Законы сохранения в механике.

I. Закон изменения и сохранения импульса.

1. Импульс материальной точки массой m, двигающейся со скоростью ,

2. Центром масс системы тел называется точка, c координатой

где m_i - масса i -ой материальной точки системы, r_i -радиус вектор этой точки, N - число материальных точек системы.

3. Импульс тела

В случае поступательного движения импульс тела массой m

где  скорость движения центра масс.

4. Закон сохранения импульса для замкнутой системы

Для незамкнутых систем, если проекция на некоторое направление всех внешних сил, действующих на систему, равна нулю, то сохраняется проекция импульса на это направление. Закон сохранения импульса выполняется также, если время действия внешней конечной силы очень мало.

5. Скорость изменения импульса системы равна сумме действующих на систему внешних сил

II. Закон сохранения момента импульса.

1. Момент импульса материальной точки относительно оси вращения

,

где m  масса материальной точки, движущейся со скоростью V;  ее расстояние до оси вращения.

2. Момент импульса твердого тела относительно оси вращения

где  момент инерции тела относительно оси z,   угловая скорость тела.

3. Закон сохранения импульса для замкнутой системы

L = const.

III. Работа, мощность. Закон сохранения механической энергии.

1. Работа переменной силы на пути S

В частном случае постоянной силы, действующей под неизменным углом  к перемещению,

2. Мощность

В случае постоянной мощности

N = А/t,

где А  работа, совершаемая за время t.

3. Кинетическая энергия тела, движущегося со скоростью V

4. Связь между силой, действующей на тело в данной точке поля, и потенциальной энергией частицы

5. Потенциальная энергия тела массой m, поднятого над поверхностью Земли на высоту h

П=mgh.

6. Потенциальная энергия упруго деформированного тела

,

где k  коэффициент упругости, x  величина деформации.

7. Закон сохранения механической энергии для консервативных систем

Т + П = Е = const.

Импульс. Закон изменения и сохранения импульса

126. Тело массой 1 кг упало с высоты 19,6 м. Определить изменение импульса тела за последнюю секунду движения и импульс тела на высоте 4,9 м (9,8 кгм/с; 17 кгм/с).

127. Тело массой 2 кг брошено под углом 30º  к горизонту с начальной скоростью 9,8 м/с. Через некоторое время тело упало на землю. Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти изменение импульса за время полета (19,6 кгм/с).

128. Призма массой 20 кг с углом наклона  = 60 стоит на гладкой поверхности льда. На призме стоит собака массой 20 кг. С какой скоростью будет двигаться призма, если собака побежит вверх со скоростью 2 м/с относительно призмы? Трением между призмой и льдом пренебреч. (0,5 м/с).

129. На железнодорожной платформе, движущейся по инерции со скоростью 3 км/ч, укреплено орудие. Масса платформы с орудием 10 т. Снаряд массой 10 кг вылетает из ствола орудия под углом 60  к горизонту в сторону движения платформы. Определить начальную скорость снаряда относительно Земли, если после выстрела скорость платформы уменьшилась в 2 раза (834 м/с).

130. Человек, стоящий на неподвижной тележке, бросил вперед в горизонтальном направлении камень массой 2 кг. При этом тележка с человеком (общей массой 100 кг) покатилась со скоростью 0,1 м/с. Найти импульс камня через 0,5 с после начала движения. Сопротивлением воздуха пренебречь. (14 кгм/с).

131. Конькобежец, стоя на коньках на льду, бросает в горизонтальном направлении камень массой 3 кг со скоростью 8 м/с. На какое расстояние откатится при этом конькобежец, если коэффициент трения коньков о лед равен 0,02. Масса конькобежца 70 кг. (0,3 м).

132. Тело движется под действием силы, зависящей от времени по закону

F=2sint.

Определить импульс тела в моменты времени t₁ = 1с и t₂ = 2с после начала движения. (-4/ кгм/с; 0).

133. На спокойной воде пруда стоит лодка длиной 3 м и массой 120 кг. Лодка перпендикулярна берегу и обращена к нему носом. На корме лодки находится человек массой 60 кг. На какое расстояние сдвинется лодка относительно берега, если человек перейдет с кормы на нос лодки? (1 м).

134. Лодка длиной 3 м и массой 120 кг стоит на спокойной воде. На носу и корме находятся два рыбака массами 60 кг и 90 кг. На какое расстояние сдвинется лодка относительно воды, если рыбаки пройдут по лодке и поменяются местами? (0,33 м).

135. Тело движется под действием одной силы так, что численное значение его импульса зависит от времени по закону

P = At² + Вt,

где A = 5 кгм/с³, B = 10 кгм/с². Определить момент времени, в который сила, действующая на тело, равна нулю. (1 с).

