5. РАЗДАТОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ по II семестру / Алгебра и геометрия. Часть 2 / 1. Лекции / 11. Лекция 7. Кольцо многочленов от одного неизвестного ++

17

ЛЕКЦИЯ 7.

Кольцо многочленов от одного неизвестного

Определение многочлена. Из школьного курса известна задача решения уравнения второй степени вида

, (7.1)

где . Решить уравнение (7.1) – это значит найти такое значение неизвестного , которое при подстановке в уравнение (предикат) (7.1) обращает его в числовое тождество (в истинное высказывание).

Пример 7.1. Найти множество истинности предиката

.

Р е ш е н и е. Рассмотрим тождественное преобразование правой части указанного предиката:

.

Приравнивая последнее выражение к нулю, получаем формулу

,

которая даёт значения неизвестных, обращающих предикат в истинное высказывание. Следовательно, множество истинности предиката в общем случае состоит из двух элементов

,

значения которых вычисляются через значения коэффициентов квадратного трёхчлена . Выражение , стоящее под знаком квадратного корня, называется дискриминантом уравнения . Возможны три случая:

1) – в этом случае множество истинности предиката состоит из одного действительного числа (квадратное уравнение имеет один вещественный корень);

2) – в этом случае множество истинности предиката состоит из двух вещественных чисел, которые вычисляются по выписанным выше формулам (квадратное уравнение имеет два вещественных корня);

3) – в этом случае множество истинности предиката состоит из двух комплексно сопряжённых чисел:

(уравнение имеет комплексно сопряжённые корни).

В общем случае мы приходим к задаче решения уравнения -й степени относительно одного неизвестного

, (7.2)

коэффициенты которого будем считать произвольными комплексными числами, причём старший коэффициент . Решить уравнение (7.2) – это значит найти такие значения неизвестного , которые, будучи подставлены в уравнение (7.2), обращают его в числовое тождество. Задачу решения уравнения (7.2) заменяют более общей задачей изучения левой части этого уравнения.

Определение 7.1. Многочленом, или полиномом степени от одного неизвестного (или буквы) называется формальное выражение вида

, (7.3)

то есть формальная алгебраическая сумма целых неотрицательных степеней неизвестного , взятых с некоторыми, вообще говоря, комплексными коэффициентами , , , , .

Обозначают многочлены различными буквами латинского и греческого алфавитов, как большими , так и малыми .

Степенью многочлена (7.3) называется наивысшая степень неизвестного , при которой коэффициент . Многочлен нулевой степени – это многочлен, состоящий из одного, неравного нулю комплексного числа. Число нуль – это тоже многочлен, степень которого не определена.

Степень многочлена , если это необходимо, обозначается нижним индексом, например , или символом . Наряду с записью многочленов в форме (7.3) часто применятся форма записи по возрастающим степеням , то есть

.

Равенство, сумма и произведение многочленов. Многочлены можно сравнивать и производить над ними действия сложения и умножения.

Определение 7.2. Два многочлена и считаются равными и пишут в том и только в том случае, если равны их коэффициенты при одинаковых степенях неизвестного .

Никакой многочлен, хотя бы один коэффициент которого отличен от нуля, не может быть равным нулю. Поэтому знак равенства в записи уравнения -й степени не имеет отношения к равенству многочленов.

В математическом анализе равенство многочленов рассматривается как равенство двух функций, то есть,

.

Если многочлены равны в смысле определения 7.2, то они равны и в смысле равенства функций. Обратное является следствием сформулированной ниже основной теоремы алгебры многочленов.

Введём две алгебраические операции над многочленами с комплексными (в общем случае) коэффициентами – сложение и умножение.

Определение 7.3. Пусть даны два многочлена

, ,

, .

Для определённости положим . Суммой данных многочленов называется многочлен

,

коэффициенты которого равны сумме коэффициентов при одинаковых степенях неизвестного :

.

Причём, если полагают .

Отметим, что степень суммы двух многочленов при равна , а при может оказаться меньше , а именно при .

Определение 7.4. Произведением многочленов

, ,

,

называется многочлен

,

коэффициенты которого находятся по формуле

, . (7.4)

Таким образом, коэффициент произведения двух многочленов с индексом равен сумме всевозможных произведений коэффициентов многочленов и , сумма индексов которых равна , а именно:

, , , .

Из последнего равенства имеем . Следовательно, степень произведения двух многочленов равна сумме степеней этих многочленов:

.

По определению полагают, что степень многочлена

.

Мы получили следующий результат.

Лемма 7.1. Пусть и – два многочлена. Тогда их произведение .

Пример 7.2. Пусть даны два многочлена разной степени, например,

, .

Тогда их сумма и произведение есть, соответственно:

;

.

