Механика жидкостей и газов

1. Уравнение неразрывности струи

VS = const,

где S - площадь поперечного сечения трубки тока, V - скорость течения жидкости, VS  объемный расход жидкости, т.е. объем жидкости, протекающий через сечение трубки тока в единицу времени.

2. Для установившегося течения идеальной несжимаемой жидкости имеет место уравнение Бернулли

где   плотность жидкости, V  скорость движения жидкости в данном сечении трубы, h  высота данного сечения трубы над некоторым уровнем, Р  статическое давление.

3. Скорость V истечения жидкости из малого отверстия, находящегося на глубине h относительно уровня жидкости в сосуде

4. Сила сопротивления, испытываемая шариком при падении в вязкой жидкости (формула Стокса)

F = 6rV,

где   коэффициент внутреннего трения жидкости, r  радиус шарика, V  его скорость.

5. Характер движения жидкости (газа) определяется числом Рейнольдса

где   динамическая вязкость жидкости (газа),  кинематическая вязкость, D  величина, характеризующая линейные размеры тела. Для потока жидкости в длинных трубах D  диаметр трубы, V  средняя по сечению скорость течения жидкости. Для движения шарика в жидкости D  диаметр шарика, V  скорость движения шарика.

6. Объем жидкости (газа), протекающей за время t через длинную трубку длиной l (формула Пуазейля)

где R  радиус трубки, p  разность давлений на концах трубки,   кинематическая вязкость.

238. Какой наибольшей скорости может достичь дождевая капля диаметром 0,3 мм, если динамическая вязкость воздуха равна 1,210^-4 гсм^-1с^-1? (4,1 м/с).

239. Стальной шарик диаметром 1 мм падает с постоянной скоростью 0,185 см/с в большом сосуде, наполненном касторовым маслом. Найти динамическую вязкость касторового масла. (2 Нс/м²).

240. Пробковый шарик радиусом 5 мм всплывает в большом сосуде, наполненном касторовым маслом. Определить динамическую и кинематическую вязкости касторового масла в условиях опыта, если шарик всплывает с постоянной скоростью 3,5 см/с. (1,09 Нс/м², 1,2110^-3 м²/с).

241. Смесь свинцовых дробинок диаметром 3 мм и 1 мм опустили в бак с глицерином глубиной 1 м. Какие дробинки упадут на дно позже? На сколько позже? Динамическая вязкость глицерина при температуре опыта 14,7 гсм^-1с^-1. (на 4 мин.)

242. В бочку заливается вода со скоростью 200 см³/с. На дне бочки образовалось отверстие площадью поперечного сечения 0,8 см². Пренебрегая вязкостью воды, определить уровень воды в бочке. (31,9 см).

243. Шарик всплывает с постоянной скоростью в жидкости, плотность которой в 3 раза больше плотности материала шарика. Определить, во сколько раз сила трения, действующая на шарик, больше его веса. (2).

244. Стальной шарик диаметром 0,8 см падает с постоянной скоростью в касторовом масле с динамической вязкостью 0,99 Пас. Определить характер движения масла, обусловленное падением в нем шарика, если критическое значение числа Рейнольдса 0,5. (турбулентное).

245. По трубе радиусом 1,5 см течет углекислый газ, плотность которого 7,5 кг/м³. Определить скорость течения газа, если за 20 минут через поперечное сечение трубы протекает 950 г газа. (0,15 м/с).

246. В сосуд заливается вода с постоянной скоростью 0,5 л/с. Пренебрегая вязкостью воды, определить диаметр отверстия в сосуде, при котором вода поддерживалось бы в нем на постоянном уровне h=20 см. (1,8 см).

247. Определить работу, которая затрачивается на преодоление трения при перемещении 1,5 м³ в горизонтальной трубе от сечения с давлением 40 кПа до сечения с давлением 20 кПа. (30 кДж).

248. Пренебрегая вязкостью жидкости, определить скорость истечения жидкости из малого отверстия в стенке сосуда, если высота уровня жидкости над отверстием составляет 1,5 м. (5,42 м/с).