136. Снаряд массой 100 кг, летящий горизонтально вдоль железнодорожного полотна со скоростью 500 м/с, попадает в вагон с песком массой 10 тонн и застревает в нем. Какую скорость получит вагон, если: 1) вагон стоял неподвижно; 2) вагон двигался со скоростью 36 км/ч в том же направлении, что и снаряд; 3) вагон двигался со скоростью 36 км/ч в направлении, противоположном движению снаряда. (18 км/ч, 54 км/ч, 18 км/ч).

137. Снаряд массой 5 кг, вылетевший из орудия, в верхней точке траектории имеет скорость 300 м/с. В этой точке снаряд разорвался на 2 осколка, причем больший осколок массой 3 кг полетел в обратном направлении со скоростью 100 м/с. Определить скорость меньшего осколка. (900 м/с).

138. Неподвижная мина разорвалась на 3 осколка, массы которых относятся как 1:1:2. Осколки одинаковой массы разлетелись под углом 60º с одинаковыми скоростями 300 м/с. С какой скоростью и в каком направлении полетит третий осколок? Сделать чертеж. (260 м/с).

139. Снаряд массой 10 кг разорвался в верхней точке траектории, имея скорость 200 м/с. Меньший осколок массой 3 кг полетел вперед под углом 60  к горизонту со скоростью 400 м/с. С какой скоростью и в каком направлении полетит больший осколок? (249 м/с, 36,6^о).

140. Тело массой 2 кг движется навстречу телу массой 1,5 кг и неупруго сталкивается с ним. Скорости тел непосредственно перед столкновением соответственно равны 1 м/с и 2 м/с. Определить коэффициент трения, если эти тела остановятся через 0,58 с после удара. (0,05).

141. Три лодки одинаковой массы 120 кг движутся по инерции друг за другом с одинаковой скоростью 7,2 км/ч. Из средней лодки в крайние одновременно бросают одинаковые грузы массой 50 кг со скоростью 1 м/с относительно лодок. Определить скорость каждой лодки после перебрасывания. Сопротивление воды не учитывать. (2,3 м/с; 2 м/с; 1,7 м/с).

142. Две лодки идут навстречу друг другу параллельным курсом. Когда лодки находятся друг против друга, с каждой лодки во встречную перебрасываются мешки массами 50 кг, в результате чего первая лодка останавливается, а вторая продолжает двигаться в прежнем направлении со скоростью 8,5 м/с. Определить скорости лодок до обмена мешками, если их массы с грузом соответственно равны 500 кг и 1000 кг. (9 м/с; 1 м/с).

143. Два конькобежца массами 80 кг и 50 кг, держась за концы длинного натянутого шнура, неподвижно стоят на льду один против другого. Один из них начинает укорачивать шнур, выбирая его со скоростью 1 м/с. С какими скоростями будут двигаться по льду конькобежцы? Трением пренебречь.(0,385 м/с; 0,615 м/с).

144. Струя воды сечением 6 см² ударяет о стенку под углом 60º к нормали и упруго отскакивает от стенки без потери скорости. Найти силу, действующую на стенку, если известно, что скорость течения воды в струе 12 м/с. (86,4 Н).

145. Определить положение центра масс системы, состоящей из четырех шаров, массы которых соответственно равны m, 2m, 3m, 4m. Шары находятся на одной прямой, расстояние между соседними шарами равно 15 см. (0,3 м от меньшего шара).

146. Определить положение центра масс системы, состоящей из четырех шаров, массы которых равны m, 2m, 3m и 4m. Шары находятся в вершинах квадрата, сторона которого равна 15 см. (Х_с=7,5 см; Y_с=4,5 см, если считать, что шарик массой 4 m находится в начале координат).

147. Тело массой 5 кг соскальзывает с наклонной плоскости высотой 1 м на неподвижную платформу массы 20 кг. Какую скорость приобретет платформа, если коэффициент трения между наклонной плоскостью и телом равен 0,1, а угол наклонной плоскости 30? Считать, что платформа будет двигаться горизонтально без трения. (0,7 м/с).

148. Параллельно берегу по поверхности воды свободно скользит плот массой 140 кг со скоростью 2 м/с. На плот с берега прыгает человек массой 60 кг. Скорость человека перпендикулярна скорости плота и равна 6 м/с. В каком направлении относительно берега и с какой скоростью начнет двигаться плот с человеком? (2,28 м/с, 52).

149. Акробат массой 50 кг прыгает, держа в руке камень массой 5 кг, под углом 60  к горизонту со скоростью 6 м/с. В наивысшей точке своей траектории он бросает камень горизонтально назад со скоростью 2 м/с относительно себя. На сколько увеличится дальность прыжка акробата за счет броска? (0,1 м).

