Решение

А;

А.

Пример 1.10. В условиях примера 1.8 Е₂ принимает значения: а) 40 В; б) 80 В. Определить токи I₄ и I₅.

Решение

а)Е₂=40В; А;

А.

а) Е₂ = 80 В; А;

А.

1.11. Принцип взаимности

Он формулируется так: «В любой линейной цепи ток I_k в k-й ветви, вызванный включением в n-ю ветвь ЭДС E_n, равен току I_n в n-й ветви, вызванному включением в k-ю ветвь ЭДС E_k = E_n».

Пусть в рассматриваемой цепи ЭДС действуют сначала только в n-й ветви, а затем только в k-й ветви, причем E_k = E_n. Другие ЭДС отсутствуют. По методу контурных токов

Известно, что _kn =  _nk (§1.8). Следовательно:

Это и есть общее доказательство принципа взаимности.

В частности, на примере 1.8 это можно показать наглядно.

При расчете цепи от ЭДС Е₂:

При расчете цепи от ЭДС Е₃:

Если положить Е₂ = Е₃, то . Кроме того, получаем другое очень важное выражение принципа взаимности

g₂₃ = g₃₂

или g_kn = g_nk. (1.23)

Экспериментальное определение взаимных проводимостей иллюстрируется схемами рис. 1.25 и 1.30.

1.12. Теорема о компенсации

Она формулируется так: «В электрической цепи любое сопротивление с током можно заменить ЭДС, равной падению напряжения на этом сопротивлении и направленной навстречу току в этом сопротивлении».

Для доказательства этого обратимся к рис. 1.31 а, б, в. Падение напряжения на сопротивлении R будет равно U = RI (pиc. 1.31 а). Включим последовательно с сопротивлением две ЭДС, каждая из которых равна по величине падению напряжения на сопротивлении R, т.е. RI. Причем эти ЭДС направлены навстречу друг другу. Очевидно, что в этом случае токораспределение в схеме не изменится.

Проследим изменение потенциала вдоль участка цепи от точки «а» до точки «d». Считаем потенциал точки а известным; тогда для потенциала точки d можно записать

Так как потенциалы точек d и а оказались одинаковы, то эти точки можно соединить проводом, т. е. закоротить. Схема рис. 1.31 б переходит в схему рис. 1.31 в, что и требовалось доказать.

1.13. Линейные соотношения в линейных электрических цепях

Если в линейной электрической цепи изменяется ЭДС или сопротивление в какой-либо одной ветви, то два тока в любых двух ветвях (или напряжения на элементах этих ветвей) связаны друг с другом линейным соотношением:

Докажем это. Согласно принципу наложения можно записать

Пусть в схеме меняется только ЭДС Е_m. Тогда

Из второго уравнения

Полученное выражение подставим в первое уравнение

Откуда

(1.24)

Коэффициенты а и b определяют экспериментально или расчетным путем по двум режимам.

Пример 1.11. Используя результаты решения примера 1.10, определить коэффициенты линейного соотношения

Решение

При E₂ = 40 В имеем: I₄ = 0,8 А; I₅ = 1 A.

При E₂ = 60 В имеем: I₄ = 1,0 А; I₅ = 2 A.

Получаем два уравнения

откуда

Итак

Проверка. В примере 1.8 при Е₂ = 20 В было получено I₄ = 0,7 А и I₅ = 0,5 A. Это удовлетворяет предыдущему уравнению

0,7 = 0,6+0,20,5; 0,7 А = 0,7 А.

Задачи для самостоятельного решения (к главе 1)

1. В схеме рис. 1.32 определить токи, используя методы: узловых потенциалов, контурных токов, наложения.

Ответ: I₁ = 2 А; I₂ = 5 А; I₃ = 15 А.

2. Для схемы рис. 1.32 определить собственные и взаимные проводимости ветвей и коэффициенты передачи по току.

Ответы: g₁₁ = 0,4 См; g₂₂ = 0,15 См; g₃₃ = 0,345 См;

g₁₂ = g₂₁ = 0,1 См; g₃₁ = g₁₃ = 0,3 См,

; ; .

3. Для схемы рис. 1.32 найти линейную зависимость токов I₂ и I₃.

Ответ: I₂ = 0,05 + 0,033I₃.

24