5. РАЗДАТОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ по II семестру / Алгебра и геометрия. Часть 2 / 1. Лекции / 10. Лекция 6. Плоскость и прямая в аффинном пространстве ++

5

ЛЕКЦИЯ 6.

Плоскость и прямая линия в n-мерном аффинном пространстве

Определение плоскости в аффинном пространстве. Выше мы ввели определение плоскости в пространстве . Здесь приведён вывод уравнений плоскости и прямой линии в многомерном аффинном пространстве .

Определение 6.1. Пусть – аффинное пространство измерений. Выбирая некоторую точку и линейно независимую систему из векторов , построим множество всех точек, для которых радиус-вектор допускает разложение по системе векторов вида

, (6.1)

где коэффициенты разложения принимают всевозможные числовые значения. Полученное множество точек называется -мерной плоскостью в -мерном аффинном пространстве .

Как следует из определения, точка пробегает всю плоскость и на этом основании называется текущей точкой плоскости. Векторы

в разложении (6.1) радиус-вектора произвольной точки плоскости называются направляющими векторами этой плоскости.

Отметим, что описанное в определении построение является, в понятном смысле слова, сужением процедуры построения аффинной системы координат в аффинном пространстве на случай -мерной плоскости (дальше будем указывать размерность плоскости при помощи верхнего индекса), то есть является локальным репером в , а числа из (6.1) – локальными аффинными координатами точек в этом репере.

Параметрические и неявные уравнения m-мерной плоскости в n-мерном аффинном пространстве. Из разложения (6.1) следуют уравнения -мерной плоскости в -мерном аффинном пространстве , а именно, справедлива следующая важная теорема, на которой основана, по существу, часть аналитической геометрии, посвящённая теории прямых линий и плоскостей, в многомерном аффинном пространстве.

Теорема 6.1. Текущие координаты произвольной точки данной -мерной плоскости выражаются линейными функциями независимых параметров вида

, (6.2)

причём ранг матрицы коэффициентов равен и, следовательно, система столбцов матрицы линейно независима.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть в пространстве введён некоторый репер и – любая точка плоскости . Тогда радиус-вектор точки имеет вид:

. (6.3)

Здесь и – фиксированные векторы, а – независимые переменные (координаты на плоскости ). Поэтому (6.3) является параметрическим уравнением плоскости в векторной форме.

Раскладывая все векторы из (6.3) по векторам репера

(6.4)

подставляя (6.4) в (6.3) и приравнивая коэффициенты при соответствующих векторах базиса, получим:

(6.5)

Уравнения (6.5) являются параметрическими уравнениями плоскости в координатной форме, и теорема доказана. Ранг матрицы коэффициентов в (6.5) равен , так как система векторов линейно независима.

Справедливо и обратное утверждение.

Теорема 6.2. Уравнения (6.2) при условии линейной независимости системы столбцов матрицы коэффициентов, то есть при условии максимального ранга этой матрицы, всегда определяют в фиксированном репере

некоторую -мерную плоскость.

Из параметрических уравнений плоскости (6.2) или (6.5) можно получить неявные уравнения плоскости .

Теорема 6.3. Плоскость может быть задана независимыми линейными уравнениями между текущими координатами .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Для доказательства нужно из уравнений (6.5) выразить параметров и исключить их из оставшихся уравнений. Последнее всегда выполнимо, так как направляющие векторы плоскости образуют линейно независимую систему и, следовательно, ранг матрицы коэффициентов разложения (6.3) равен , то есть максимален. Предположим, что базисный минор располагается в первых строках матрицы . Выражая параметры через координаты из первых уравнений и подставляя их в оставшиеся уравнения, получаем следующую систему уравнений:

(6.6)

Здесь коэффициенты выражаются некоторым образом через (способ выражения нас в данный момент не интересует).

Теорема 6.1 обобщает теорию плоскостей, изложенную выше для арифметического пространства , на многомерные аффинные пространства и вместе с теоремами 6.2, 6.3, фактически подводит некоторый итог в исследовании объектов, которые мы назвали плоскостями. В пространстве все построения этого параграфа сохраняют силу, но в качестве векторов "глобального" и "локального" реперов и выбираются канонические реперы в пространстве и на плоскости .

Частные случаи задания плоскости. . Рассмотрим некоторые частные случаи задания -мерной плоскости в -мерном аффинном пространстве.

Пример 6.1. 1. Пусть . Тогда вместо (6.5) получаем:

.

Имеем точку -мерного пространства.

2. Пусть теперь . Тогда вместо (6.5) имеем:

. (6.7)

Видим, что текущие координаты являются линейными функциями одного параметра – плоскость одномерна, то есть является прямой линией в -мерном аффинном пространстве.

Выпишем неявные уравнения прямой линии в -мерном пространстве. Из первого уравнения (6.7) при условии получаем:

.

Подстановка во второе уравнение даёт

,

где , . И вообще

,

где , .

Таким образом, имеем:

(6.8)

В случае

(6.9)

и неявные уравнения принимают вид:

(6.10)

Уравнения (6.9) – параметрические уравнения прямой линии, а (6.10) – уравнения прямой линии в неявной форме в трёхмерном аффинном пространстве .

3. Пусть . Тогда вместо (6.5) имеем:

. (6.11)

Текущие координаты являются линейными функциями двух параметров. Получили двумерную плоскость в -мерном аффинном пространстве . Для представления уравнений в неявном виде нужно выразить из первых двух уравнений параметры и , а затем подставить их в оставшиеся уравнения. В результате (решая первые два уравнения из (6.11) методом Крамера) получим для :

. (6.12)

Здесь коэффициенты выражаются через коэффициенты так:

; ;

.

Уравнения (6.12) – неявная форма уравнений двумерной плоскости в -мерном аффинном пространстве .

Определение 6.2. Плоскость размерности в -мерном аффинном пространстве называется гиперплоскостью.

В случае гиперплоскости в системе (6.12) остаётся лишь одно уравнение. Поэтому гиперплоскость может быть задана одним (неявным) линейным уравнением относительно текущих координат.

Пример 6.2. Рассмотрим снова изученный выше случай . Гиперплоскость имеет размерность и определяется системой уравнений вида:

Находя и из первых двух уравнений по формулам Крамера и подставляя результат в третье уравнение, получаем неявное уравнение гиперплоскости

где

, ,

.

О плоскости в -мерном аффинном пространстве , заданной векторным уравнением (6.3) или координатными уравнениями (6.5), говорят, что она получена параллельным сдвигом проходящей через начало системы координат плоскости, определённой векторным уравнением

или координатными уравнениями

,

на вектор – вектор сдвига.

Тривиальным является случай задания плоскости при , когда плоскость совпадает с самим пространством (говорят, что плоскость заполняет пространство).

Система всех плоскостей измерений в -мерном пространстве, проходящих через одну точку , называется связкой плоскостей. В случае связки плоскостей для задания конкретной плоскости нужно знать её направляющие векторы .