2. Кинематика движения по криволинейной траектории

26. С башни в горизонтальном направлении брошено тело с начальной скоростью 10 м/с. Пренебрегая сопротивлением воздуха, определить скорость тела и радиус кривизны траектории через 2 секунды после начала движения. (22 м/с; 109 м.)

27. Мальчик бросает мяч вверх под углом 70 к горизонту и попадает прямо в открытое окно, которое расположено на 9,6 м выше его плеча. Мяч влетает в окно горизонтально. Определить радиус кривизны траектории мяча в момент, когда он перелетает через подоконник и начальную скорость мяча. (2,54 м; 14,6 м/с)

28. Тело брошено горизонтально с некоторой высоты. Найти зависимость от времени скорости, тангенциального и нормального ускорений тела.

29. С башни высотой 25 м бросили камень со скоростью 15 м/с под углом 30 к горизонту. На каком расстоянии от основания башни камень упадет на землю? В какой момент времени после начала движения нормальное ускорение камня будет равно ускорению силы тяжести? (41 м, 0,77 с).

30. Мальчик бросает мяч со скоростью 10 м/с под углом 45 к горизонту. Мяч ударяется о стенку, находящуюся на расстоянии 3 м от мальчика. Найти скорость мяча в момент удара. Какой угол составляет вектор скорости мяча в момент удара с радиусом кривизны траектории? (7,6 м/с).

31. Камень, брошенный горизонтально с некоторой высоты, упал на землю через 0,5 с на расстоянии 5 м по горизонтали от места бросания. Какой угол составляет скорость камня с горизонтом в точке его падения на землю? Чему равны его нормальное и тангенциальное ускорения в этой точке? (26; 8,8 м/с²; 4,3 м/с²).

32. Два тела брошены с одинаковыми начальными скоростями под углами 30и 60 к горизонту. Определить отношение максимальных высот подъема этих тел, отношение их дальностей полета и радиусов кривизны траектории в точках максимального подъема. (0,33; 1; 3).

33. Точка движется по окружности радиусом 20 см с постоянным тангенциальным ускорением 5 см/с². Через сколько времени после начала движения нормальное ускорение точки будет вдвое больше тангенциального? (2,8 с).

34. Якорь электромотора вращался с частотой 50 с^-1. После выключения тока он стал двигаться равнозамедленно и, сделав 1680 оборотов, остановился. Определить угловое ускорение якоря. (4,7 рад/с² ).

35. Нормальное ускорение точки, движущейся по окружности радиусом 1 м, задается уравнением

а_п = А + Вt²

(А = 2 м/с², В = 4 м/с⁴). Определить полное ускорение точки через 1 секунду после начала движения. (6,21 м/с²).

36. Тело движется по окружности радиусом 3 м. Зависимость пройденного телом пути от времени задается уравнением

S = Аt² + Вt

(А = 0,4 м/с², В = 0,1 м/с). Определить нормальное, тангенциальное и полное ускорения тела через 1 секунду после начала движения. (0,27 м/с², 0,8 м/с², 0,84 м/с²).

37. Материальная точка начинает двигаться по окружности радиусом 12,5 м с постоянным тангенциальным ускорением 0,5 м/с². Определить угол, который образует вектор полного ускорения с вектором скорости через 5 секунд после начала движения. (45).

38. Диск вращается вокруг неподвижной оси так, что зависимость угла поворота радиуса диска от времени задается уравнением  = Аt² (А = 0,1 рад/с²). Определить полное ускорение точки на ободе диска к концу второй секунды после начала движения, если линейная скорость точки в этот момент времени равна 0,4 м/с. (0,26 м/с²).

39. Зависимость угла поворота радиуса диска от времени при его вращении задается уравнением

 = А + Вt³

(А = 2 рад, В = 4 рад/с³). Определить угол поворота , при котором вектор полного ускорения точек на ободе диска составляет с радиусом диска угол 45. (2,67 рад).

40. Колесо радиусом 10 см вращается вокруг неподвижной оси, проходящей через его центр так, что зависимость линейной скорости точек на ободе колеса от времени задается уравнением

V = Аt + Вt²,

где А = 3 см/с, В = 1 см/с³. Какой угол составляет вектор полного ускорения с радиусом колеса через 5 секунд после начала движения? (4 38^).

41. Колесо радиусом 6,1 см вращается с постоянным угловым ускорением. Через 0,5 с после начала движения полное ускорение колеса стало равно 13,6 см/с². Определить угловое ускорение колеса. (2 рад/с²).

42. Точка движется по окружности радиусом 15 см с постоянным тангенциальным ускорением. К концу четвертого оборота после начала движения линейная скорость точки составляет 15 см/с. В какой момент времени после начала движения нормальное ускорение точки будет равно 1,5 см/с²? (16 с).

