Задание6

а) Ниже приведен пример решения одного варианта транспортной задачи в пакете Mathcad.

Исходные данные: n - количество баз товаров;

m - количество магазинов;

b - вектор размерности m спрос на товар в магазине B_j;

a - вектор размерности n наличия товара на базе A_i;

c – матрица размерности n×m, каждый элемент

которой является затратами на доставку единицы

товара из базы A_i в магазин B_j;

б) Проводим расчеты решения того же варианта транспортной задачи методом потенциалов.

Т.к. , то задача открытая. Для того чтобы свести открытую задачу к закрытой, необходимо ввести один фиктивный магазин со спросом 12 единиц товара. Затраты на провоз из любой базы единицы продукции в этот магазин равны нулю (c_i,j=0).

Разместим интересующие нас данные в таблице. Начальное допустимое решение найдем по правилу минимального элемента матрицы с_i,j. Оно расположено снизу каждой ячейки, а в правом верхнем углу каждой ячейки поместим c_i,j.

j i	0		1		2		3		4		ai	ui
0	0	5	2	9		3	-6	10	-5	0	10	0
					10
1		3	5	10	6	5	-3	9	-2	0	30	3
	30				+1
2	0	7		2		3	-6	8	-5	0	20	0
			10		10
3		8	10	5		11		2	3	0	32	8
	12		+5		10		10		+3
4		5	7	9	8	10	-1	5		0	20	5
	8								12
bj	50		10		30		10		12		112
vj	0		2		3		-6		-5

Стоимость перевозок для этого допустимого решения составляет
F = 436.

Опираясь на базовые (не равные нулю) x_i,j, найдем потенциалы u_i и v_j. Запишем их в последний столбец и последнюю строку таблицы. Затем посчитаем во всех небазовых ячейках невязки ∆_{i j} = u_i + v_j - c_i,j. В таблице внизу ячейки разместим только положительные невязки, т.к. только они нас будут интересовать. Если все они неотрицательны, то допустимое решение является оптимальным, и мы не можем больше уменьшить стоимость перевозок. Задача решена.

Если же есть положительные невязки, то находим самую большую (пусть это будет max(∆_i,j) ) и из нее строим замкнутый контур, выходящий из этой ячейки и поворачивающий только в базовых ячейках. В нашем примере это будет ячейка с j=1 и i=3. По этому контуру “переместим”  - единиц товара, т.е. в нечетных, начиная с первой, вершинах (ячейка, в которой поворачиваем) контура прибавляем , а в четных вершинах отнимаем  - единиц товара. Понятно, что суммы по столбцам и строкам останутся прежними, значит, решение останется допустимым, но произойдет уменьшение стоимости перевозок на величину  = * max(∆_i,j) . В нашем случае =50=10*5.

j i	0		1		2		3		4		ai	ui
0	3	5	0	9		3	-3	10	-2	0	10	0
					10
1		3	0	10	3	5	-3	9	-2	0	30	0
	30
2	3	7	0	2		3	-2	8	-2	0	20	0
					20
3		8		5	8	11		2	3	0	32	5
	12		10				10		+3
4		5	2	9	5	10	-1	5		0	20	2
	8								12
bj	50		10		30		10		12		112
vj	3		0		3		-3		-2

После перемещения по контуру получится новое решение (см. след. таблицу), которое улучшает сумму перевозок F=436-50=386. Новое базовое решение проверяем на оптимальность, подсчитывая заново потенциалы. Повторяем все заново, пока не получим решение, которое нельзя будет улучшить. Нам потребуется еще две итерации.

j i	0		1		2		3		4		ai	ui
0		5		9		3		10		0	10	0
					10
1		3		10		5		9		0	30	0
	30
2		7		2		3		8		0	20	0
					20
3		8		5		11		2		0	32	3
			10				10		12
4		5		9		10		5		0	20	2
	20
bj	50		10		30		10		12		112
vj	3		2		3		-1		-3

Во второй итерации будем перемещать по контуру, который изображен в таблице, 12 единиц товара. Получится улучшение на F=386-3*12=350.

В итоге получится последняя таблица, в которой все невязки неположительные, т.е. оно оптимально и решение совпадает с полученным ранее в пункте а).