3.6. Матричная форма записи метода узловых потенциалов

Уравнение для узловых потенциалов выводят из уравнений, составленных по первому закону Кирхгофа для исследуемой схемы.

Подставив в матричное уравнение (3.15) матрицу I из (3.11). получим

(3.25)

Уравнение (3.12) с учётом (3.10) может быть записано в такой форме

(3.26)

Можно показать, что с помощью транспонированной узловой матрицы А^Т, матрица напряжений ветвей схемы U^B может быть выражена через матрицу потенциалов узлов  в таком виде

(3.27)

где  - столбовая матрица потенциалов узлов схемы.

Уравнение (3.26). переписанное относительно матрицы U и с учётом (3.27). запишем так

(3.28)

Теперь уравнение (3.25) с учётом (3.28) примет вид

(3.29)

Произведение матриц АG^ВА^Т даёт матрицу узловых проводимостей G^У, а правая часть уравнения (3.29) представляет собой матрицу узловых токов J^У. Теперь уравнение (3.29) примет вид

(3.30)

При составлении матрицы G^У следует учесть, что g_ii > 0, g_ik < 0 (см. уравнение 1.17).

Уравнения (3.28) и (3.29) являются узловыми уравнениями в матричной форме.

Матрицы уравнения (3.29) наиболее простые для составления, поэтому для ввода матриц в ЭВМ пользуются именно этим уравнением.

После решения уравнения (3.29) на ЭВМ относительно потенциалов , решается уравнение (3.27) относительно U^B, далее (3.28) относительно U и (3.11) относительно I.

Перечисленные матрицы выводятся в качестве выходных данных.

Пример 3.2. Для схемы рис. 3.1 составить необходимые матрицы для определения токов в резисторах методом узловых потенциалов с целью вывода их в ЭВМ. Параметры элементов схемы те же, что и в примере 3.1.

Для решения матричного уравнения (3.29) запишем следующие матрицы:

Узловую