150. Определить уменьшение дальности прыжка акробата в условиях предыдущей задачи, если камень брошен горизонтально вперед. (0,1 м).

151. Снаряд, вылетевший из орудия с некоторой скоростью, разорвался на два одинаковых осколка в верхней точке траектории, находящейся на расстоянии 400 м от орудия (по горизонтали). Один из осколков полетел в обратном направлении со скоростью движения снаряда в верхней точке траектории до разрыва. Пренебрегая сопротивлением воздуха, определить, на каком расстоянии от орудия упадет второй осколок. (1600 м).

152. На полу стоит тележка в виде длинной доски массой 20 кг, снабженной легкими колесами. На одном конце доски стоит человек массой 60 кг. С какой скоростью относительно пола будет двигаться тележка, если человек пойдет вдоль доски со скоростью 1 м/с? Массой колес и трением пренебречь. (0,75 м/с).

153. Молекула массой 4,6510^-26 кг, летящая со скоростью 600 м/с, ударяется о стенку сосуда под углом 60º к нормали и под таким же углом упруго отскакивает от нее. Найти импульс, полученный стенкой за время удара. (2,8 10^-23 Нс).

154. Пушка соскальзывает без трения по наклонной плоскости, составляющей с горизонтом угол 30º. На расстоянии 10 м от вершины наклонной плоскости производится выстрел в горизонтальном направлении. Какова должна быть скорость снаряда, чтобы после выстрела пушка остановилась? Масса пушки 200 кг, масса снаряда 10 кг.(240 м/с).

155. Тележка с песком движется по горизонтальной поверхности под действием постоянной силы F = 20 Н, совпадающей по направлению с вектором скорости тележки. Через отверстие в дне тележки песок высыпается с постоянной скоростью = 0,5 кг/с. Найти скорость, ускорение и импульс тележки через 100 секунд после начала движения. В момент времени t = 0 масса тележки с песком была равна 100 кг. Трением пренебречь.(0,4 м/с², 27,7м/с, 1385 кгм/с).

МОМЕНТ ИМПУЛЬСА. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ МОМЕНТА ИМПУЛЬСА.

156. Человек стоит в центре скамьи Жуковского и вместе с ней вращается по инерции с частотой 0,5 об/с. В вытянутых в стороны руках он держит две гантели массой 2 кг каждая. Расстояние между гантелями 1,6 м. Сколько оборотов в секунду будет делать скамья с человеком, если он опустит руки и расстояние между гантелями станет равным 0,4 м? Момент инерции тела человека относительно оси вращения равен 1,6 кгм², моментом инерции скамьи пренебречь. (1,18 об/с).

157. Человек стоит на скамье Жуковского и ловит рукой мяч массой 0,4 кг, летящий в горизонтальном направлении со скоростью 20 м/с. Траектория мяча проходит на расстоянии 0,8 м от вертикальной оси вращения скамейки. С какой угловой скоростью начнет вращаться скамья с человеком, поймавшим мяч? Считать, что суммарный момент инерции человека и скамьи равен 6 кгм². (1,02 рад/с).

158. Маховик в виде диска радиусом 40 см и массой 48 кг может вращаться вокруг горизонтальной оси. К его цилиндрической поверхности прикреплен конец нерастяжимой нити, к другому концу которой подвешен груз массой 0,2 кг. Груз был приподнят на высоту 2 м и затем отпущен. Упав свободно, груз натянул нить и благодаря этому привел маховик во вращение. Какую угловую скорость груз сообщил при этом маховику? (0,129 рад/с).

159. На краю горизонтальной платформы массой 200 кг, имеющей форму диска радиусом 2 м, стоит человек массой 80 кг. Платформа может вращаться вокруг вертикальной оси, проходящей через ее центр. Пренебрегая трением, найти, с какой угловой скоростью будет вращаться платформа, если человек будет идти вдоль ее края со скоростью 2 м/с относительно платформы? (0,445 рад/с).

160. Платформа массой 240 кг, имеющая форму диска, может вращаться вокруг вертикальной оси, проходящей через ее центр. На краю платформы стоит человек массой 60 кг. На какой угол повернется платформа, если человек пойдет равномерно вдоль края платформы и, обойдя ее, вернется в исходную точку? Момент инерции человека рассчитывать как для материальной точки. (120º).

161. Платформа массой 240 кг в виде диска вращается по инерции, делая 6 об/мин. На краю платформы стоит человек массой 80 кг. Сколько оборотов в секунду будет делать платформа, если человек перейдет в ее центр? Человека считать материальной точкой. (0,17 об/с).