249. В дне цилиндрического сосуда диаметром 0,5 м имеется круглое отверстие диаметром 1 см. Найти зависимость скорости понижения уровня воды в сосуде от высоты этого уровня и численное значение этой скорости для высоты уровня h = 0,2 м. (810^-4 м/с).

250. На столе стоит сосуд с водой, в боковой поверхности которого имеется малое отверстие, расположенное на расстоянии 25 см от дна сосуда и на расстоянии 16 см от уровня воды. Уровень воды в сосуде поддерживается постоянным. На каком расстоянии от отверстия (по горизонтали) струя воды падает на стол? (40 см).

251. Цилиндрический бак высотою 1 м наполнен до краев водой. За какое время вся вода выльется через отверстие, расположенное у дна бака? Площадь поперечного сечения отверстия в 400 раз меньше площади поперечного сечения бака. (3 мин.).

252. Какое давление создает компрессор в краскопульте, если струя жидкой краски вытекает из него со скоростью 25 м/с? Плотность краски 0,8 г/см³. (2,5 атм.).

253. Вода течет по цилиндрической трубе, причем за 1 с через ее поперечное сечение протекает 200 см³ воды. Динамическая вязкость воды в условиях опыта равна 0,001 Нс/м². Определить, при каком предельном значении диаметра трубы движение воды остается ламинарным. Считать, что ламинарность движения жидкости в цилиндрической трубе сохраняется при Re = 3000. (0,085 м).

254. В боковую поверхность сосуда вставлен горизонтальный капилляр, внутренний радиус которого 1 мм и длина 1,5 см. В сосуд налит глицерин, динамическая вязкость которого в условиях опыта равна 1,0 Нсм^-2 Уровень глицерина в сосуде поддерживается постоянным на высоте 18 см выше капилляра. Сколько времени потребуется на то, чтобы из капилляра вытекло 5 см³ глицерина? (1,5 мин.).

255. На столе стоит сосуд, в боковую поверхность которого вставлен горизонтальный капилляр на высоте 5 см от дна сосуда. Внутренний радиус капилляра 1 мм, длина 1 см. В сосуд налито машинное масло, плотность которого 900 кг/м³ и динамическая вязкость 0,5 Нсм^-2. Уровень масла в сосуде поддерживается постоянным на высоте 50 см выше капилляра. Найти, на каком расстоянии от конца капилляра (по горизонтали) струя масла падает на стол. (0,011 м).

256. В боковую поверхность цилиндрического сосуда радиусом 2 см вставлен горизонтальный капилляр, внутренний радиус которого 1 мм и длина 2 см. В сосуд налито касторовое масло, динамическая вязкость которого в условиях опыта равна 12 г´см^-1с^-1. Найти зависимость скорости понижения уровня касторового масла в сосуде от высоты этого уровня над капилляром. Найти численное значение этой скорости при высоте уровня над капилляром 26 см. (310^-5 м/с).

257. Вода течет в горизонтально расположенной трубе переменного сечения. Скорость течения в широкой части трубы 20 см/с. Определить скорость течения воды в узкой части трубы, диаметр которой в 1,5 раза меньше диаметра широкой части. (0,45 м/с).

258. В широкой части горизонтально расположенной трубы переменного сечения нефть течет со скоростью 2 м/с. Определить скорость течения нефти в узкой части трубы, если разность давлений в широкой и узкой частях трубы 50 мм рт.ст. Плотность нефти 900 кг/м³. (4,3 м/с).

259. В горизонтально расположенной трубе сечением 20 см² течет жидкость. В одном месте труба имеет сужение сечением 12 см². Разность уровней жидкости в двух манометрических трубках, установленных в широкой и узкой частях трубы, равна 8 см. Определить объемный расход жидкости. (1,910^-3 м³/с).

260. Горизонтальный цилиндр насоса имеет диаметр 20 см. В нем движется со скоростью 1 м/с поршень, выталкивая воду через отверстие диаметром 2 см. С какой скоростью вода вытекает из отверстия? Каково избыточное давление воды в цилиндре? (100 м/с, 5 МН/м²).

