|
du |
− |
2 |
|
u = 0 – это ДУ с разделяющимися переменными. |
|||||
|
|
x +1 |
||||||||
|
dx |
|
du |
|
2 |
|
|
|||
Разделяя переменные |
= |
|
dx , интегрируем и берём какое-либо |
|||||||
|
x +1 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
u |
|
|||
одно частное решение для |
u(x) , например, полагая C = 0. |
|||||||||
Получим
ln u = 2ln x +1 u = (x +1)2 .
Подставляя найденную функцию u(x) в уравнение (*), получим для определения v(x) следующее уравнение с разделяющимися переменными:
(x +1)2 |
dv |
= (x +1)3 |
dv = (x +1)dx v = ∫(x +1)dx |
|||||||
dx |
||||||||||
|
|
|
|
(x +1)2 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
v = |
|
|
+C . |
|
||
Окончательно, |
2 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
(x +1)2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
y = uv = (x + |
1)2 |
|
+C . |
||||
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
(x +1)4 |
|
|
|
|
|
||
Ответ: |
y = |
+C(x +1)2 |
. ■ |
|
|
|||||
|
|
|
||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||
4.5.Дифференциальные уравнения Бернулли
Могут встречаться такие уравнения, которые не являются линейными, но, однако, могут быть приведены к линейным с помощью некоторых преобразований. Одним из таких уравнений является уравнение Бернулли, которое имеет вид
y′+ P(x) y = Q(x) yk , |
(4.14) |
где k – любое постоянное число, не равное 0 и 1 (если k = 0 или k =1, то уравнение (4.14) является линейным уравнением), и легко приводится к
линейному. Разделим (при |
y ≠ 0) все члены уравнения (4.14) |
на y k , |
получим |
|
|
y−k y′+ P(x) y1−k = Q(x). |
(4.15) |
|
Введём новую функцию |
z(x) = y1−k , (k ≠1) . |
(4.16) |
Продифференцировав (4.16) по x (как сложную функцию), получим
dxdz = (1 − k) y−k dydx ,
то есть
15
|
|
|
|
y |
−k dy |
= |
|
|
1 |
|
dz |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
dz |
|
|
dx |
1 |
− k dx |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Подставим z и |
в уравнение (4.15): |
|
|
|
|
|
||||||||||
dx |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
dz |
+ (1 − k)P(x)z = (1 − k)Q(x) . |
(4.17) |
||||||||||||
|
|
dx |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ДУ (4.17) является линейным относительно z(x) . Его решение можно |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
найти методом, изложенным в п.4.4. |
Зная z , легко найти y : |
y = z |
1−k |
. |
||||||||||||
Заметим, что уравнение Бернулли можно, не преобразовывая предварительно к линейному уравнению, решить тем же способом, что и линейное уравнение, полагая сразу y = uv . Продемонстрируем это на
примере.