162. Стержень длиной 1 м и массой 2 кг подвешен на горизонтальной оси, проходящей через его конец. В середину стержня попала горизонтально летящая пуля и застряла в нем. Какова будет угловая скорость стержня после удара, если масса пули 10 г, а ее скорость 500 м/с? (3,7 рад/с).

163. На скамье Жуковского стоит человек и держит в руках стержень длиной 2,4 м и массой 8 кг, расположенный вертикально по оси вращения скамьи. Скамья с человеком имеет суммарный момент инерции 6 кгм² и вращается равномерно с угловой скоростью, соответствующей одному обороту в секунду. С какой угловой скоростью будет вращаться скамья с человеком, если повернуть стержень в горизонтальное положение так, чтобы ось вращения проходила через середину стержня? (3,83 рад/с).

164. Шарик массой 100 г, привязанный к концу нити длиной 1 м, вращается, опираясь на горизонтальную плоскость, делая 1 об/с. Нить укорачивается, приближая шарик к оси вращения до расстояния 0,5 м. С какой угловой скоростью будет при этом вращаться шарик? Какую работу совершает внешняя сила, укорачивая нить? Трением шарика о плоскость пренебречь. (25,1 рад/с, 5,9 Дж.).

165. Человек массой 60 кг находится на неподвижной платформе в виде диска радиусом 10 м и массой 100 кг. Платформа может вращаться вокруг оси, проходящей через ее центр. С какой угловой скоростью будет вращаться платформа, если человек будет двигаться по окружности радиусом 5 м вокруг оси вращения со скоростью 4 км/час относительно платформы? (0,05 рад/с).

166. Человек массой 60 кг стоит на краю неподвижной платформы в виде диска. Масса платформы 30 кг. Человек бросает мяч массой 2 кг горизонтально со скоростью 4 м/с по касательной к платформе. Определить, с какой угловой скоростью начнет вращаться платформа. (0,1 рад/с).

167. Платформа, имеющая форму диска, может вращаться по инерции вокруг вертикальной оси, проходящей через ее центр масс. На краю платформы стоит человек, масса которого в 3 раза меньше массы платформы. Определить, как и во сколько раз изменится угловая скорость вращения платформы, если человек перейдет ближе к ее центру на расстояние, равное половине радиуса платформы. (Увеличится в 1,43 раза).

168. Из второго закона Кеплера следует, что каждая планета Солнечной системы движется так, что линия, соединяющая Солнце и планету, за равные промежутки времени заметает равные площади. Доказать это с помощью закона сохранения момента импульса.

169. В центре покоящейся горизонтальной платформы, которая может вращаться без трения вокруг вертикальной оси, проходящей через ее центр масс, стоит человек. Момент инерции человека и платформы равен 62,8 кгм². В руках человек держит вращающееся колесо, ось которого горизонтальна. Колесо считать однородным диском массой 2 кг и радиусом 1 м. Колесо вращается с угловой скоростью, соответствующей 1 об/с. Чему будет равна угловая скорость платформы, если человек переместит ось колеса так, что она станет направленной вертикально вверх? (0,1 рад/с).

170.Человеку, находящемуся в центре неподвижной скамьи Жуковского, передали вращающееся вокруг горизонтальной оси велосипедное колесо. Угловая скорость вращения колеса 12 рад/с, его момент инерции относительно оси вращения 0,4 кг/м². С какой скоростью начнет вращаться скамья, если человек поднимет ось колеса вертикально, и она совпадет с осью скамьи? Момент инерции человека и скамьи 3,2 кг/м². (1,5 рад/с)

171. Решить предыдущую задачу при условии, что ось колеса первоначально была вертикальна, а затем человек повернул ее горизонтально.

172. В центре скамейки Жуковского стоит человек и держит в руках стержень, расположенный вертикально по оси вращения скамейки. Скамейка с человеком вращается с угловой скоростью 1 рад/с. С какой угловой скоростью будет вращаться скамейка с человеком, если повернуть стержень так, чтобы он принял горизонтальное положение. Человек держит его в точке, расположенной на расстоянии 1/3 длины от одного из концов стержня. Суммарный момент инерции человека и скамейки 10 кгм². Длина стержня 1,5 м, масса 6 кг. (0,87 рад/с).

173. В горизонтальной плоскости вращается вокруг вертикальной оси тонкий стержень длиной 0,5 м и массой 1 кг. Симметрично оси вращения, проходящей через середину стержня, на расстоянии 10 см от нее, на стержне расположены два груза массами по 0,2 кг каждый. Угловая скорость вращения всей системы 2 рад/с. Чему будет равна угловая скорость системы, если грузы сдвинуть на концы стержня? Грузы считать материальными точками. (1,08 рад/с).

