mekhanik7

1. Вращательное движение. Его кинематические и динамические характеристики

Враща́тельное движе́ние — вид механического движения. При вращательном движении абсолютно твёрдого тела его точки описывают окружности, расположенные в параллельных плоскостях. Центры всех окружностей лежат при этом на одной прямой, перпендикулярной к плоскостям окружностей и называемой осью вращения. Ось вращения может располагаться внутри тела и за его пределами

2. Кинематика вращения

1. При вращательном движении твердого тела величина пройденного пути всех точек тела различна, а дуги всех точек тела опираются на одинаковые центральные углы.

Угол поворота (первая кинематическая характеристика вращательного движения).

Существуют две меры измерения углов: градусная и радианная.

В физике принята только радианная мера измерения углов.

Если известен пройденный телом путь и радиус орбиты, по которой оно движется, то можно получить формулу взаимосвязи линейных и угловых характеристик:

.

Это выражение радианной меры угла.

С точки зрения физики, в данной формуле S длина пройденного пути какой-то точкой тела, а R - радиус ее траектории.

Эта формула является взаимосвязью угловой характеристики движения с линейной.

Угловая характеристика - это характеристика движения тела в целом.

Линейная характеристика - это характеристика любой точки этого тела.

2. Если есть угол поворота, то существует угловая скорость (средняя угловая скорость и мгновенная угловая скорость).

.

Мгновенная угловая скорость равна

.

Можно найти связь между угловой скоростью и линейной скоростью любой точки этого тела:

.

3. Очень часто вместо угловой скорости используется понятие частоты вращения ( величина, равная числу оборотов в единицу времени)

4. Если , то вращение равномерное, его характеризуют периодом вращения Т ( время, за которое точка совершает один полный оборот).

.

5. Аналогично можно ввести понятие углового ускорения, если тело вращается равноускоренно, то

.

3. Динамические характеристики вращения твердого тела

Динамика вращения тоже требует введения новых характеристик движения твердого тела.

Такими характеристиками являются момент инерции, момент силы и момент импульса.

1. Момент инерции (материальной точки и твердого тела).

а). Моментом инерции материальной точки называется скалярная величина, численно равная произведению массы точки на квадрат радиуса орбиты, по которому движется точка.

.

Так как момент инерции скалярная величина, то момент инерции системы материальных точек, составляющих систему, равен сумме моментов инерции материальных точек, входящих в данную систему.

б). Отсюда можно найти момент инерции тела.

Тело разбивается на материальные точки, тогда момент инерции тела будет равен сумме моментов инерций материальных точек, составляющих данное тело.

.

ВЫВОД: Момент инерции зависит не только от массы тела и его размеров, но и от распределения массы относительно оси вращения.

Для упрощения нахождения момента инерции тела используется теорема Штейнера: Момент инерции тела относительно любой оси вращения равен моменту его инерции относительно параллельной оси, проходящей через центр масс тела, сложенному с произведением массы тела на квадрат расстояния между осями.

.

2. Действие силы при вращении зависит не только от величины этой силы, но и от ее расположения относительно оси вращения (удаленность силы, направленность силы).

Моментом силы называется векторная величина, равная произведению силы на плечо этой силы.

Плечо силы - это длина перпендикуляра от оси вращения до линии действия силы.

.

Примечания:

1. Силы, линия действия которых проходит через ось вращения, не создают вращательного момента.

2. Силы, параллельные оси вращения, тоже не создают вращательного момента силы.

3. Момент импульса (количества движения) - это векторная величина, численно равная произведению момента инерции на угловую скорость.

.

Момент импульса направлен вдоль оси вращения так, чтобы его направление совпадало с поступательным движением правого винта.

2. Связь угловой и линейной скоростей материальной точки при ее вращении вокруг неподвижной оси

Угловой скоростью вращения называется вектор, численно равный первой производной угла поворота тела по времени и направленный вдоль оси вращения по правилу правого винта:

                                                                                   

      Единица измерения угловой скорости радиан в секунду (рад/с).       Таким образом, вектор ω определяет направление и быстроту вращения. Если ω=const, то вращение называется равномерным.       Угловая скорость может быть связана с линейной скоростью υ произвольной точки А. Пусть за время Δt точка проходит по дуге окружности длину пути Δs. Тогда линейная скорость точки будет равна:

3. Момент инерции материальной точки твердого тела. От каких факторов зависит момент инерции твердого тела

Момент инерции — скалярная физическая величина, мера инертности во вращательном движении вокруг оси, подобно тому, как масса тела является мерой его инертности в поступательном движении.