Итак, во множестве многочленов с комплексными коэффициентами введены две бинарные алгебраические операции – сложение и умножение. Свойства этих операций устанавливаются следующей теоремой.

Теорема 7.1. Множество всех многочленов с комплексными коэффициентами является коммутативным и ассоциативным кольцом с единицей.

Доказательство теоремы сводится к проверке аксиом кольца, и мы его опустим. Отметим только, что нулём для операции сложения является число (многочлен) , а единицей для операции умножения является число (многочлен) .

Кольцо многочленов обозначают , где – символ поля, над которым определён многочлен. Таким образом, теорема 7.1 утверждает: множество всех многочленов с комплексными коэффициентами является кольцом .

Делимость многочленов. Многочлен имеет обратный многочлен , в том и только в том случае, если – многочлен нулевой степени. Действительно, если , то обратный многочлен . Если же , то степень левой части при условии, что существует, должна быть не меньше , но правая часть последнего равенства является многочленом нулевой степени. Итак, в кольце многочленов для операции умножения не существует обратной операции деления. В кольце многочленов, однако, существует алгоритм деления с остатком.

Теорема 7.2. Для любых двух многочленов и существуют такие многочлены и , что

, (7.5)

где , или . Представление (7.5) единственно.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть и . Представим многочлены и в виде

,

.

Если или , то положим в (7.5)

, .

Тогда, очевидно, (7.5) выполняется. Поэтому предположим, что . Положим:

. (7.6)

Обозначим старший коэффициент многочлена через . Очевидно, что . Если , то положим:

. (7.7)

Старший коэффициент многочлена обозначим . Если , то опять положим

(7.8)

и так далее. Степени многочленов , очевидно, убывают. После конечного числа шагов получим

, (7.9)

где или , или . После этого процесс прекращается.

Складывая равенства (7.6) – (7.9) , получаем

.

(7.10)

Обозначая сумму в круглых скобках , а , получаем (7.5), причём либо , либо степень .

Докажем единственность (7.5). Пусть

, (7.11)

где или , или . Из (7.5) и (7.11) имеем:

.

Степень многочлена в левой части последнего равенства не меньше степени , а степень многочлена в правой части или нулевая, или меньше степени . Поэтому последнее равенство выполняется лишь при равенств

, .

Многочлен в формуле (7.5) называется частным от деления многочлена на многочлен , а многочлен называется остатком от этого деления. Если , то говорят, что многочлен делится на многочлен , который называют делителем многочлена . Выясним, когда многочлен делится на многочлен .

Теорема 7.3. Многочлен делится на многочлен в том и только в том случае, если существует такой многочлен , что

. (7.12)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Действительно, если делится на , то в качестве следует взять частное от деления на . Обратно, пусть многочлен, удовлетворяющий равенству (7.12), существует. Тогда из доказанной в теореме 7.1. единственности многочленов и в представлении (7.5) и условия того, что степень меньше степени , следует, что частное от деления на равно , а остаток .

Следствие из теоремы 7.3. Если многочлен и его делитель имеют рациональные или действительные коэффициенты, то и частное также будет иметь рациональные или действительные коэффициенты.

Пример 7.3. Выполнить деление с остатком многочлена

на многочлен .

Р е ш е н и е. Алгоритм деления (7.6) – (7.9) реализуем в форме «деления уголком»:

Итак, частное , остаток . Поэтому имеет место представление следующего вида

,

которое можно проверить непосредственным умножением.

Определение 7.5. Пусть и – два многочлена. Многочлен называется наибольшим общим делителем (НОД) этих многочленов, если он является их общим делителем и сам делится на любой другой общий делитель этих многочленов.

НОД многочленов и обозначается . Сформулируем и докажем теорему, дающую конструктивный алгоритм нахождения НОД для любых двух многочленов.

Теорема 7.4 (алгоритм Евклида). Для любых двух многочленов и существует наибольший общий делитель

.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Сначала сформулируем алгоритм Евклида нахождения , а потом докажем, что полученный в процессе реализации этого алгоритма многочлен является наибольшим общим делителем двух данных многочленов.

Сначала делим многочлен на многочлен и получаем в общем случае некоторый остаток . Далее делим на и получаем остаток , делим на и получаем остаток и так далее. В результате таких последовательных делений мы придём к остатку , на который делится предыдущий остаток . Этот остаток и будет наибольшим общим делителем данных многочленов.

Для доказательства выпишем последовательно цепочку делений:

,

,

,

,

, (7.13)

,

,

.

Последнее равенство показывает, что является делителем для . Поэтому оба слагаемых в правой части предпоследнего равенства делятся на и, следовательно, на делится и . Поднимаясь по цепочке делений вверх, получим, что является делителем и для , , , . Из второго равенства цепочки видим, что является делителем и для и, следовательно, на основании первого равенства – для . Итак, является общим делителем для и .