174. Столб высотой 3 м и массой 50 кг падает на землю из вертикального положения. Определить модуль момента импульса столба относительно точки опоры и скорость верхнего конца столба в момент удара о землю. (4,7^.10² кгм²´с^-1, 9,4 м/с).

175. Мяч массой 400 г и радиусом 10 см вращался вокруг вертикальной оси, проходящей через его центр, делая 2 об/с. В результате удара мяч получил дополнительно момент импульса, равный 0,02 кгм²/с, направленный горизонтально. Найти суммарный момент импульса мяча после удара. (0,028 кг м²/с).

176. Горизонтальная платформа в виде однородного диска радиусом 15 м вращается без трения вокруг вертикальной оси, проходящей через ее центр. На платформе на расстоянии 14 м от ее центра стоит человек массой 60 кг. Если человек перейдет на расстояние 6,17 м от центра платформы, частота ее вращения изменится в 1,6 раза. Найти массу платформы. Человека считать точечной массой. (120 кг).

177. Материальная точка движется по окружности с линейной скоростью 2 м/с. Момент инерции материальной точки относительно оси, проходящей через центр окружности перпендикулярно к плоскости, в которой движется точка, равен 1,35^.10^-3 кгм², момент импульса относительно этой оси равен 1,8^.10^-2 кгм²´с^-1.Найти массу точки, радиус окружности и угловую скорость движения точки. (0,06 кг, 0,15 м, 13,3 рад/с).

178. Материальная точка массой 0,24 кг движется по окружности с линейной скоростью 3 м/с. Момент инерции материальной точки относительно оси, проходящей через центр окружности перпендикулярно к плоскости, в которой движется точка, равен 2,16´10^-2 кгм². Найти момент импульса точки относительно той же оси, радиус окружности и угловую скорость. (0,216 кгм²с^-1, 0,3 м, 10 рад/с).

179. На краю платформы в виде однородного диска массой 200 кг, вращающейся с угловой скоростью, соответствующей 0,1 об/с, находится пушка массой 100 кг, расположенная так, что ее ствол является касательной к платформе. В горизонтальном направлении сделан выстрел в направлении вращения. Масса снаряда 20 кг, скорость снаряда 1 м/с. Чему стала равна угловая скорость вращения платформы? Пушку считать материальной точкой. (0,67 рад/с).

180. Найти момент импульса Земли. Учесть вращение вокруг Солнца и вокруг собственной оси. Угол наклона земной оси к плоскости орбиты 23º 27. (310⁴⁰ кгм²/с).

ЭНЕРГИЯ, РАБОТА, МОЩНОСТЬ. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ.

181. Тело, падая с некоторой высоты, в момент удара о Землю обладает импульсом 100 кг м/с и кинетической энергией 500 Дж. Определить массу тела и высоту, с которой оно упало. (10 кг; 5,1 м).

182. На поверхность Земли с очень большого расстояния падает метеорит. С какой скоростью метеорит упал бы на Землю, если бы атмосфера не тормозила его движение? (11,2 км/с).

183. Стальной шарик массой 20 г, падая с высоты 1 м на стальную плиту, отскакивает от нее на высоту 81 см. Найти импульс силы, полученный плитой за время удара, и количество тепла, выделившееся при ударе. (0,17 Нс, 0,04 Дж).

184. Шар массой 2 кг движется со скоростью 4 м/с и сталкивается с покоящимся шаром массой 5 кг. Определить скорости шаров после прямого центрального удара, считая удар абсолютно упругим. (1,71 м/с, 2,29 м/с).

185. Коэффициент трения между телом и наклонной плоскостью 0,2. На какую высоту поднимется это тело, скользя вверх по плоскости, если ему сообщена скорость 7 м/с, направленная вверх вдоль плоскости? Какова будет скорость тела, когда оно вернется в нижнюю (исходную) точку? Угол наклона плоскости составляет 45. (2,1 м; 5,7 м/с).

186. Небольшому телу сообщают начальный импульс, в результате чего оно начинает двигаться поступательно без трения вверх по наклонной плоскости со скоростью 3 м/с. Плоскость составляет с горизонтом угол 20º. Определить: 1) на какую высоту поднимется тело; 2) сколько времени оно будет двигаться вверх до остановки; 3) сколько времени затратит тело на скольжение вниз до исходной точки; 4) скорость тела в момент возвращения в исходное состояние. (0,46 м; 0,89 с; 3 м/с).

187. С башни высотой 20 м горизонтально со скоростью 10 м/с брошен камень массой 400 г. Пренебрегая сопротивлением воздуха, определить кинетическую и потенциальную энергию камня через 1 секунду после начала движения. (39,2 Дж, 59,2 Дж).

