5. Расчет простейших цепей при синусоидальных токах и напряжениях

5.1. Общие и методические замечания

Комплексный метод является методом алгебраизации дифференциальных уравнений. Сущность его заключается в том, что сначала все заданные функции времени заменяют их комплексными изображениями и все дифференциальные и алгебраические уравнения, составленные по законам Кирхгофа, заменяют алгебраическими уравнениями в комплексной форме, содержащими комплексные величины заданных и искомых функции, их производных и интегралов.

Решая эти алгебраические уравнения, находят комплексные выражения искомых функций и от них, при необходимости переходят к оригиналам этих функций.

Рассмотрим теперь выражение для производной по времени от синусоидального тока

При этом

Из только что сказанного вытекает, что изображение производной будет иметь вид

или

Таким образом, изображение от производной действительной функции является произведением изображения этой действительной функции на j.

Рассмотрим выражение для заряда на конденсаторе, равного интегралу от синусоидального тока, протекающего через конденсатор

Мы рассматриваем только случаи, когда приложенное к зажимам цепи напряжение и ЭДС, действующие в цепи, синусоидальны и не содержат постоянных составляющих, напряжение на конденсаторах также не содержат постоянных составляющих.

Таким образом,

и соответствующее ему изображение

т. е. изображение от интеграла действительной функции является частным от деления изображения этой действительной функции на j.

Для цепей переменного тока справедливы законы Кирхгофа.

Первый закон: «Алгебраическая сумма мгновенных значений токов, соединенных в узел, равна нулю».

Для этих же значений токов справедлив первый закон Кирхгофа, записанный в комплексной форме.

Второй закон: «Алгебраическая сумма мгновенных значений ЭДС всех источников напряжения в любом замкнутом контуре схемы равна алгебраической сумме мгновенных значений напряжений на всех остальных элементах того же контура».

Для тех же значений ЭДС и напряжений справедлив второй закон Кирхгофа, записанный в комплексной форме.

5.2. Электрическая цепь синусоидального тока и ее схема

Электрический ток неразрывно связан с магнитным и электрическим полями. При переменном токе эти поля изменяются во времени. Изменяющееся магнитное поле наводит ЭДС, изменение электрического поля сопровождается изменением зарядов на проводниках. В проводниках, в резисторах, а часто и в окружающей их среде электромагнитная энергия преобразуется в тепло. В ряде устройств электромагнитная энергия преобразуется я в другие виды энергии (в механическую, химическую и т. д.); часть электромагнитной энергии излучается. В электрической цепи нельзя выделить какого-либо участка, с которым не были бы связаны эти явления.

Для того чтобы упростить исследование процессов в реальной электрической цепи переменного тока, ее, как и цепь постоянного тока, заменяют схемой замещения или, короче, просто схемой, составленной из элементов, каждый из которых учитывает одно из этих явлений. Напомним, что нами будут рассматриваться цепи с сосредоточенными постоянными.

К пассивным элементам схемы при переменных токах относятся резистор с сопротивлением R, катушка с индуктивностью L, конденсатор с емкостью С. Их условные обозначения показаны на рис. 5.1.

Взаимная индуктивность между отдельными частями электрических устройств учитывается как взаимная индуктивность М между катушками индуктивности на схеме рис. 5.2. Таким образом, взаимная индуктивность не является самостоятельным элементом схемы.

В этом разделе рассматриваются линейные цепи, т. е. такие цепи, сопротивления, индуктивности и емкости которых не зависят от тока или напряжения.

Следует обратить внимание на то, что на рис. 5.1 показаны направления токов и совпадающие с направлением тока напряжения (или падения напряжений) на этих пассивных элементах. Падение напряжения в буквальном смысле означает уменьшение напряжения. Это падение напряжения всегда совпадает с выбранным направлением тока на пассивных элементах цепи.

В резисторе R электромагнитная энергия преобразуется в тепло. Мощность преобразования энергии в тепло равна Ri². Это преобразование носит необратимый характер – электрическая энергия переходит в тепловую. По этой причине сопротивление R является активным сопротивлением в отличие от реактивных сопротивлений конденсатора С, катушки индуктивности L, где необратимого преобразования энергии нет.

Напряжение между зажимами сопротивления и ток в сопротивлении связаны законом Ома

Элемент схемы – индуктивность L (рис. 5.1) учитывает энергию магнитного поля и явление самоиндукции При изменении тока в индуктивности .возникает ЭДС самоиндукции е_L. По закону Ленца она препятствует изменению тока. Для того чтобы через индуктивность проходил переменный ток, на ее зажимах должно быть напряжение, равное и противоположное наведенной ЭДС

В этом случае выбранное положительное направленно тока и напряжения (падение напряжения) всегда совпадают по направлению.

Элемент схемы – емкость С (рис. 5.1) учитывает энергию электрического поля. На электродах емкости заряды равны и противоположны по знаку, где_А и _В потенциалы точек А и В соответственно. Для указанных на рис. 5.1 положительных направлений тока i и напряжения на емкости и_С заряд q_А и напряжениеимеют одинаковые знаки, т. е.

Ток в ветви с емкостью равен скорости изменения заряда на электродах и при указанном положительном направлении тока знак тока совпадает со знаком производной по времени от заряда. Действительно, приросту q_А соответствует положительное значение тока, убыли заряда q_А – отрицательное значение тока. Поэтому, обозначения q_А = q можно записать