ЛЕКЦИЯ 3. Числовые поля +

2

У.0. На множестве R задана алгебраическая операция, называемая умножением. Результат выполнения операции умножения называется произведением и обозначается ab .

У.1. Множество R R 0 по отношению к операции умножения является мультипликативной абелевой группой, то есть, справедливы следующие свойства операции умножения:

1)a, b, c R (ab)c a(bc) – ассоциативность умножения;

2)a, b R ab ba – коммутативность операции умножения;

3)e R : a R ae a – существование единицы, которая обо-

значается e 1;

4) a R a 1 R : aa 1 1 – существование для каждого дейст-

вительного числа a 0 числа a 1 , которое называется обратным числу a .

Дистрибутивные законы. Операции сложения (аксиомы С) и умножения (аксиомы У) связаны между собой дистрибутивными законами, которые имеют следующий вид:

a, b, c R a(b c) ab ac;a, b, c R (b c)a ba ca .

Сравнение аксиом сложения и умножения действительных чисел с опреде-

лением поля показывает, что множество действительных чисел R является полем. В силу изоморфизма элементы любого поля по своим свойствам неотличимы от действительных чисел. Поэтому элементы произвольных полей также часто называют числами.

Аксиомы порядка множества действительных чисел. Выше мы уже ис-

пользовали свойство упорядоченности множества действительных чисел. Сформулируем аксиомы порядка множества действительных чисел. Для общности рассмотрим так называемую замкнутую числовую прямую, задавая её как объединение множества действительных чисел R и двухэлементного множества, , элементами которого являются два абстрактных символа, носящих название бесконечно удалённых точек, или просто “минус бесконечность” и “плюс бесконечность”: R R , .

П.0. В R задано отношение , то есть a, b R установлено, выполняется a b или нет.

П.1. a R a a (рефлексивность отношения ).

П.2. a b b a a b (антисимметрия отношения ).

3

П.3. a b b c a c (транзитивность отношения ).

П.4. a, b R a b b a a b .

П.5. a R a .

Определение 3.1. Упорядоченная пара M d , M u множеств M d R и M u R называется дедекиндовым сечением, если эти множества удовлетворяют следующим условиям:

1)M d , M u ;

2)M d M u R ;

3)a M d b Mu a b.

Последнее условие записывается ещё так: M d M u .

П.6. Аксиома полноты множества действительных чисел (аксиома о дедекиндовом сечении). Пусть M d , M u – произвольное дедекиндово сечение,

тогда s R : a M d b Mu a s b .

Высказывание a s b записывается, также, в виде M d s M u . Чис-

ло s называется секущим числом сечения M d , M u . Наглядный смысл ак-

сиомы П.6 достаточно прост: действительные числа распределены непрерывно, без разрывов – на числовой прямой нет «дыр».

П.7. Если a, b, c R и a b , то a c b c.

П.8. a, b R из 0 a и 0 b следует 0 ab.

Можно показать, что справедлива следующая теорема.

Теорема 3.1 (теорема Архимеда). Для каждого действительного числа a существует натуральное число n a.

Из приведённых аксиом следуют свойства неравенств и правила дейст-

вий с ними:

1)а) из a b c , следует a c ; б) из a b c следует a c ;

2)а) из a b c следует a c ; б) из a b c следует a c ;

3) а) если a b и c d , то a c b d ; б) если a b и c d , то

a c b d

4)Элемент a является положительным (отрицательным) в том и только

втом случае, если элемент a отрицателен (положителен). В частности полу-

чаем правило знаков для бесконечно удалённых точек:

( ) и ( ) .

4

5) Произведение положительных чисел положительно, как и произведение отрицательных чисел. Если a положительно, а b отрицательно, то ab отрицательно.

Правило 5 записывается в виде схемы действий со знаками:

; ; ; .

6)Из a b и 0 c следует ac bc .

7)Из a b и c 0 следует ac bc.

8)0 1.

9)Из 0 a и a b следует 0 1b 1a .

Абсолютная величина действительного числа Важнейшим понятием теории поля действительных чисел является понятие абсолютной величины действительного числа.

Определение 3.2. Пусть a R , тогда число

a, если a 0,

aa, если a 0,

0, если a 0

называется абсолютной величиной (модулем) действительного числа a .

Абсолютная величина действительного числа обладает свойствами, которые устанавливаются в следующей теореме.

Теорема 3.2 (свойства абсолютной величины). Справедливы следующие утверждения:

1)a R a 0 причём a 0 a 0 ;

2)a, b R ab ab ;

3)R, 0 x R x x ;

4) a, b R a b a b (неравенство треугольника).

Д о к а з а т е л ь с т в о. 1. Справедливость этого утверждения следует непосредственно из определения 3.2.

Итак, множество R является упорядоченным полем по отношению к операциям сложения и умножения его элементов – действительных чисел. Существуют, однако, и другие числовые поля.

Поле комплексных чисел

Ещё одним полем, весьма важным для практики, является поле, называемое полем комплексных чисел. Необходимость построения поля комплексных чисел диктуется, например, задачей о решении квадратных уравнений, простейшее из

которых x2 1 0 уже не имеет решения в поле действительных чисел. Фор-

мальная запись решения этого уравнения x 1 приводит нас к новому сим-

def

волу, обозначаемому i 1. Из дальнейшего видно, что построение поля комплексных чисел производится путём выхода из одномерного множества (числовой прямой) в двумерное множество – декартову плоскость.