188. Баба копра массой 500 кг падает на сваю массой 100 кг. Определить КПД удара бабы копра о сваю, считая удар неупругим. Полезной считать энергию, пошедшую на углубление сваи.(83,3%).

189. Пуля массой 10 г, летящая со скоростью 600 м/с, попадает в деревянный брусок массой 5 кг, висящий на нити длиной 1 м, и застревает в нем. На какой угол отклонится нить от вертикали? (22).

190. Движущаяся частица испытывает абсолютно упругое столкновение с покоящейся частицей. Показать, что после соударения частицы разлетаются под прямым углом.

191. Два вагона массой 20 т и 30 т скатываются с сортировочной горки высотой 3 м. Определить путь, пройденный каждым вагоном по горизонтальной поверхности до остановки. Угол наклона горки к горизонту 30º. Коэффициент трения одинаков для обоих вагонов на всем пути и равен 0,1. Одинаково ли время движения вагонов по горке? по горизонтальной поверхности? (24,8 м).

192. Материальная точка массой 2 кг двигалась под действием некоторой силы согласно уравнению

Х = 10  2t² +10t³

(расстояние в метрах, время в секундах). Найти мощность, затрачиваемую на движение материальной точки в момент времени t = 1 с. (2,9 кВт).

193. Определить работу, которую совершают силы гравитационного поля Земли, при падении на ее поверхность тела массой 10 кг. (6,310⁸ Дж).

194. Пуля массой 10 г застревает в первоначально покоящемся бруске массой 100 г. Определить долю механической энергии, потерянной при ударе. (0,91).

195. Вычислить работу, совершаемую при равноускоренном подъеме груза массой 100 кг на высоту 4 м за время 2 с .(4,72 кДж).

196. Автомобиль массой 3 т трогается с места и движется по горизонтальной дороге с ускорением 2 м/с². Определить работу, совершенную двигателем автомобиля на пути 500 м, и его мощность в конце этого пути. Коэффициент трения равен 0,05 (3,74 МДж, 334 кВт).

197. Молот массой 10 кг ударяет по небольшому куску мягкого железа, лежащему на наковальне. Масса наковальни 0,4 т. Считая удар неупругим, определить КПД удара молота о наковальню. Полезной считать энергию, пошедшую на деформацию куска железа (97,6%).

198. Полезная мощность насоса 10 кВт. Какой объем воды может поднять этот насос в течение часа с глубины 20 м? (183,7 м³)

199. Сила F, действующая на тело массой 4 кг, возрастает со временем t по закону F = 2t (сила в ньютонах, время в секундах). Определить работу силы за 10 секунд, ее мощность в момент времени t = 10 с и кинетическую энергию тела через 5 с после начала движения (1,25 кДж, 500 Вт, 78,1 Дж).

200. Автомобиль массой 1000 кг останавливается при торможении за 5 с, пройдя при этом равнозамедленно расстояние 25 м. Найти работу сил торможения и их среднюю мощность за время движения. (50 кДж, 10 кВт).

201. Два тела с массами m и 3m движутся во взаимноперпендикулярных направлениях. После соударения тело массы m остановилось. Какую часть его энергии составляет выделившееся при ударе тепло? (2/3).

202. Два груза с массами m₁ =200 г и m₂ =100 г удерживаются в состоянии покоя на гладких плоскостях равнобедренного треугольника с углом у основания  = 30. Грузам позволили двигаться. Какова будет скорость грузов после прохождения каждым грузом расстояния 20 см? Трением пренебречь (0,81 м/с).

203. Трамвай движется с ускорением 0,49 м/с². Найти коэффициент трения, если известно, что 50% мощности мотора идет на преодоление силы трения и 50% на увеличение скорости движения. (0,05).

204. Какую массу бензина расходует автомобиль на пути 100 км, если при мощности двигателя 11 кВт скорость его движения 30 км/ч? КПД двигателя 22% (13 кг).

205. Под действием постоянной силы F = 400 Н, направленной вертикально вверх, груз массой 20 кг был поднят на высоту 15 м. Какой потенциальной энергией будет обладать поднятый груз? Какую работу совершит сила F? (2,94 кДж, 6 кДж).

206. Тело массы m брошено под углом  к горизонту с начальной скоростью v₀. Найти среднюю мощность, развиваемую силой тяжести за все время полета и мгновенную мощность в момент наивысшего подъема (0, 0).

207. Потенциальная энергия частицы в силовом поле изменяется по закону

Е_п = 2x² + 3y² + 0,5z.

