Краткая теория

Колебательные контуры являются неотъемлемой частью любого радиотехнического устройства. В радиопередатчиках колебательные системы используются для излучения электромагнитных волн в пространстве, а в радиоприёмниках позволяют выделить необходимый для приёма участок спектра частот.

Рис. 1. Колебательный контур

Рассмотрим электрическую цепь, состоящую из последовательно соединенных конденсатора ёмкостью С, катушки индуктивностью L, электрического сопротивленияRи ключаK(рис. 1). Если при разомкнутом ключеKконденсатор зарядить до разности потенциалов, а затем замкнуть ключ, то конденсатор начнёт разряжаться и в цепи возникнет электрический токизменяющийся с течением времени от 0 до максимального значения, а затем снова уменьшается до нуля. Так как в цепи протекает переменный ток, то в катушке индуцируется ЭДС самоиндукции, которая препятствует разрядке конденсатора

. (1)

Тогда по закону Ома:

, (2)

или

. (3)

Сила тока– это скалярная величина, характеризующая электрический ток, равная отношению количества заряда, переносимое через сечение проводника в интервал времени к этому интервалу:

. (4)

Обозначим заряд первой обкладки конденсатора через , тогда с учётом выражения (4) получим

. (5)

Знак минус в данном выражении введен, потому что положительному направлению тока, принятому при составлении уравнения (1), соответствует убывание положительного заряда первой обкладки. Разность потенциалов между обкладками конденсатора равна:

. (6)

Подставляя выражения (4) – (6) в выражение (3), получим:

(7)

Выражение (7) есть дифференциальное уравнение, аналогичное дифференциальному уравнению свободных затухающих колебаний.

Свободными колебанияминазываются колебания, которые возникают в системе, не подверженной действию переменных внешних сил, в результате какого-либо начального отклонения этой системы от равновесия.

Затухающими колебанияминазываются колебания, энергия которых уменьшается с течением времени.

Решением уравнения (7) является выражение:

(8)

где

,

здесь ,– начальные значения соответственно амплитуды и фазы колебаний,– циклическая частота колебаний.

Таким образом, при замыкании заряженного конденсатора на цепь, состоящую из последовательно соединенных индуктивности и электрического сопротивления, заряд на обкладках конденсатора совершает свободные затухающие колебания. Поэтому изображенная на рис. 1 электрическая цепь получила название колебательного контура.

Начальные фаза и амплитуда колебаний существенным образом зависят от параметров колебательного контура:

,

,

где – заряд конденсатора в начальный момент времени, когда ток в цепи отсутствует.

Величина

называется коэффициентом затухания.

Периодом колебанийназывается тот наименьший промежуток времени, по истечении которого повторяются значения всех физических величин, характеризующих колебание. Затухающие колебания не являются периодическими.Поэтому периодом (условным периодом) затухающих колебанийназывается промежуток времени между двумя последовательными состояниями системы, при которых колеблющаяся величина проходит через равновесное значение, изменяясь в одном и том же направлении. В колебательном контуре период затухающих колебаний равен:

,

где – частота незатухающих свободных колебаний в колебательном контуре. ПриR =0свободные колебания в контуре становятся незатухающими.Период свободных незатухающих колебанийв колебательном контуре выражается формулой Томсона:

.

С увеличением сопротивления колебательного контура период свободных затухающих колебаний в нём возрастает и приобращается в бесконечность. Привыражение (8) уже не является решением дифференциального уравнения и процессы, происходящие в контуре при разрядке конденсатора, не носят периодического характера. Такой разряд конденсатора называется апериодическим. Величинаназываетсяволновым сопротивлением контура.

Логарифмическим декрементом затухания называется величина, определяемая формулой

где иамплитуд колебаний в момент времени. Логарифмический декремент затухания – величина, обратная числу колебанийN, по истечении которых амплитуда колебания уменьшается вераз:. Промежуток времени, в течение которого амплитуда колебания уменьшается вераз, называетсявременем релаксации

.

Переменный ток в контуре вызывает появление переменного магнитного поля. Одновременно с ним изменяется и энергия электрического поля конденсатора. Поэтому свободные колебания заряда на обкладках конденсатора называются свободными электромагнитными колебаниями. Энергия этих колебаний в начальный момент времени равна электрической энергии заряженного конденсатора:

.

Затем энергия электрического поля конденсатора уменьшается. Происходит превращение энергии электрического поля конденсатора в энергию магнитного поля, возникающего в катушке индуктивности. Когда сила тока в контуре становится максимальной , то электрическая энергия заряженного конденсатора равна нулю, а энергия магнитного поля катушки будет:

.

Затем энергия магнитного поля уменьшается до нуля и за счёт неё происходит перезарядка конденсатора и процесс повторяется снова. В реальных колебательных контурах имеют место следующие потери энергии: тепловые потери, возникающие при выделении тепла при прохождении электрического тока по контуру; потери в диэлектрике конденсатора; гистерезисные потери в сердечнике катушки; потери на излучение и др. Потери энергии колебаний определяют затухание. Основные потери энергии происходят при выделении тепла на сопротивлении Rпроводника.