5. РАЗДАТОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ по II семестру / Алгебра и геометрия. Часть 2 / 1. Лекции / 14. Лекция 10. Квадратичные формы ++

175

Квадратичные формы в пространстве ГЛАВА 3

3.3. Квадратичные формы в пространстве

Понятие квадратичной формы. Пусть – ортонормированный базис в пространстве и – линейный оператор. Учитывая, что для любого вектора справедливо разложение , рассмотрим в евклидовом пространстве скалярное произведение вектора на его образ :

.

Обозначим , . Тогда получаем:

.

О п р е д е л е н и е 3.3.1. Квадратичной формой от переменных называется формальное выражение

, (3.3.1)

где – симметрические вещественные коэффициенты.

В общей записи квадратичной формы (3.3.1) симметрическая матрица называется матрицей квадратичной формы .

Преобразование матрицы квадратичной формы при изменении базиса. Пусть в пространстве фиксированы два ортонормированных базиса: старый базис и новый базис . Формула преобразования векторов старого базиса в векторы нового базиса имеет вид (2.6.1):

, (3.3.2)

где – ортогональная матрица перехода от старого базиса к новому базису. Координаты произвольного вектора при переходе от нового базиса к старому базису преобразуются при помощи матрицы по формулам (2.4.14):

. (3.3.3)Е

Квадратичную форму запишем в старом и новом базисах:

; (3.3.4)

. (3.3.5)

Преобразуем формулу (3.3.4), используя (3.3.3):

,

где – элементы матрицы, транспонированной по отношению к матрице (матрица , следовательно ). Сравнивая с формулой (3.3.5), получаем

, (3.3.6)

или

. (3.3.7)

При изменении базиса матрица квадратичной формы преобразуется по формуле (3.3.7) и, так как по теореме 3.2.9 справедливо равенство , то ранг матрицы квадратичной формы равен рангу матрицы , то есть, не зависит от выбора базиса. По этой причине ранг матрицы называется рангом квадратичной формы . Квадратичная форма, имеющая ранг, совпадающий с размерностью пространства , называется невырожденной.

Оператор с матрицей, равной матрице квадратичной формы, то есть , называется оператором, ассоциированным с квадратичной формой .

При переходе к новому базису с матрицей перехода , матрица квадратичной формы преобразуется по формуле , а матрица оператора по формуле . Таким образом, матрицы квадратичной формы и оператора преобразуются, вообще говоря, неодинаково. Но так как матрица перехода ортогональная (), то с учётом симметричности матрицы квадратичной формы и, следовательно, для матрицы ассоциированного оператора, получаем

,

то есть закон преобразования матриц квадратичной формы и оператора один и тот же.

Так как оператор самосопряжённый (симметрический), то по теореме 3.2.5 можно выбрать базис из собственных векторов оператора , такой, что в нём матрица оператора, являющаяся одновременно и матрицей квадратичной формы, приводится к диагональному виду. Следовательно, квадратичная форма примет в этом базисе следующий вид:

, (3.3.8)

который называется каноническим видом квадратичной формы. Коэффициенты называются каноническими коэффициентами, а – это новые координаты в базисе собственных векторов оператора , который также называется каноническим базисом квадратичной формы. Нетрудно видеть, что канонический вид квадратичной формы определяется не единственным образом. Отметим также, что в общем случае не все канонические коэффициенты отличны от нуля – форма может быть вырожденной.

Знакоопределённые квадратичные формы. Очевидно, что число отличных от нуля канонических коэффициентов , где в общем случае (случай вырождения формы), равно рангу квадратичной формы. Эти коэффициенты могут быть как положительными, так и отрицательными. Справедлива, однако, следующая важная теорема.

Т е о р е м а 3.3.1 (закон инерции квадратичных форм). Число положительных и число отрицательных коэффициентов в каноническом виде (3.3.8) квадратичной формы не зависит от выбора канонического базиса.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть квадратичная форма в некотором базисе пространства имеет вид , где . Предположим, что в пространстве зафиксированы два канонических базиса и , в которых разложения произвольного вектора имеют соответственно вид

, . (3.3.9)

В базисе форма имеет вид

, (3.3.10)

а в базисе – вид

. (3.3.11)

В (3.3.10) и (3.3.11) числа и считаются положительными. Покажем, что и . Для этого допустим, что . Рассмотрим в пространстве подпространство , порождённое векторами , и подпространство , порождённое векторами . Сумма их размерностей равна , так как . По теореме 2.3.10 имеем: , следовательно, . Последнее означает, что : . Этот вектор можно представить в виде разложений , . По формуле (3.3.11) для вектора имеем , а по формуле (3.3.10) . Получили противоречие, из которого следует, что .

Аналогично можно показать, что . Из этих двух неравенств следует, что . Точно также показывается, что .

Полное число членов, входящих в канонический вид квадратичной формы , равное её рангу, называется индексом инерции квадратичной формы, а число положительных и число отрицательных членов называются соответственно положительным индексом инерции и отрицательным индексом инерции квадратичной формы.

