Решение

1. Определяем число узлов схемы (у = 4); нумеруем узлы.

2. Принимаем потенциал 0 узла за нуль .

3. Определяем проводимости ветвей.

g₁ = g₃ = g₅ = 0,2 См; g₂ = g₄ =0,25 См.

4. Подсчитываем сумму проводимостей всех ветвей, присоединенных соответственно к 1, 2 и 3 узлам

g₁₁ =g₁ + g₄ = 0,45 См; g₂₂ =g₄ + g₃ + g₅ = 0,65 См; g₃₃ = g₅+ g₂ = 0,45 См.

5. Определяем сумму проводимостей ветвей между каждой парой соседних узлов, потенциалы которых подлежат определению.

g₁₂ = g₂₁ = g₄ =0,25 См; g₂₃ = g₃₂ = g₅ =0,2 См.

6. Определяем узловые токи.

Для 1 узла А.

Для 2 узла А.

Для 3 узла А.

7. Записываем систему узловых уравнений (1.17)

8. Решая полученную систему, находим

9. По (1.18) определяем токи

А; А;

А; А;

А.

1.8. Метод контурных токов

Другим важным методом является метод контурных токов, в основе которого также лежат уравнения Кирхгофа.

В расчет вводятся контурные токи, замыкающиеся по независимым контурам. Для них составляются уравнения по второму закону Кирхгофа. Действительные токи в ветвях схемы определяются как алгебраическая сумма контурных токов. При этом первый закон Кирхгофа удовлетворяется автоматически. Число решаемых уравнений сокращается до числа независимых контуров «k» (см. п. 1.5).

Лучше всего переход от уравнений, составленных по законам Кирхгофа, к контурным уравнениям можно показать на примере. Рассмотрим снова схему рис. 1.21. Перерисуем её ещё раз (см. рис. 1.24). Это нужно для того, чтобы не затемнять чертеж.

Для схемы рис. 1.24 составляем уравнения по законам Кирхгофа. По первому затону – для узлов 1, 2, 3; по второму закону – для 1-го и 2-го независимых контуров (см. рис. 1.24). Направление обхода контуров указано там же

I₄ – J - I₁ = 0; R₁I₁ + R₄I₄ + R₃I₃ = E₁ + E₄ - E₃;

I₃ + I₅ - I₄ = 0; R₂I₂ - R₅I₅ + R₃I₃ = E₂ + E₃ - E₅;

J - I₅ - I₂ = 0.

Выразим из первых трех уравнении токи I₃, I₄, I₅ через I₁, I₂ и J:

I₄ = J + I₁; I₅ = J - I₂; I₃ = I₄ - I₅ = I₁ + I₂.

Полученные значения I₃, I₄, I₅ подставим в два последних уравнения, которые составлены для независимых контуров. После несложных преобразований имеем

(R₁ + R₄ + R₃)I₁ + R₃I₂ + JR₃ = E₁ + E₄ + E₃;

R₃I₁ + (R₃ + R₂ + R₅)I₂ - JR₅ = E₂ + E₃ - E₅.

Из последних уравнений видно, что ток I₁ замыкается только по первому независимому контуру; ток I₂ – только по второму независимому контуру; по сопротивлению R₃ (общему для обоих независимых контуров) протекает как ток I₁, так и ток I₂; ток источника тока J замыкается по 4-ой и 5-й ветвям схемы (см. рис. 1.24), и слагаемые JR₄ и - JR₅ представляют собой падения напряжения на сопротивлениях R₄ и R₅ от тока J источника тока.

Введем обозначения

–первый контурный ток;

–второй контурный ток.

Члены JR₄ и - JR₅ можно записать в правой части уравнений. Тогда уравнения для контурных токов можно записать в более компактном виде

(1.19)

где R₁₁ = R₁ + R₄ + R₃ – собственное сопротивление 1-гo контура;

R₂₂ = R₃ + R₂ + R₅ – собственное сопротивление 2-го контура;

R₁₂ = R₂₁ =  R₅ – общее сопротивление 1-го и 2-го контуров;

E₁₁ = E₁ + E₄ + E₃ -JR₄ – контурная ЭДС 1-го контура;

E₂₂ = E₂ + E₃ - E₅ + JR₅ – контурная ЭДС 2-го контура.

Общее решение системы уравнений (1.19) относительно контурных токов будет таково:

(1.20)

где – определитель системы.

Алгебраическое дополнение _mn получено из определителя путем вычеркивания «m»-ой строки и «n»-го столбца и умножения полученного определителя на (–1)^m+n.

Определитель системы  обладает симметрией относительно гласной диагонали (R₁₂ = R₂₁ = R₅) и в силу этого _mn = _nm.

В рассматриваемом примере число независимых контуров равно двум, однако это не умаляет общности всех рассуждений. т. е. все выкладки могут быть распространены на любое число независимых контуров.

По методу контурных токов составляются уравнения только по второму закону Кирхгофа. Это приводит к уменьшению числа решаемых уравнений.

Рекомендуется следующий порядок расчета цепи по методу контурных токов.

1. Определить независимые контуры рассматриваемой цепи. Пронумеровать их.

2. Выбрать произвольно направление обхода независимых контуров. Направление контурного тока и направление обхода контура совпадают.

3. Если в схеме есть источник тока, то надо, считая ток источника за контурный ток, наметить произвольный путь, по которому он будет замыкаться.

4. Составить уравнения по второму закону Кирхгофа для всех независимых контуров. При этом надо учесть падение напряжения от тока источника тока.

5. Определить контурные токи.

6. Определить действительные токи в ветвях.

Пример 1.6. Пользуясь методом контурных токов определить токи в схеме рис. 1.24. Параметры схемы по примеру 1.3.

Р е ш е н и е

1. Определяем независимые контуры. Их два. Это 1 контур и 2 контур.

2. Выбираем направление обхода независимых контуров (см. рис. 1.24). Направления контурных токов иуказаны там же.

3. Ток источника J считаем замыкающимся через сопротивления R₄ и R₅, (см. пунктир на рис. 1.24).

4. Составляем уравнения для 1-го и 2-го контуров по второму закону Кирхгофа.

где R₁₁ = R₁ + R₄ + R₃ = 14 Ом;

R₂₂ = R₃ + R₂ + R₅ = 14 Ом;

R₁₂ = R₂₁ = R₃ = 5 Ом;

E₁₁ = E₁ + E₄ + E₃ - JR₄ = 17 В;

E₂₂ = E₂ + E₃ - E₅ + JR₅ = 15 В.

5. Записываем и решаем систему уравнений (1.19)

Решение определителя по (1–20)

; ₁₁ = 14; ₂₂ = 14; ₁₂ = ₁₂ = - 5;

А;

А

6. Определяем токи в ветвях схемы

А;

А;

А;

А;

А.