Найти работу, совершаемую над частицей силами поля при переходе из точки с координатами x₁ = 0,5 м, y₁ = 1 м, z₁ = 0,2 м в точку с координатами x₂ = 0,1 м, y₂ = 0,75 м, z₂ = 0,1 м. Найти выражение для силы, действующей на частицу, и величину этой силы в начальной и конечной точках. (1,84 Дж, 6,34 Н, 4,54 Н).

208. Сила упругости некоторой пружины изменяется по закону F = Dх³ (растяжение х  в метрах, сила  в ньютонах, D = 2 Н/м ). Определить потенциальную энергию этой пружины при растяжении на 10 см, если при

х = 0 ее потенциальная энергия равна нулю. (510^-5 Дж).

209. Материальная точка массой 2 кг движется прямолинейно под действием некоторой силы так, что координата со временем меняется по закону

х = В + Сt + Dt² ,

где В = 10 м, С = 2 м/с, D = 1 м/с². Какая работа совершается силой за первые 5 секунд? Какая мощность развивается при движении точки в момент времени 2 секунды? (100 Дж, 8 Вт).

210. Какую часть общей кинетической энергии составляет энергия вращения для катящегося сплошного цилиндра, шара и обруча? (1/3, 2/7, 1/2).

211. Шар массой 250 г и диаметром 6 см катится без скольжения по горизонтальной поверхности, делая 4 оборота в секунду. Какую работу надо совершить, чтобы остановить шар? (0,1 Дж).

212. Медный шар радиусом 10 см катится по горизонтальной поверхности. Какую работу надо совершить, чтобы увеличить скорость центра масс шара от 1 до 2 м/с? Трением пренебречь. Плотность меди принять равной 8600 кг/м³. (75,6 Дж).

213. Кинетическая энергия вращающегося маховика составляет 1 кДж. Под действием постоянного тормозящего момента маховик начал вращаться равнозамедленно и, сделав 80 оборотов, остановился. Определить момент силы торможения. (2 Нм).

214. Маховик вращается по закону, выражаемому уравнением

 = 2 + 16t - 2t² (рад).

В момент времени t = 3с после начала движения мощность, развиваемая силами, действующими на маховик при его вращении, равна 800 Вт. Определить момент инерции маховика. (50 кгм²).

215. Маховик вращается по закону, выражаемому уравнением

 = 2 + 32t  4t² (рад).

Найти среднюю мощность, развиваемую силами, действующими на маховик при его вращении, от начала движения до остановки. Момент инерции маховика 100 кгм². (12,8 кВт).

216. Маховик, момент инерции которого равен 16 кгм², начал вращаться ускоренно из состояния покоя под действием момента сил, меняющегося со временем по линейному закону M = At (A = 16 Нм/с). Определить кинетическую энергию, приобретенную маховиком за 10 секунд вращения. (20 кДж).

217. Пуля массой 10 г летит со скоростью 800 м/с, вращаясь около продольной оси с частотой 3000 с^-1. Принимая пулю за цилиндр диаметром 8 мм, определить полную кинетическую энергию пули. (3,2 кДж).

218. Шар катится без скольжения по горизонтальной поверхности. Полная кинетическая энергия шара равна 14 Дж. Определить кинетические энергии поступательного и вращательного движений шара. (10 Дж, 4 Дж).

219. К ободу однородного сплошного диска массой 10 кг, насаженного на ось, приложена постоянная касательная сила 30 Н. Определить кинетическую энергию диска через 4 секунды после начала действия силы.(1,44 кДж).

220. Маховик начинает вращаться из состояния покоя с постоянным угловым ускорением  = 0,4 рад/с². Определить кинетическую энергию маховика через 25 секунд после начала движения, если через 10 секунд после начала движения момент импульса маховика составил 60 кг м²/с. (750 Дж).

221. Однородный цилиндр массой 10 кг, расположенный горизонтально, вращается без трения вокруг своей оси под действием груза массой 1 кг, прикрепленного к легкой нерастяжимой нити, намотанной на цилиндр. Найти кинетическую энергию системы через 3,55 с после начала движения. (100 Дж).

222. Сплошной цилиндр скатился с наклонной плоскости высотой 15 см. Определить скорость поступательного движения цилиндра в конце наклонной плоскости. (1,4 м/с).

223. Сплошной однородный диск катится без проскальзывания по горизонтальной плоскости со скоростью 10 м/с. Какое расстояние пройдет диск до остановки, если его предоставить самому себе? Коэффициент трения при движении диска равен 0,02. (382,6 м).

224. С какой наименьшей высоты должен съехать велосипедист, чтобы по инерции проехать дорожку, имеющую форму "мертвой петли" радиусом 3 м, и не оторваться от дорожки в верхней точке петли? Масса велосипедиста вместе с велосипедом 75 кг, причем масса обоих колес 3 кг. Колеса считать обручами, трением пренебречь. (7,56 м).