261. В трубе с внутренним диаметром 3 см течет вода. Определить максимальный массовый расход воды при ламинарном течении. Считать, что ламинарность течения сохраняется при Re = 2300. (0,542 кг/с).

262. По трубе течет машинное масло. Максимальная скорость, при которой движение масла в этой трубе еще остается ламинарным, равна 3,2 см/с. При какой скорости движение глицерина в этой же трубе переходит от ламинарного к турбулентному? (0,048 м/с).

263. Вода течет по круглой гладкой трубе диаметром 5 см со средней по сечению скоростью 10 см/с. Определить число Рейнольдса для потока жидкости в трубе и указать характер движения жидкости.(5000; движение турбулентное).

264. Бак высотой 2 м до краев заполнен жидкостью. На какой высоте должно быть проделано отверстие в стенке бака, чтобы место падения струи, вытекающей из отверстия, было на максимальном расстоянии от бака? (1 м).

265. Давление ветра на стену 200 Н/м². Ветер дует перпендикулярно стене. Определить скорость ветра, если плотность воздуха 1,29 кг/м³.(17,4 м/с).

266. Струя воды диаметром 2 см, движущаяся со скоростью 10 м/с, ударяется о неподвижную плоскость, поставленную перпендикулярно к струе. Найти силу давления струи на плоскость, считая, что после удара о плоскость скорость частиц воды равна нулю. (31,4 Н).

267. К поршню спринцовки, расположенной горизонтально, приложена сила 15 Н. Определить скорость истечения воды из наконечника спринцовки, если площадь поршня 12 см². (5 м/с).

ЭЛЕМЕНТЫ СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ.

1. Преобразования Лоренца.

где предполагается, что система отсчета К движется со скоростью V в положительном направлении оси Х системы отсчета К, причем оси Х и Х совпадают, а оси Y и Y и Z и Z параллельны . с  скорость распространения света в вакууме.

2. Длина l^ тела, движущегося со скоростью V относительно некоторой системы отсчета К, связана с длиной l тела, неподвижного в этой системе, соотношением

где  = V/с.

3. Промежуток времени t в системе, движущейся относительно наблюдателя со скоростью V, связан с промежутком времени t в неподвижной для наблюдателя системе отсчета соотношением

4. Релятивистский закон сложения скоростей.

Скорость тела u относительно неподвижной системы координат ХУZ связана со скоростью u относительно движущейся со скоростью V системы координат ХYZ соотношением

5. Зависимость массы тела от скорости его движения

где m₀ - масса покоя тела.

6. Полная энергия частицы Е прямо пропорциональна ее массе m:

E = mc² или

Энергия покоя частицы

Е_{о =} m_oc².

7. Релятивистский импульс частицы определяется соотношением

8. Кинетическая энергия релятивистской частицы

268. Релятивистское сокращение длины движущегося тела составляет 25%. С какой скоростью движется тело? (1,9810⁸ м/с).

269. С какой скоростью должно двигаться тело, чтобы его продольные размеры уменьшились в два раза? (2,610⁸ м/с).

270. Определить, во сколько раз увеличивается время жизни нестабильной частицы (по часам неподвижного наблюдателя), если она начинает двигаться со скоростью, равной 90% скорости света. (2,29).

271. Собственное время жизни нестабильной частицы на 2% отличается от ее времени жизни по неподвижным часам. Определить скорость движения частицы. (5,910⁷ м/с).

272. Фотонная ракета движется со скоростью 0,6с относительно Земли. Во сколько раз замедляется ход времени в ракете с точки зрения земного наблюдателя? (В 1,25 раза).

273. Мезон, входящий в состав космических лучей, движется со скоростью, составляющей 95% от скорости света. Какой промежуток времени по часам земного наблюдателя соответствует одной секунде собственного времени мезона? (3,2 с).

