Unlock-abramov
.pdfтреугольной матрице (см. задачу 716). Кроме этой последовательности дан вектор b с n элементами. Найти вектор Аb.
719. Симметричные квадратные матрицы А и В порядка n заданы последовательностями из n(n + 1) / 2 чисел, аналогично правым треугольным матрицам (см. задачу 716). Получить в аналогичном виде:
а) матрицу АВ;
б) матрицу A2 − B2 .
§ 22. Численные методы *)
*) С численными методами, рассматриваемыми в задачах этого раздела, можно ознакомиться в [10].
720.Даны действительные числа x1 ,K, xn , y1 ,K, yn , t1 ,K, tm
(x1 < x2 < K< xn , x1 ≤ ti ≤ xn , i = 1,K, m) . Число y представляет собой значение некоторой функции f от аргумента; y j = f (x j )
( j = 1,K, n) . С помощью линейной интерполяции получить значения f(t1), f(t2), …, f(tт).
721. Даны действительные числа h, x1, …, xn, y1, …, yn. Все сказанное о x1, …, xn, y1, …, yn в предыдущей задаче остается в силе. С помощью линейной интерполяции получить значения функции f для значений аргументов, равных x1, x1+h, x1+2h, ..., x1+kh, где k - наибольшее целое, для которого x1+ kh ≤ xn.
722.Даны натуральное число n, действительные числа x1, ..., xn, y1, ..., yn. Рассмотреть предыдущую задачу, считая, что h = (xn – x1)/n (ответом должна служить последовательность, содержащая n+1 число).
723.Даны действительные числа x1, ..., xn, y1, ..., yn, t (x1<x2<
...<xn , y1 ≤ t ≤ yn). Предполагается, что y1, ...,yn представляют собой результаты измерения температуры воздуха в моменты времени x1, ..., xn. С помощью линейной интерполяции указать все моменты времени,
вкоторые температура воздуха была равна t (не исключен случай
yj=yj+1=t для некоторых j (1 ≤ j ≤ n – 1)).
724. Вернуться к задачам 721, 723, считая, что разности между соседними известными значениями аргумента x1, ..., xn равны между собой: xn – xn-1= xn-1 – xn-2 = ... = x2 – x1= h. Вместо x1, ..., xn задаются x1 и h, порядок остальных исходных данных не изменяется.
725. Дано действительное положительное число ε . Методом деления отрезка пополам найти приближенное значение корня уравнения f(x) = 0. Абсолютная погрешность найденного значения не должна превосходить ε . (Ниже, рядом с уравнением f(x) = 0, дополнительно указан отрезок , содержащий корень.)
а) x + ln(x + 0.5) – 0.5 = 0, |
[0, 2]; |
|
||||||
б) x5 – x – 0.2 = 0, |
|
[1, |
1.1]; |
|
|
|||
в) x4 + 2x3 – x – 1 = 0, |
[0, 1]; |
|
||||||
г) x3 – 0.2x2 – 0.2x – 1.2 = 0, |
[1, |
1.5]; |
||||||
д) |
2sin 2 x |
− |
3cos2 |
x |
= 0, |
[0, π /2]; |
||
3 |
4 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
е) x4 + 0.8x3 – 0.4x2 – 1.4x – 1.2 = 0, |
[–1.2, –0.5]; |
|||||||
ж) x4 – 4.1x3 + x2 – 5.1x + 4.1 = 0, |
[3.7, 5]. |
|||||||
726. Дано действительное положительное число ε . Методом |
||||||||
хорд вычислить с точностью ε |
*) корень уравнения f(x) = 0 (ниже, |
следом за уравнением f(x) = 0, дополнительно задан отрезок, содержащий корень):
а) |
x 2x – 1 = 0, |
[0, 1]; |
|
|
|
||
б) x2 – sin 5x = 0, |
[0.5, 0.6]; |
|
|
||||
в) |
2sin 2 2x |
– |
3cos2 2x |
= 0, |
[0, π /4]; |
|
|
3 |
|
4 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
||
г) x3 – 2x2 + x – 3 = 0, |
[2.1, |
2.2] |
|
||||
д) (4 + x2)(ex – e-x) = 18, |
[1.2, 1.3]; |
|
|||||
е) x4 + 0.5x3 – 4x2 – 3x – 0.5 = 0, |
[–1, |
0]; |
|||||
ж) x2 – 1.3 ln( x + 0.5) – 2.8x + 1.15 = 0, |
[2.1, 2.5]. |
*) Когда заходит речь о «вычислении с точностью ε », следует иметь в виду, что лишь немногие численные методы, основанные на построении последовательных приближений x0, x1, ... к искомому числу x, гарантируют, подобно методу деления отрезка пополам, что абсолютная погрешность найденного значения будет меньше ε . Будем
считать, что требуемая точность ε |
|
достигнута, как только получено |
||
такое xm (при m > 1), для которого |
|
xm − xm− 1 |
|
< ε . В данной задаче |
|
|
предполагается, что в программе будет реализован именно этот подход
коценке точности.
