Приложение б – Комплексные числа

Методы расчета электрических цепей переменного тока с помощью векторных диаграмм, рассмотренные при выполнении лабораторной работы №4, основаны на изображении синусоидальных величин векторами. Символический метод заключается в применении комплексных чисел для решения тех же задач.

Для того, чтобы представить синусоидальный ток с помощью комплексного числа, проведем на комплексной плоскости из начала координат под угломк оси действительных числе вектор, длина которого равна амплитуде тока (рисунок Н). Конец этого вектора находится в точке, которой соответствует определенное комплексное число – комплексная амплитуда синусоидального тока

При увеличении во времени фазы угол между вектором и осью действительных чисел увеличивается, т.е. получается вращающийся вектор

Нетрудно видеть, что мнимая часть вращающегося вектора равна заданной синусоидальной величине.

Рисунок Н Представление синусоидальных величин комплексными числами

Применяются три формы записи комплексного значения синусоидальной величины:

показательная форма

тригонометрическая форма

алгебраическая форма

Мнимая единица для алгебраической формы комплексного числа играет ту же роль, что и множительдля показательной формы, так как

Умножение комплексного числа в алгебраической форме на , а в показательной форме на,означает поворот соответствующего этому числу вектора на угол в положительном направлении (т.е. против хода часовой стрелки) без изменения его длины.

Вектор на комплексной плоскости, длина которого равна действующему значению синусоидальной величины, и соответствующее комплексное число называются комплексным действующим значением синусоидальной величины.

Допустим, что в электрической цепи мгновенные значения тока и напряжения имеют вид

Комплексные действующие значения тока и напряжения равны

,

Пример. По комплексному току записать выражение для его мгновенного значения.

10 А

14,1 А.

Следовательно

Пример. Определить если

,

Рассмотрим цепи переменного тока, содержащие резисторы, конденсаторы и катушки индуктивностей с применением комплексных чисел.

Для электрической цепи переменного тока, содержащей только резистивный элемент, ток и напряжение совпадают по фазе. Представим действующие значения синусоидального тока и напряжения резистора соответствующими комплексными числами

и

Так как ,то для комплексных значений тока и напряжения закон Ома будет иметь вид:

Соотношение между комплексными значениями тока и напряжения для резистора иллюстрируется векторной диаграммой (рисунок О).

Рисунок О Векторная диаграмма для электрической цепи с резистором

Пример. На рисунке П изображена электрическая цепь с резистором. Используя комплексные числа рассчитать величину тока в электрической цепи и построить векторную диаграмму, если R=5 Ом, f=150 Гц. Амплитудное значение напряжения, приложенного к схеме, равно 10 В, а фаза.

Решение. Напряжение, приложенное к схеме, изменяется по закону , т.е. .Запишем то же самое в комплексной форме:

.

С помощью закона Ома найдем значение силы тока

,

где 2 А.

Действующие комплексные значения напряжения и силы тока соответственно равны ,. Построим векторную диаграмму, учитывая, что начальная фаза синусоидального сигнала равна(рисунок П).

Рисунок П Электрическая схема с резистором и векторная диаграмма

Для электрической цепи переменного тока, содержащей только катушку индуктивности, напряжение опережает ток по фазе на угол . Представим действующие значения синусоидального тока и напряжения катушки индуктивности соответствующими комплексными числами:

и

Так как , то получим закон Ома для индуктивного элемента в комплексной форме

Исходя из того, что =j, окончательно получим

Величина называется комплексным сопротивлением индуктивного элемента.

На рисунке Р приведена векторная диаграмма для индуктивного элемента. На векторной диаграмме показано, что вектор комплексного значения тока отстает по фазе от напряжения на угол .

Рисунок Р Векторная диаграмма для электрической цепи с индуктивностью

Пример. На рисунке С изображена электрическая цепь с катушкой индуктивности. Используя комплексные числа рассчитать величину тока в электрической цепи и построить векторную диаграмму, если L=10 мГн, f=50 Гц. Амплитудное значение напряжения, приложенного к схеме, равно 15 В, а фаза.

Решение. Напряжение, приложенное к схеме, изменяется по закону , т.е..Запишем то же самое в комплексной форме: .

С помощью закона Ома найдем значение силы тока

,

где 4,78 А.

Действующие комплексные значения напряжения и силы тока соответственно равны ,. Построим векторную диаграмму для данного случая(рисунок С).

Рисунок С Электрическая цепь с индуктивностью

Для электрической цепи переменного тока, содержащей только конденсатор, напряжение отстает от тока по фазе на угол . Представим действующие значения синусоидального тока и напряжения конденсатора соответствующими комплексными числами:

и

Так как , то получим закон Ома для конденсатора в комплексной форме

Исходя из того, что =j, получим

или

Величина называется комплексным сопротивлением емкостного элемента.

На рисунке Т приведена векторная диаграмма для емкостного элемента. На векторной диаграмме показано, что вектор комплексного значения тока опережает по фазе комплексное напряжение на угол .

Рисунок Т Векторная диаграмма для электрической цепи с конденсатором

Пример. На рисунке У изображена электрическая цепь с конденсатором. Используя комплексные числа рассчитать величину тока в электрической цепи и построить векторную диаграмму, если С=200 мкФ, f=200 Гц. Амплитудное значение напряжения, приложенного к схеме, равно 5 В, а фаза.

Решение. Напряжение, приложенное к схеме, изменяется по закону , т.е..Запишем то же самое в комплексной форме: .

С помощью закона Ома найдем значение силы тока

,

где 1,26 А.

Действующие комплексные значения напряжения и силы тока соответственно равны ,.Построим векторную диаграмму для данного случая(рисунок У).

Рисунок У Электрическая цепь с конденсатором

Рассмотрим электрическую цепь, состоящую из индуктивности и резистора. Если на вход такой цепи подать синусоидальное напряжение ,то в ней потечет ток . Напряжение на резисторе совпадает по фазе с током. Напряжение на индуктивности опережает по фазе ток на угол-.Запишем уравнение цепи, составленное по второму закону Кирхгофа, в комплексной форме:

,

.

Комплексное сопротивление цепи:

,

где ,.

Пример. На рисунке Ф изображена электрическая цепь с резистором и катушкой индуктивности. Используя комплексные числа рассчитать величину тока в электрической цепи и построить векторную диаграмму, если L = 10 мГн, R=2 Ом, f=50 Гц. Амплитудное значение напряжения, приложенного к схеме, равно 10 В.

Решение. Напряжение, приложенное к схеме, изменяется по закону , т.е..Запишем то же самое в комплексной форме: .

Реактивное сопротивление индуктивности равно

= 3,14 Ом.

Комплексное сопротивление цепи равно

где 3,72 Ом,

Амплитуда тока в цепи равна

.

Комплексные действующие значения тока и напряжения определим по формулам

,

Векторная диаграмма для действующих значений тока и напряжения имеет вид, показанный на рисунке Ф.

Рисунок Ф Электрическая цепь с резистором и индуктивностью