225. Тонкий прямой стержень длиной 1 м прикреплен к горизонтальной оси, проходящей через его конец. Стержень отклонили на угол 60 от положения равновесия и отпустили. Определить линейную скорость нижнего конца стержня и линейную скорость его центра масс в момент прохождения через положение равновесия. (3,84 м/с, 1,9 м/с).

226. Карандаш длиной 15 см, поставленный вертикально, падает на стол. Какую угловую и линейную скорости будут иметь в конце падения середина карандаша и его верхний конец? Считать, что нижний конец карандаша не проскальзывает. (14 рад/с, 1,05 м/с; 14 рад/с, 2,1 м/с).

227. С одной и той же наклонной плоскости скатываются тонкий диск и шар одинаковой массы. Какое из этих тел быстрее достигнет нижней точки плоскости? Зависит ли время скатывания от массы и радиусов диска и шара?

228. Сколько времени будет скатываться без скольжения обруч с наклонной плоскости длиной 2 м и высотой 10 см? (4 с).

229. С наклонной плоскости одновременно начинают соскальзывать брусок и скатываться без проскальзывания обруч. Определить, при каком коэффициенте трения между бруском и плоскостью оба тела будут двигаться, не обгоняя друг друга. Угол наклона плоскости 30. (0,289).

230. Однородный сплошной цилиндр висит в горизонтальном положении на двух намотанных на него невесомых нитях. Цилиндр отпускают без толчка. За сколько времени он опустится на 50 см? (0,39с.).

231. Платформа в виде диска массой 100 кг вращается вокруг вертикальной оси, проходящей через центр платформы, делая 10 оборотов в минуту. Человек массой 60 кг стоит на краю платформы. Какую работу совершит человек, если он перейдет в центр платформы? Человека считать материальной точкой, радиус платформы 1,5 м. (162 Дж).

232. Вытащенное из колодца ведро с водой уронили, и оно стало опускаться вниз, раскручивая ворот. Трение в подшипниках ворота создает постоянный вращающий момент 0,17 Нм. Считая ворот сплошным однородным цилиндром массой 43,1 кг и радиусом 12,8 см, определить скорость ведра в конце падения и работу силы трения за время падения ведра. Масса ведра с водой 13,2 кг, расстояние от края сруба до поверхности воды в колодце 7 м. (7,2 м/с, -9,3 Дж).

233. Имеются два одинаковых однородных диска. Один из них вращается вокруг фиксированной вертикальной оси, проходящей через его центр, с постоянной угловой скоростью 2 рад/с. Второй диск, первоначально не вращающийся, роняют в горизонтальном положении на первый диск так, что край одного диска совпадает с центром другого. Определить угловую скорость, с которой будет вращаться образовавшаяся система. Как изменится кинетическая энергия дисков? (0,5 рад/с; уменьшится в 4 раза).

234. Горизонтально расположенный деревянный стержень массой 0,8 кг и длиной 1,8 м может вращаться вокруг вертикальной оси, проходящей через его середину. В конец стержня попадает пластмассовый шарик массой 3 г, летящий перпендикулярно к оси вращения и к стержню со скоростью 50 м/с. Считая удар абсолютно упругим, определить угловую скорость, с которой начнет вращаться стержень, и скорость шарика после удара. (1,24 рад/с; 48,9 м/с).

235. Определить угловую скорость, с которой начнет вращаться стержень, если в условиях предыдущей задачи шарик заменить пулей равной массы, которая застревает в стержне. Определить также потерю механической энергии при ударе. (0,62 рад/с; 3,7 Дж).

236. Однородному цилиндру сообщают начальный импульс, в результате чего он начинает катиться вверх по наклонной плоскости с начальной скоростью 3 м/с. Плоскость образует с горизонтом угол 20. Определить: 1) на какую высоту поднимется цилиндр; 2) сколько времени он будет двигаться вверх до остановки; 3) какое время затратит цилиндр на скатывание вниз до исходного положения; 4) скорость цилиндра в момент возвращения в исходное положение. Трением пренебречь. (0,69 м; 1,34 с; 1,34 с; 3 м/с).

237. Шар массой 300 г и радиусом 4 см начинает вращаться относительно оси, проходящей через центр масс, таким образом, что угол поворота зависит от времени по закону

 = 4Аt⁴ + В

(А = 4 рад/с⁴, В = 5 рад). Найти работу, которую совершает над телом результирующий момент внешних сил за промежуток времени от t₁ =2 с до t₂ =2,5 с после начала движения. (0,22 Дж.)