9

ЛЕКЦИЯ 3. Кривые и поверхности второго порядка.

Канонические уравнения

Определение 3.1. Поверхностью второго порядка в пространстве называется множество точек , координаты которых удовлетворяют уравнению

.

Это уравнение можно записать в виде

.

Здесь – квадратичная форма, а – линейная форма.

Можно показать, что последнее уравнение преобразованиями поворота и параллельного переноса приводится к одному из канонических видов, перечисленных ниже. Каждое уравнение в каноническом виде двумерном или трёхмерном пространстве с декартовой системой координат описывает кривую линию или поверхность второго порядка специального вида.

Эллипс и гипербола. В пространстве существуют две кривые второго порядка, называемые центральными. Эти кривые описываются каноническими уравнениями вида

, (1)

(2)

и называются, соответственно, эллипсом и гиперболой. Общий вид этих кривых второго порядка приведён на рисунке 1. а и 1. б. Изучим некоторые свойства эллипса и гиперболы.

Из уравнения (1) следует, что и . Координатные оси и являются осями симметрии эллипса, а начало системы координат является центром симметрии эллипса. Оси симметрии называются главными осями эллипса, а центр симметрии – центром эллипса. Если выполняется, например, условие , то ось называется большой осью эллипса, а ось – малой осью эллипса. Точки пересечения главных осей и эллипса называются вершинами эллипса. Если , то эллипс вырождается в окружность.

Пусть, для определённости, . Обозначим , тогда точки и , расположенные на оси симметрично центру эллипса, называются фокусами эллипса.

Имеют место следующие свойства эллипса.

Свойство 3.1. Сумма расстояний от любой точки эллипса до его фокусов и есть постоянная величина, равная .

Для всех точек эллипса выполняются следующие равенства:

, .

Прямые линии и с уравнениями

, , (3)

соответственно, называются левой и правой директрисами эллипса.

Свойство 3.2. Отношение расстояний от любой точки эллипса до фокусов и , и расстояний от точки до соответствующих директрис и , есть величина постоянная, то есть , .

В отличие от эллипса, гипербола является неограниченной кривой линией, что непосредственно видно из уравнения (2). Оси координат и начало координат являются, соответственно, осями и центром симметрии гиперболы. Так же, как и в случае эллипса, оси симметрии и центр симметрии гиперболы называются её главными осями и центром гиперболы соответственно. Точки, в которых одна из главных осей пересекается с гиперболой, называются вершинами гиперболы. На рисунке это ось , которая в данном случае называется действительной осью гиперболы. Вторая ось – ось , не имеет с гиперболой общих точек и по этой причине называется мнимой осью гиперболы. Если ввести обозначение , то точки и называются фокусами гиперболы.

Имеют место следующие свойства гиперболы.

Свойство 3.1. Абсолютная величина разности расстояний от любой точки гиперболы до её фокусов и есть постоянная величина, равная .

Прямые линии с уравнениями

, (4)

или прямая линия с уравнением

. (5)

называются асимптотами гиперболы.

Для точек гиперболы, как и для точек эллипса, справедливы следующие равенства:

; .

Прямые линии и с уравнениями

, (6)

называются, соответственно, директрисами гиперболы.

Свойство 3.2. Для любой точки гиперболы отношение расстояний от точки до фокусов и , и расстояний от точки до соответствующих директрис и есть величина постоянная, то есть

, где .

Парабола. На плоскости существует единственная нецентральная кривая второго порядка – парабола с каноническим уравнением

. (7)

Парабола изображена на рисунке 2, из которого видно, что парабола является неограниченной кривой линией, как и рассмотренная выше гипербола. Парабола имеет одну ось симметрии, а именно ось и не имеет центра симметрии. Точка пересечения оси параболы с самой параболой называется вершиной параболы. Точка называется фокусом параболы. Прямая линия с уравнением

, (8)

называется директрисой параболы.

Имеют место следующие свойства параболы.

Свойство 3.1. Расстояние от любой точки параболы до директрисы равно расстоянию от той же точки до фокуса параболы.

Свойство 3.2. Для любой точки параболы отношение расстояний от точки до фокуса и расстояния от точки до директрисы есть величина постоянная, равная единице, то есть .

Эллипсоид и гиперболоиды. В пространстве существует три типа невырожденные, центральные поверхности второго порядка, определяемых каноническими уравнениями

, (9)

, (10)

. (11)

Поверхности, задаваемые в пространстве уравнениями (9) – (11), называются соответственно, эллипсоидом, однополостным гиперболоидом и двуполостным гиперболоидом.

Чтобы выяснить вид этих поверхностей, воспользуемся методом сечений. Суть этого метода состоит в построении бесконечного семейства плоскостей, параллельных координатным плоскостям. Так в случае уравнения (9) проводим семейство плоскостей, параллельных координатной плоскости с уравнениями , где . Тогда подстановка в уравнение (9) даёт уравнение

,

которое для значений совпадает с уравнением эллипса (1). Следовательно, в сечениях получаем эллипсы. Сечения координатными плоскостями и также являются эллипсами. Общий вид этих поверхностей второго порядка приведён на рисунках 3 а, б, в.

Конус. В трёхмерном пространстве существует коническая поверхность с каноническим уравнением

. (12)

Вид поверхности, описываемой уравнением (12), приведён на рисунке 4. Эта поверхность называется конусом. При конус называется прямым круговым конусом.

Параболоиды. В пространстве существуют две невырожденные нецентральные поверхности с каноническими уравнениями:

(13)

– эллиптический параболоид;

(14)

– гиперболический параболоид.

Исследуем поверхности, задаваемые уравнениями (13) и (14), методом сечений.

В случае эллиптического параболоида имеем: в сечении поверхности плоскостью – эллипс, а в сечениях поверхности координатными плоскостями и – параболы. Если , то эллиптический параболоид превращается в прямой круговой параболоид.

В случае гиперболического параболоида имеем: в сечении поверхности плоскостью – гиперболу; в сечении поверхности плоскостью – параболу ; в сечении поверхности плоскостью – гиперболу; в сечении плоскостью – пару прямых линий.

Общий вид эллиптического и гиперболического параболоидов приведён на рисунке 5 а. и 5 б. соответственно.

Цилиндры. В пространстве общий вид вырожденной поверхности получается параллельным переносом вдоль оси какой-либо кривой второго порядка на плоскости . При этом для эллипса, гиперболы и параболы получаются поверхности, носящие соответственно названия эллиптический, гиперболический и параболический цилиндры (рисунок 6). Пара параллельных, пересекающихся или слившихся прямых приводит, соответственно, к паре параллельных, пересекающихся или слившихся плоскостей (рисунок 7).