О п р е д е л е н и е 3.3.2. Квадратичная форма называется положительно определённой (положительной), если все её канонические коэффициенты положительны, то есть, если выполняется неравенство , и отрицательно определённой (отрицательной), если , выполняется неравенство .

Т е о р е м а 3.3.2. Квадратичная форма является положительно определённой в том и только в том случае, если её положительный индекс инерции равен размерности пространства .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Доказательство этой теоремы – прямое следствие определения 3.3.2.

Значения положительного и отрицательного индексов инерции квадратичной формы , определяются по знакам угловых миноров матрицы формы в каком-либо базисе, а именно: справедлива следующая теорема – критерий Сильвестра положительной определённости квадратичной формы.

Т е о р е м а 3.3.3. Квадратичная форма, определённая на векторах пространства , является положительно определённой в том и только в том случае, если в каком-либо базисе все угловые миноры её матрицы положительны, то есть

, ,

Д о к а з а т е л ь с т в о. Применим индукцию по числу переменных. Пусть квадратичная форма зависит от одного переменного, то есть . Очевидно, что в этом случае утверждение теоремы справедливо. Предположим, что утверждение теоремы справедливо для квадратичной формы , зависящей от переменных, и рассмотрим квадратичную форму .

Пусть квадратичная форма положительно определена. Покажем, что в этом случае все угловые миноры её матрицы положительны. Для этого представим форму в виде:

. (3.3.12)

Например, для квадратичной формы, зависящей от трёх переменных, имеем:

.

В представлении (3.3.12) квадратичная форма , зависящая от переменных, будет положительно определённой. Действительно, рассмотрим форму на векторах . В этом случае в (3.3.12) слагаемые , так как . Поэтому, если , то и , что противоречит предположению о положительной определённости . По предположению индукции все угловые миноры матрицы формы положительны, то есть

, , , .

Покажем, что положителен и минор порядка матрицы квадратичной формы , то есть

.

Вспомним, что положительно определённая квадратичная форма в некотором базисе приводится к сумме квадратов , где штрихами обозначены координаты вектора в новом базисе. Определитель матрицы квадратичной формы в этом новом базисе равен, очевидно, единице. Матрица квадратичной формы преобразуется к новому базису по формуле , где – матрица перехода от старого к новому базису. Поэтому . Так как и , то

. (3.3.13)

Пусть все угловые миноры матрицы квадратичной формы положительны. Покажем, что квадратичная форма является положительно определённой. По предположению индукции квадратичная форма , зависящая от переменных, положительно определена. Поэтому в некотором базисе имеем: . Тогда по представлению (3.3.12) в этом базисе, имеем следующий результат:

.

Здесь – некоторые новые коэффициенты. Выделяя последовательно полные квадраты, получаем:

,

где – новый коэффициент. Переходя к новому базису, положим и . Тогда имеем:

.

Определитель матрицы квадратичной формы равен , а его знак, как следует из формулы (3.3.13), совпадает со знаком и, следовательно, . Теперь видно, что квадратичная форма положительно определена.

С л е д с т в и е и з т е о р е м ы 3.3.3. Квадратичная форма является отрицательно определённой в том и только в том случае, если угловые миноры её матрицы чётного порядка положительны, а нечётного порядка – отрицательны.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Квадратичная форма является отрицательно определённой в том и только в том случае, если квадратичная форма положительно определена. По теореме 3.3.3 все угловые миноры матрицы квадратичной формы в этом случае положительны, то есть , , . Но тогда по свойствам определителей , , , .

Приведение квадратичной формы к каноническому виду. Выше показано, что в пространстве существует базис, в котором квадратичная форма имеет канонический вид (черта над символом координаты опущена). Опишем последовательность действий по приведению квадратичной формы к каноническому виду методом, который назовём методом ассоциированного оператора.

1. Записываем симметричную матрицу квадратичной формы (3.3.1) и ставим в соответствие квадратичной форме ассоциированный оператор с матрицей .

2. Находим корни характеристического многочлена оператора .

3. Записываем квадратичную форму (3.3.1) в каноническом виде (3.3.8) и определяем её положительный и отрицательный индексы инерции.

4. Находим систему собственных векторов оператора и ортонормируем её. В результате получим ортонормированную систему собственных векторов оператора вида

, , , . (3.3.14)

Координаты векторов (3.3.14) позволяют написать матрицу перехода от старого базиса к новому базису. Так как эта матрица ортогональная, то, транспонируя её, получаем матрицу, при помощи которой преобразуются старые координаты в новые координаты.

Т е о р е м а 3.3.4. Для квадратичной формы , определённой на векторах пространства , существует канонический базис , такой, что квадратичная форма в этом базисе принимает вид

. (3.3.15)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Приведём квадратичную форму к каноническому виду . Далее, совершим преобразование координат вида , , . Получаем (3.3.15).