрии ОУ, ветви которых направлены вверх. Построим несколько линий уровня, например, при , , , , (рисунок 3.4).

Нам необходимо определить, через какую точку области Q пройдет линия уровня с наибольшим возможным значением С, а через какую – с наименьшим. Нетрудно заметить, что с возрастанием С вершина параболы – линии уровня – поднимается вдоль оси ОУ все выше вверх и последняя из этих линий, проходящая через точки области Q, коснется границы области в точке Р. В этой точке и достигается наибольшее значение функции, которое равно

.

Наоборот, при убывании значения С вершина параболы опускается вниз, и последняя точка области Q, через которую пройдет линия уровня с наименьшим значением С, будет точка В – точка пересечения граничных линий области. Ее координаты можно найти, решая систему уравнений этих линий: откуда , . Таким образом, точка В имеет координаты . Наименьшее значение функции в заданной области равно

.

Замечание. Графический метод особенно удобен для отыскания наибольшего и наименьшего значений линейной функции . В этом случае искомые точки лежат на границе области и чтобы их найти, поступают так. Строят произвольную линию уровня (прямая) и градиент данной функции (этот вектор, как известно, указывает направление возрастания функции, а для линейной функции градиент имеет постоянное направление). Перемещая линию уровня в направлении градиента, находят точку границы (рисунок 3.5), через которую линии уровня входят в область (точка наименьшего значения функции) и точку, через которую линии уровня выходят из области (точку наибольшего значения функции).

Пример 3.6

Найти наибольшее и наименьшее значения функции в области Q = .

Решение. Данная функция – линейная, поэтому, учитывая замечание, воспользуемся графическим методом решения задачи.

Построим область Q. Множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют неравенству , расположены между прямой и параболой (рисунок 3.6, а)

Линии уровня данной функции имеют уравнение . Построим одну из них, например, при , т.е. прямую l с уравнением (рисунок 3.6, б).

Найдем и построим вектор . Имеем

,

,

откуда . Для линейной функции градиент не зависит от точки приложения, поэтому удобно построить его исходящим из начала координат (рисунок 3.6, б).

Передвигая прямую l в направлении градиента, видим, что точкой «входа» в область линий уровня является точка А, а точкой «выхода» – точка В. Координаты точки В находим из пересечения линий границы:

   .

Очевидно, в точке В , тогда . Итак, функция достигает наибольшего значения в точке В, а наибольшее значение равно

.

Найдем координаты точки А. Эта точка является точкой касания прямой и границы . Значит, в этой точке совпадают угловые коэффициенты этой прямой и касательной к кривой . Угловой коэффициент прямой , или равен . Касательная к линии в каждой точке х имеет угловой коэффициент . Тогда из равенства этих коэффициентов находим

  .

Значит, абсцисса точки А , тогда ордината равна . Таким образом, данная функция достигает наименьшего значения в точке А и это значение равно

.

К отысканию наибольшего (наименьшего) значения функция в области часто приводит решение различных производственных задач. Рассмотрим один из наиболее простых классов таких задач – задачи линейного программирования. Под условным названием «Линейное программирование» понимают задачи на условный экстремум функции нескольких переменных, где и сама функция, и все ограничения, налагаемые на её переменные, линейны относительно этих переменных.

Прежде чем решать задачу производственного характера, относящуюся к задачам линейного программирования, необходимо сформулировать её на математическом языке, или, как говорят, составить математическую модель этой задачи.

Построение математической модели состоит из следующих этапов.

1. Выбрать и обозначить искомые переменные.

2. Составить условия, которым должны удовлетворять эти переменные. Они могут быть записаны в виде равенств или неравенств.

3. Составить функцию , экстремум которой необходимо найти. Эту функцию называют целевой функцией.

Тогда математическая постановка рассматриваемой задачи сводится к следующему: найти наибольшее (наименьшее) значение функции ,переменные которой удовлетворяют условиям:

Если задача содержит только две переменные, то её можно решить графическим методом по образу примера 3.6.