727.Вернуться к предыдущей задаче, считая, что построение приближений к корню уравнения f(x) = 0 следует закончить, когда
будет получено такое приближение x , для которого f (x) < ε . (Этот
y |
y |
x |
x |
а |
б |
|
Р и с . 4 1 |
подход к оценке точности может быть приемлемым только в тех
случаях, когда известно, что f (x) не принимает значений меньшеε
при значениях x, удаленных от корня уравнения f(x) = 0; рис.41, а, б.) 728. В уравнениях, приведенных в задачах 725, 726, вычислить
корень, находящийся в заданном отрезке (отрезок следует за уравнением), методом деления отрезка пополам и методом хорд с одной и той же точностью ε . Сравнить количество шагов, которые нужно сделать для получения корня этими методами.
729. Дано действительное положительное ε . Методом касательных вычислить с точностью ε (см. замечание к № 726) корень уравнения f(x) = 0 (ниже, следом за уравнением f(x) = 0, в скобках указано начальное приближение к корню):
а) x3 – 2x2 + x – 3 = 0, (2.2); б) tg x – x = 0, (4.67);
в) 1.8 x4 – sin 10x = 0, (0.22);
г) x4 – 3x2 + 75x – 10000 = 0, (–11); д) x3 – 6x2 + 20 = 0, (2.31).
730. Решить методом касательных перечисленные в предыдущей задаче уравнения, прекращая построение приближений к корню уравнения f(x) = 0 в тот момент, когда будет получено такое приближение x , для которого f (x) < 0.00001.
731. Дано действительное положительное число ε . Методом итераций вычислить с точностью ε (см. замечание к № 726) корень уравнения f(x) = 0 (ниже, следом за уравнением f(x) = 0, в скобках указано начальное приближение к корню):
а) x − |
sin x |
|
– 1 = 0, (0); |
|
2 |
||||
|
|
|
б) 2x3 + 4x – 1 = 0, (0.11); в) x3 + 12x – 2 = 0, (0.95); г) 5x – 8 ln x = 8, (4.32);
д) x3 + x = 1000, (9.42); е) x – sin x = 0.25, (1.17);
ж) x3 – 6x2 + 20 = 0, (2.25);
з) 5x3 + 10 x2 + 5x – 1 = 0, (0.6).
732. Сравнить методы деления отрезка пополам, хорд, касательных и итераций, поочередно используя их для решения одного и того же уравнения. Независимо от метода построение приближений к корню уравнения f(x) = 0 следует заканчивать, как только будет получено такое приближение x , для которого f (x) <ε . Значениеε
следует поочередно брать равным 0.01, 0.001, ..., 0.0000001. Для каждого из методов построить график или столбчатую диаграмму изменения числа потребовавшихся приближений при переходе от одного значенияε к другому. В качестве уравнения, на котором
проводится сравнение методов, и отрезка, которому принадлежит корень, следует взять:
а) x3 + x2 – 3 = 0, [0.6, 1.4]; б) x5 – x – 0.2 = 0, [0.9, 1.1]; в) 5x3 – x – 1 = 0, [0.6, 0.8]; г) x3 – 2x – 5 = 0, [1.9, 2.93]; д) x3 + x = 1000, [9.1, 10]; е) x4 + 2x3 – x – 1 = 0, [0, 1].
Для метода касательных и итераций в качестве начального приближения выбирается подходящий конец отрезка.
733. Дано действительное положительное число ε . Найти с помощью подходящих методов все корни уравнения f(x) = 0 с точностью ε . Для получения отрезков, содержащих по одному корню уравнения f(x), или для получения начальных приближений к корням исследовать график функции y = f(x). В качестве f(x) рассмотреть: