5. РАЗДАТОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ по II семестру / Алгебра и геометрия. Часть 2 / 1. Лекции / 14. Лекция 10. Квадратичные формы ++

Приведение квадратичной формы к каноническому виду методом выделения полного квадрата. Пусть на векторах пространства задана квадратичная форма . Вид этой квадратичной формы в общем случае даётся выражением . Рассмотрим вопрос о приведении квадратичной формы к сумме квадратов методом, отличным от метода ассоциированного оператора – методом выделения полного квадрата.

Т е о р е м а 3.3.5. Пусть – произвольная квадратичная форма, определённая на векторах пространства . Тогда найдётся базис такой, что

, (3.3.16)

где – некоторые фиксированные числа из поля .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть форма содержит лишь одну координату с ненулевым коэффициентом, например, , то есть имеет вид . Утверждение теоремы, очевидно, выполняется. Пусть утверждение теоремы справедливо для любых квадратичных форм, содержащих координат. Рассмотрим форму, содержащую координат:

. (3.3.17)

Если хотя бы при одном квадрате, например, при , коэффициент отличен от нуля, то соберём все слагаемые, содержащие : . Выделим в этой группе слагаемых полный квадрат:

. (3.3.18)

Тогда квадратичная форма (3.3.17) примет вид:

Здесь квадратичная форма зависит уже только от координат . Положим

(3.3.19)

Нетрудно видеть, что определитель матрицы преобразования (3.3.19) . Поэтому преобразование координат (3.3.19) вызвано переходом к новому базису, причём, как известно, матрица перехода является транспонированной обратной матрицей преобразования (3.3.19). По предположению индукции квадратичную форму , зависящую уже только от координат , путём перехода к новому базису можно привести к виду (3.3.16). Поэтому и форма приведётся к виду (3.3.16).

Пусть теперь все коэффициенты при квадратах равны нулю, то есть . Допустим, например, что . Положим . Это преобразование соответствует переходу к базису с матрицей перехода

.

Определитель этой матрицы . При этом преобразовании и приходим к предыдущему случаю, когда имеется квадрат с отличным от нуля коэффициентом.