Решение

1. Выбираем положительные направления токов во всех b = 5 ветвях схемы. На рис. 1.18 они обозначены стрелками.

2. В схеме у = 4 узла. Нумерация их показана на рисунке.

3. В рассматриваемой цепи два независимых контура. 0ни обозначены соответственно 1к и 2к.

4. Выбираем произвольно направления обхода независимых контуров. Например, в первом контуре по часовой стрелке; во втором контуре – против. На рис. 1.21 эти направления показаны круглыми стрелками.

5. По первому закону Кирхгофа составляем уравнения для у – 1 = 4 – 1 = 3 узлов. Это узлы 1, 2, 3 (см. рис. 1.21).

6. По второму закону Кирхгофа составляем уравнения для k = b – (у – 1) = 5 - (4 –1) = 2 независимых контуров. Это контуры 1к и 2к.

Уравнения для цепи, изображённой на рис. 1.21, выглядят так:

Узел 1. I₄ - J - I₁ = 0; R₁I₁ + R₄I₄ + R₃I₃ = E₁ + E₄ + E₃;

Узел 2. I₃ + I₅ - I₄ = 0; R₂I₂ + R₅I₅ + R₃I₃ = E₂ + E₃ - E₅;.

Узел 3. J - I₅ - I₂ = 0;

Подставим числовые значения

- I₁ + I₄ = 2; 5I₁ + 5I₃ + 5I₄ = 25; I₃ - I₅ - I₄ = 0; 4I₂ + 5I₃ - 5I₅ = 5; - I₂ - I₅ = - 2;

Решая полученную систему из пяти уравнений, определяем токи в ветвях:

I₁ = 0,95 А; I₄ = 2,95 А; I₂ = 0,73 А; I₅ = 1,27 А, I₃ = 1,68 А.

Все токи получились со знаком «+». Это значит, что произвольно заданные положительные направления токов совпали с действительными. Если бы получился знак «-», то это значило бы, что действительное направление тока противоположно выбранному положительному направлению.

1.6. Баланс мощности в электрической цепи

Энергетические соотношения в электрической цепи определяются равенством суммарной мощности, развиваемой всеми источниками, и суммарной мощности всех потребителей:

,

или. (1.15)

где m – количество источников ЭДС; n – количество источников тока; k – количество резисторов в цепи; I, U – положительные направления токов источников ЭДС и напряжений источников тока.

В левой части уравнения (1.15) члены вида EI берутся со знаком «+» (плюс), если положительные направления тока и ЭДС совпадают; знак произведений вида JU зависит от знака U, т. е. положительного направления напряжения источника тока.

Напряжение источника тока равно разности потенциалов точки, в которую ток источника тока входит, и точки, из которой он выходит (см. рис. 1.21, напряжение U₁₃).

Следует подчеркнуть, что положительные значения токов и напряжений берутся с теми знаками, которые получились в результате расчета. Все сказанное проиллюстрируем на примере.

Пример 1.4. Составить баланс мощности для схемы рис. 1.21, используя результаты предыдущего расчета.

Решение

Общее выражение для расчета.

Для исследуемой цепи

Определяем напряжение U₁₃. Воспользуемся вторым законом Кирхгофа для определения напряжения между точками 1 и 3. В этом случае в правую часть уравнения (1.14) следует ввести искомое напряжение U₁₃ вдоль пути, как бы дополняющего контур до замкнутого (см. пунктир рис. 1.21). В соответствии со сказанным, можно записать

- E₄- E₅ = U₁₃ – R₅I₅ – R₄I₄;

U₁₃ = - E₄ - E₅ + R₅I₅ + R₄I₄ = – 5 – 20 + 51,27 + 42,95 = – 6,84 B.

Теперь 'есть все данные для расчета баланса. Получаем

100,95 + 150,73 + 101,68 + 52,95 + 201,27 + 2(–6,84) =

= (0,95)²5 + (0,73)²4 + (1,68)²5 + (2,95)²4 + (1,27)²5;

63,8 Вт = 63,8 Вт.

Итак, мы познакомились с одним из методов расчета электрических цепей, основанным на применении законов Кирхгофа. Существенный недостаток этого метода – рост числа уравнений с ростом числа ветвей схемы. Все другие методы расчета и преобразования электрических цепей, которые будут изложены ниже, имеют перед собой основную задачу: сократить число решаемых уравнений и кратчайшим путем получить нужный результат. Все методы будут иллюстрироваться примерами и сравниваться друг с другом.

Хотелось бы еще раз подчеркнуть, что в основе всех методов расчета электрических цепей лежат законы Ома и Кирхгофа, имеющие фундаментальное значение.