274. Ионизированный атом, вылетев из ускорителя со скоростью, составляющей 80% от скорости света, испустил фотон в направлении своего движения. Определить скорость фотона относительно ускорителя.

275. Космический корабль удаляется от Земли со скоростью, составляющей 70% от скорости света. В некоторый момент времени с него стартует исследовательская ракета в направлении движения (от Земли) со скоростью, составляющей 80% от скорости света. Определить скорость ракеты относительно Земли. (2,9 ´10⁸ м/с).).

276. Две ракеты движутся навстречу друг другу относительно неподвижного наблюдателя с одинаковой скоростью, составляющей 50% скорости света. Определить скорость сближения ракет по классической и релятивистской формулам сложения скоростей. (с; 0,8с).

277. Два ускорителя выбрасывают релятивистские частицы навстречу друг другу с одинаковыми скоростями. Определить скорость этих частиц, если относительная скорость их сближения составляет 0,994с. (0,9с).

278. Во сколько раз масса протона больше массы электрона, если обе частицы имеют одинаковую кинетическую энергию 1000 МэВ? (1,94)

279. Частица движется со скоростью, равной половине скорости света. Во сколько раз масса движущейся частицы больше массы покоящейся? (1,155)

280. При какой скорости кинетическая энергия любой частицы равна ее энергии покоя? (2,6 10 м/с).

281. Определить скорость электрона, если его кинетическая энергия равна: 1) 4МэВ, 2) 1 кэВ. (2,98´10⁸ м/с, 1,9´10⁸ м/с).

282. Какую ускоряющую разность потенциалов должен пройти электрон, чтобы его скорость составила 95% скорости света? (510 кВ).

283. Полная энергия мезона в 5 раз больше энергии покоя. С какой скоростью движется мезон? (2,9610⁸ м/с).

284. Ускоритель дает пучок протонов с кинетической энергией 10 ГэВ. Определить скорость и массу протона в пучке. (2,99´10⁸ м/с, 2,98´10^-26 кг).

285. Чему равно релятивистское сокращение размеров протона в условиях предыдущей задачи? (91,5%).

286. Удельный заряд (отношение заряда к массе) движущегося электрона, определенный опытным путем, составляет 0,88´10¹¹ Кл/кг. С какой скоростью движется электрон? Чему равна масса электрона? (2,610⁸ м/с, 2m₀,).

287. Определить скорость частицы, при которой ее релятивистский импульс в три раза превышает импульс, вычисленный по законам классической механики. (0,943с).

288. Скорость электрона составляет 0,6с. Определить кинетическую энергию и импульс электрона. (0,13 МэВ, 2´ 10^-22 кг м/с).

289. Электрон движется по окружности в однородном магнитном поле со скоростью 0,8с. Индукция магнитного поля 0,01 Тл. Определить радиус окружности: 1) не учитывая увеличения массы со скоростью; 2) учитывая это увеличение. (13,7 см; 22,8 см).

290. Определить импульс протона, если его масса в два раза больше массы покоя. (8,710^-19 кгм/с).

291. Вычислить полную энергию тела массой 1 кг. (9 10¹⁶).

292. Найти изменение энергии, соответствующее изменению массы на одну атомную единицу массы. (931 МэВ).

293. Определить работу, которую надо совершить, чтобы увеличить скорость частицы с массой покоя m₀ от 0,5с до 0,7с. (0,245m₀ ).

294. Электрон прошел ускоряющую разность потенциалов 512 кВ. Как изменились продольные размеры электрона? (уменьшились в 2 раза).

295. При делении ядра урана U²³⁵ освобождается энергия приблизительно 200 МэВ. Найти изменение массы при делении одного киломоля урана. (0,217 кг/кмоль).

296. Релятивистский импульс электрона 5,34´10^-22 кг м/с. Определить кинетическую энергию электрона. (612 кэВ).

297. Полная энергия релятивистской частицы в 8 раз превышает ее энергию покоя. Определить скорость с этой частицы. (298 Мм/с).

298. Найти соотношение между полной энергией и импульсом релятивистской частицы.