Пример 1.8. Найти площадь области D , ограниченной окружностями x2 + y2 =1 и x2 + y2 = 4 и прямыми x = y и y = 0, y ≥ 0.

Решение. Так как область D (рис. 1.13) есть часть круга, то площадь ее области вычислим по формуле (1.14), то есть воспользуемся полярными координатами. Пределы внешнего интеграла по переменной ϕ

под углом ϕ проведем луч. Точка входа этого луча в область D лежит на

дуге окружности x2 + y2 = 4, уравнение которой в полярных координатах ρ = 2, а точка выхода этого луча из области D лежит на дуге окружности

x2 + y2 =1, уравнение которой в полярных координатах ρ =1. Значит, пределами интегрирования по ρ, соответственно, будут 1 и 2. Поэтому

2. ТРОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

Тройной интеграл является аналогом двойного интеграла и вводится для функций трех переменных.

2.1. Определение тройного интеграла. Пусть функция f (x, y, z)

определена в ограниченной замкнутой области V . Разобьем эту область с помощью сети поверхностей на конечное число частичных областей

16

произвольную точку M i (xi , yi , zi ) , i =1, n и умножим значение функции f (x, y, z) в точке Mi на объем∆vi этой области, а затем составим сумму

i =1

которая называется интегральной суммой для функции f (x, y, z) по об-

ласти V .

Если существует конечный предел I интегральной суммы (2.1) при стремлении к нулю наибольшего λ из диаметров всех частичных областей

Если разбиение области V на частичные области проводить плоскостями, параллельными координатным плоскостям (в дальнейшем

будем предполагать, что это всегда имеет место), то частичные области Vi

I = ∫∫∫ f (x, y, z)dv = ∫∫∫ f (x, y, z)dxdydz.

17

Замечание 2.2. Можно указать менее жесткие условия существования тройного интеграла. Но мы ограничимся рассмотрением только непрерывных в замкнутой области функций.

#

Тройные интегралы обладают свойствами, аналогичными свойствам двойных интегралов (см. пункт 1.2).

2.2. Вычисление тройных интегралов сводится к трехкратному интегрированию, то есть к последовательному вычислению трех

двойной интеграл по области D .

Если область D является правильной в направлении оси Oy , то интеграл по области V вычисляется по формуле

1 Более сложные области V часто удается сводить к рассматриваемому виду путем разбиения их на конечное число областей V1,…,Vn, каждая из которых удовлетворяет условиям, изложенным выше.

18

то есть сводится к последовательному вычислению трех определенных интегралов. В (2.4) сначала вычисляется внутренний интеграл по переменной z при постоянных x и y , затем внутренний интеграл по

переменной y при постоянной x и, наконец, интеграл по переменнойx -

пределы интегрирования внешнего интеграла постоянны.

Разумеется, порядок интегрирования, при выполнении известных условий может быть избран другим, как в двойном интеграле по области D в формуле (2.4)

Наиболее простой вид формула вычисления тройного интеграла принимает в случае, когда V есть прямоугольный параллелепипед, ограниченный плоскостями x = a, x = b, y = c, y = d, z = e, z = h :

V

ограниченной плоскостями x = 0, x = 1, y = 0, y = 1, z = 0, z = 1. Решение. Так как область интегрирования есть прямоугольный

параллелепипед, то для вычисления данного интеграла воспользуемся формулой (2.6)

Решение. Область интегрирования V есть тетраэдр, расположенный в первом октанте (рис.2.2). Область V является правильной, так как прямая, проведенная через любую ее внутреннюю точку параллельно оси Oz пересекает поверхность ограничивающую пространственную область лишь в двух точках (рис.2.2), поэтому для вычисления заданного интеграла воспользуемся формулой (2.3).

19

x = 0, y = 0 и y = 2 − x . Следовательно, по формуле (2.4) имеем

#

2.3. Тройной интеграл в цилиндрических координатах. Как и в двумерном случае, для тройных интегралов имеют место формулы преобразования интеграла от прямоугольных координат к новым системам координат. Наиболее употребительные из них – цилиндрические и сферические координаты. Мы рассмотрим только преобразование к цилиндрическим координатам.

В цилиндрической системе координат положение точки M пространства определяется полярными координатами ϕ и ρ точки M ′ (проекции точки

Mна плоскость xOy ) и аппликатой z самой точки M (рис. 2.3). Числа

ϕ, ρ, z называют цилиндрическими координатами точки M , причем

20

ρ ≥ 0, ϕ [0,2π] z - любое. Цилиндрические координаты связаны с

x , y, z к цилиндрическим координатам ϕ, ρ, z осуществляется по

следующей формуле перехода

∫∫∫ f (x, y, z)dxdydz =∫∫∫ f (ρ cosϕ, ρsin ϕ, z)ρdρdϕdz ,

V V

где dv = ρdρdϕdz - элемент объема в цилиндрических координатах.

Выразим уравнения нижней и верхней частей поверхности S , ограничивающей данную область V , в цилиндрических координатах -

z = z1(ρ,ϕ) и z = z2 (ρ,ϕ) соответственно и запишем формулу для вычисления интеграла в цилиндрических координатах, аналогичную (2.3)

αρ1 (ϕ) z1 ( ρ,ϕ)

Формулу (2.8) удобно использовать, если область V проектируется в круг или часть круга.

Пример 2.3. Вычислить ∫∫∫(x2 + y2 )dxdydz по области, ограни-

V

ченной плоскостью z = 2 и параболоидом x2 + y2 = 2z.

Решение. Область V (рис. 2.4) снизу ограничена параболоидом x2 + y2 = 2z , сверху

плоскостью z = 2 . Эта область проектируется на плоскость xOy в облстьD , ограниченную

21

#

2.4. Вычисление объемов. С помощью тройных интегралов можно вычислить объем пространственной области, массу тела, занимающего область V , а также координаты центра тяжести этого тела и моменты инерции его относительно координатных осей и начала координат. Мы рассмотрим только геометрическое приложение тройного интеграла – вычисление объема пространственной области.

Как установлено в замечании 2.1 объем V пространственной области V может быть вычислен с помощью тройного интеграла по формуле

в результате исключения z из уравнения конуса и параболоида.

22