43. По окружности радиусом 10 м вращается материальная точка. В некоторый момент времени ее нормальное ускорение равно 4,9 м/с², а вектор полного ускорения образует с вектором нормального ускорения угол 60. Найти скорость, тангенциальное и полное ускорения точки в этот момент времени. (7 м/с, 8,5 м/с², 9,8 м/с²).

44. Диск радиусом 5 см вращается вокруг неподвижной оси, проходящей через его центр так, что зависимость угловой скорости от времени задается уравнением

w = 2Аt + 5Вt⁴

(А = 2 рад/с², В = 1 рад/с⁵). Определить полное ускорение точек, лежащих на ободе диска, к концу первой секунды после начала движения и число оборотов, сделанных диском за первую секунду. (4,22 м/с², 0,477).

45. Диск радиусом 10 см вращается вокруг неподвижной оси, проходящей через его центр, так, что тангенциальное ускорение точек на ободе диска зависит от времени по закону а_ = 2t (м/с²). Определить нормальное ускорение этих точек в момент времени, когда диск сделает один полный оборот после начала движения. (24,7 м/с).

46. Материальная точка движется в плоскости XY. Зависимости координат X и Y от времени имеет вид

Х = 2 + 4t² - 3t³, Y = 3t - 2t²,

где X и Y измеряются в метрах, время t в секундах. Найти величину и направление скорости и ускорения материальной точки в моменты времени t₁ = 0 и t₂ = 1 c. (V₁ = 3 м/с, V₂ = 1,4 м/с, а₁ = 9 м/с², а₂ = 10,7 м/с²).

47. На цилиндр радиусом 4 см, который может вращаться вокруг неподвижной горизонтальной оси, совпадающей с осью цилиндра, намотана нить. К концу нити привязали груз и предоставили ему опускаться. Двигаясь равноускоренно, груз за 3 секунды опустился на 1,5 м. Определить угловое ускорение цилиндра и число оборотов, сделанных им за это время. (8,3 рад/с², 6).

48. Колесо радиусом 10 см вращается вокруг неподвижной оси, проходящей через его центр, так, что угловое ускорение зависит от времени по закону  = 3t (рад/с²). Определить полное ускорение точек на ободе колеса и число оборотов, сделанных колесом к моменту времени t = 2 с после начала движения. (3,65 м/с², 0,64)

49. Точка начинает двигаться по окружности с постоянным тангенциальным ускорением. Через 0,5 с после начала движения угол между полным и нормальным ускорениями стал равен 45. Определить угловое ускорение точки и количество оборотов, сделанных точкой к этому моменту времени. (4 рад/с², 0,08).

50. Точка начинает двигаться по некоторой траектории так, что ее нормальное и тангенциальное ускорения зависят от времени по законам: а_ =2t² (м/с²), а_n = 2t² (м/с²).

Определить радиус кривизны траектории движения материальной точки через одну секунду после начала движения. (0,22 м)

51. Материальная точка движется в плоскости XY так, что законы ее движения вдоль осей X и Y заданы уравнениями:

X = 2t - t³ (м), Y = t² + 2t³ (м).

Определить радиус кривизны траектории точки через 1 с после начала движения. (15,4 м).

52. Материальная точка движется в плоскости XY так, что законы ее движения вдоль осей X и Y заданы уравнениями:

X = -6 + 0,1t³ (м), Y = 0,2t³ - t² (м).

Определить нормальное, тангенциальное и полное ускорения точки через 2 секунды после начала движения. (1,2 м/с², 0,4м/с², 1,26 м/с²).

53. Твердое тело вращается вокруг неподвижной оси по закону

 = Аt - Вt³,

где А = 6 рад/с и В=2 рад/с³ .Найти: 1) средние значения угловой скорости и углового ускорения за промежуток времени от начала движения до остановки; 2) угловое ускорение в момент остановки. (4 рад/с, 6 рад/с², 12 рад/с²).

54. Твердое тело начинает вращаться вокруг неподвижной оси с угловым ускорением  = Вt (В = 0,02 рад/с²). Через сколько времени после начала движения вектор полного ускорения произвольной точки тела будет составлять угол 60 с вектором ее линейной скорости? (7 c).

55. Найти радиус вращающегося колеса, если известно, что линейная скорость точки, лежащей на ободе, в 2,5 раза больше линейной скорости точки, лежащей на 5 см ближе к оси колеса. (8,3 см).

56. С какой скоростью двигалась повозка при киносъемке, если при демонстрации кинофильма на экране колеса, имеющие по 19 спиц, кажутся не вращающимися? Диаметр колес 0,58 м, киносъемка производилась со скоростью 17 кадров в секунду. (1,63 м/с).

57. Колесо автомашины вращается равнозамедленно. За 2 минуты колесо изменило частоту вращения от 240 до 60 мин^-1. Определить угловое ускорение колеса и число полных оборотов, сделанным им за это время. (0,157 рад/с², 300).