Момент инерции твёрдого тела относительно какой-либо оси зависит не только от массы, формы и размеров тела, но также от положения тела по отношению к этой оси. Согласно теореме Штейнера (теореме Гюйгенса-Штейнера), момент инерции тела J относительно произвольной оси равен сумме момента инерции этого тела J_c относительно оси, проходящей через центр масс тела параллельно рассматриваемой оси, и произведения массы тела m на квадрат расстояния d между осями:

Если  — момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс тела, то момент инерции относительно параллельной оси, расположенной на расстоянии от неё, равен

,

где  — полная масса тела.

Например, момент инерции стержня относительно оси, проходящей через его конец, равен:

4. Виды механической энергии

В механике различают два вида энергии: кинетическую и потенциальную. Кинетической энергией называют механическую энергию всякого свободно движущегося тела и измеряют ее той работой, которую могло бы совершить тело при его торможении до полной остановки.          

 

Потенциальная энергия – это механическая энергия системы тел, определяемая их взаимным расположением и характером сил взаимодействия между ними. Понятие «потенциальная энергия» имеет место только для консервативных систем, т.е. систем, у которых работа действующих сил зависит только от начального и конечного положения системы. Так, для груза весом P, поднятого на высоту h, потенциальная энергия будет равна E_n = Ph (E_n = 0 при h = 0); для груза, прикрепленного к пружине, E_n = kΔl² / 2, где Δl - удлинение (сжатие) пружины, k – ее коэффициент жесткости (E_n = 0 при l = 0); для двух частиц с массами m₁ и m₂, притягивающимися по закону всемирного тяготения, , где γ – гравитационная постоянная, r – расстояние между частицами (E_n = 0 при r → ∞).

5. Закон сохранения энергии в механике

Закон сохранения энергии: при взаимодействии тел общая энергия всей системы взаимодействующих тел остаётся постоянной величиной — происходит лишь перераспределение энергии между телами и преобразование её из потенциальной формы в кинетическую и обратно (в более общем случае возможно преобразование энергии в другие виды, например из механической в электромагнитную или тепловую, однако суммарная энергия системы всё равно не изменяется). Внимание! Закон сохранения механической энергии неинвариантен и в полной мере выполняется лишь в одной инерциальной системе отсчёта, неподвижной относительно центра масс всей системы взаимодействующих тел!

6. Маятник максвелла

Маятник Максвелла представляет собой диск, неподвижно закрепленный на тонком стержне. На концах стержня симметрично относительно диска закреплены нити, с помощью которых маятник подвешен к штативу. При вращении маятника нити могут наматываться на стержень или сматываться с него, обеспечивая тем самым перемещение маятника вверх - вниз. Если, намотав нити на ось, поднять маятник на некоторую высоту и отпустить его, то он начнет опускаться под действием силы тяжести, приобретая одновременно и вращательное движение. В нижней точке, когда маятник опустится на полную длину нитей, поступательное движение вниз прекратится. Нити станут наматываться на вращающийся по инерции стержень, а маятник начнет подниматься вверх, постепенно замедляя свое вращение. После достижения наивысшей точки цикл колебательного движения возобновится.  

7. Вывод расчетной формулы

Если  mg — сила тяготения; T — сила натяжения одной нити; R — радиус стрежня; J — момент инерции маятника; тогда уравнение для поступательного движения можно записать так: mg − 2T = ma,

где a — ускорение центра масс. Уравнение для вращательного движения  при этом будет иметь вид: M = mR(g − a) = 2TR=J e,

где e – угловое ускорение.

Маятник движется с постоянным ускорением. Если h – расстояние, пройденное за время t, при равноускоренном движении с нулевой начальной скоростью, то момент инерции можно найти по формуле: J=mR²((gt²)/(2h)-1).

8. Какую часть полной кинетической энергии диска составляет кинетическая энергия вращательного движение диска при скатывании его по наклонной плоскости с некоторой высоты