Пример. |
Решить уравнение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
dy |
|
+ |
2 |
y = |
1 |
y |
2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
dx |
x |
x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Решение. |
|
Положим y = uv , |
тогда |
|
dy |
|
= u |
dv |
+ v |
du |
. |
Подставляем |
|||||||||||||
|
|
dx |
dx |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
dy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|||||
значения y |
и |
в данное уравнение, получим |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
dx |
|
dv |
|
du |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u2v2 . |
|
|||||||||||||
|
|
|
u |
|
+ v |
|
|
|
+ |
|
u |
= |
|
(*) |
|||||||||||
|
|
|
dx |
|
|
|
x |
x |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Подберём u |
так, чтобы |
коэффициент при |
v в уравнении (*) |
||||||||||||||||||
обратился в нуль: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
du |
+ |
2 |
u = 0 |
– |
ДУ с разделяющимися переменными. |
|||||||||||||||
|
dx |
|
|||||||||||||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
du |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||
Разделяя переменные, имеем |
|
|
|
= − |
|
|
|
dx , |
откуда, интегрируя, |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
получим |
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
x |
|
||||||||||
|
|
|
|
ln |
|
u |
|
= −2ln |
|
x |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
(берём одно частное решение u(x) , поэтому |
C = 0), |
|
|||||||||||||||||||
следовательно, |
|
|
|
u = x−2 = |
1 |
. |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
получим для определения v |
||||||
Подставляя значение u в уравнение (*), |
|
||||||||||||||||||||
следующее уравнение с разделяющимися переменными:
16
|
|
|
|
|
1 dv |
= |
|
|
1 1 |
|
v |
2 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
x2 dx |
|
|
|
x x4 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
или |
|
|
|
|
|
|
dv |
|
= |
|
|
dx |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
v2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Интегрируя, имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
||||
|
|
∫v−2dv = ∫x−3dx − |
= − |
|
+C , |
||||||||||||||||||
|
|
v |
2x |
2 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
откуда |
|
|
v = |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
− 2Cx2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Окончательно имеем решение исходного ДУ в виде |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
y = uv = |
|
|
2 |
|
|
|
. |
|
|
|
||||||||||
|
2 |
|
1 − 2Cx2 |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Ответ. |
y = |
|
. ■ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1 − 2Cx2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
4.6. Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах
Дифференциальным уравнением в полных дифференциалах называется уравнение вида
P(x, y)dx +Q(x, y)dy = 0 , |
(4.18) |
левая часть которого представляет собой полный дифференциал некоторой
функции u=u(x,y) , т.е.
du(x, y) = P(x, y)dx +Q(x, y)dy .
Его общий интеграл имеет вид
u(x, y) = C .
Известно, что полный дифференциал функции u=u(x,y) формулой
du(x, y) = ∂∂ux dx + ∂∂uy dy .
Из равенств (4.19) и (4.21) следует, что
P(x, y) = |
∂u(x, y) |
, |
Q(x, y) = |
∂u(x, y) . |
|
∂x |
|
|
∂y |
(4.19)
(4.20)
выражается
(4.21)
(4.22)
Необходимым и достаточным условием того, что левая часть уравнения (4.18) является полным дифференциалом некоторой функции, является выполнение равенства:
17
|
∂P(x, y) |
= |
|
∂Q(x, y) |
. |
(4.23) |
|
∂y |
|
|
|||
|
|
|
∂x |
|
||
Функция |
u=u(x,y), входящая |
в формулу |
(4.20), находится из |
|||
уравнений (4.22).
Пример. Найти общее решение уравнения
eydx + (xey − 2 y)dy = 0.
Решение. Для данного уравнения
|
P(x, y) = ey , |
Q(x, y) = xey − 2 y, |
||||||
|
∂P(x, y) |
= ey , |
∂Q(x, y) = e y . |
|
||||
|
∂y |
|
|
|
∂x |
|
||
Так как |
∂P(x, y) = |
∂Q(x, y) |
, |
то наше уравнение является |
||||
∂x |
||||||||
|
∂y |
|
|
|
|
|||
уравнением в полных дифференциалах. |
|
|
|
|
||||
Следовательно, |
∂u(x, y) |
= ey , |
|
∂u(x, y) |
= xey − 2 y. |
|||
∂x |
|
∂y |
||||||
|
|
|
|
|
||||
Интегрируя первое уравнение по х (у при этом считается постоянным), находим
u(x, y) = xey +ϕ( y) ,
где ϕ( y) - функция, подлежащая определению.
Дифференцируя по у найденную функцию u(x,y) и принимая во внимание равенство
∂u(x, y) = xey − 2 y ,
∂y
получим xey +ϕ′( y) = xey − 2 y ϕ′( y) = −2 y ϕ( y) = −y2 .
Тогда общее решение данного уравнения будет иметь вид
xey − y2 = C.
Ответ: xey − y2 = C. ■
5. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ
ПОРЯДКОВ, ДОПУСКАЮЩИЕ ПОНИЖЕНИЕ ПОРЯДКА
Если в дифференциальном уравнении (2.1) порядок n>1, то ДУ называется дифференциальным уравнением высшего порядка. Часто решение ДУ высших порядков с помощью специальных подстановок
18