Аксиоматическое построение и теорема существования поля комплекс-

ных чисел. При построении теории комплексных чисел мы применим аксиома-

6

тический метод, то есть введём формально некоторые объекты, подчинив их аксиомам, а затем покажем, что введённое так множество является полем.

Определение 3.1. Комплексными числами называются упорядоченные пары действительных чисел вида a, b , для которых операции сложения и ум-

ножения вводятся посредством определения результата их выполнения в соответствии со следующими аксиомами.

1. Два комплексных числа a, b и c, d считаются равными в том и

только в том случае, если a c и b d , что при помощи логической символики записывается так:

4. Комплексное число a, 0 отождествляется с действительным (вещественным) числом a : a, 0 a . В частности, 0, 0 0 .

Числа вида 0, b называются мнимыми числами.

Из определения 3.1 следует, что операции сложения и умножения комплексных чисел являются алгебраическими. Комплексные числа принято обозначать малыми буквами латинского или греческого алфавита, например, z a, b . Множество комплексных чисел обозначается буквой C .

По определению степень комплексного числа a, b вводится как n кратное произведение этого числа на себя:

n раз

Из аксиомы 4 следует отождествление комплексного числа 1, 0 с едини-

def

цей поля действительных чисел: 1, 0 1. По аналогии мнимое число i 0, 1 называется мнимой единицей. Рассмотрим возведение мнимой единицы i во вторую степень. Используя аксиому 3, получаем:

7

i2 0, 1 0, 1 0 0 1 1, 0 1 1 0 1, 0 1.

Имеем важнейшее свойство символа i : i2 1.

Покажем, что операции сложения и умножения комплексных чисел комму-

тативны, ассоциативны и связаны дистрибутивными законами. Обозначим

z1 a, b , z2 c, d , z3 u, v .

Коммутативность операций сложения и умножения комплексных чисел непосредственно следует из сравнения правых частей приведённых ниже равенств с учётом коммутативности операций сложения и умножения действительных чисел и аксиом 2 и 3:

z1 z2 a, b c, d a c, b d ,

1)z2 z1 c, d a, b c a, d b ;

z1 z2 a, b c, d ac bd, ad bc ,

2)z2 z1 c, d a, b ca db, cb da .

Ассоциативность операций сложения и умножения комплексных чисел также следует из свойств соответствующих операций над действительными чис-

acu bdu adv bcv, acv bdv adu bcu ,

2)z1 z2 z3 a, b c, d u, v a, b cu dv, cv du

acu adv bcv bdu, acv adu bcu bdv .

Операции умножения и сложения комплексных чисел связаны дистрибутивными законами, справедливость которых вытекает из аксиом 1 – 3 и сравнения

правых частей следующих равенств:

z1 z2 z3 a, b c, d u, v a c, b d u, v

au cu bv dv, av cv bu du ;

z1 z3 z2 z3 a, b u, v c, d u, v au bv, av bucu dv, cv du au cu bv dv, av cv bu du .

Исследуем вопрос о существовании обратных операций.

Итак, по определению для разности имеем z2 z z1 . По аксиомам 1 и 2

c, d x, y c x, d y c x, d y a, b ,

откуда имеем два уравнения

c x a , d y b ,

решения которых дают z a c, b d .

Итак, во множестве комплексных чисел для операции сложения существует обратная операция, называемая вычитанием, причём её результат – разность z

z2 0, 0 называется такое комплексное число z x, y , что z1 zz2 .

По определению

z1 zz2 a, b x, y c, d a, b cx dy, dx cy ,

откуда, применяя аксиому 1, имеем систему уравнений

cx dy a,dx cy b.

Рассмотрим теперь вопрос о единственности представления комплексного числа z .

Допустим, что комплексное число z может быть представлено в виде двух упорядоченных пар z a, b c, d . Откуда по аксиоме 1 получаем a c и

b d , что и доказывает единственность представления комплексного числа. Суммируя всё сказанное выше, сформулируем теорему существования и

единственности множества комплексных чисел.

Теорема 3.1. Множество комплексных чисел, введённых определением 3.1, существует и является полем, включающим в себя поле вещественных чисел в качестве подполя, причём представление комплексных чисел в виде упорядоченных пар единственно с точностью до изоморфизма, переводящего все вещественные числа в себя.

В отличие от поля действительных чисел R , поле комплексных чисел C неупорядочено – отношение порядка в поле комплексных чисел не определено.

Отметим также следующий результат, вытекающий из всего предыдущего рассмотрения теории комплексных чисел и определения алгебры: множество C

комплексных чисел, являясь полем, одновременно является и коммутативной ал-

геброй над полем R вещественных чисел.

Алгебраическая форма комплексных чисел. Рассмотрим следующую вы-

кладку a, b a, 0 0, b a, 0 0, 1 b, 0 ,

которая называется алгебраической формой комплексных чисел. Вещественное число a называется вещественной частью комплексного числа z и обозначается a Re z , а вещественное число b называется мнимой частью комплексного числа z и обозначается b Im z .

Путём прямого сравнения с соответствующими определениями, нетрудно показать, что все операции над комплексными числами в алгебраической форме с

учётом свойства мнимой единицы i 2 1 сводятся к простому раскрытию скобок.

Пример 3.1. Даны комплексные числа z1 2, 7 и z2 1, 4 . Найти

z1 z2 и z1 z2 .

10

Р е ш е н и е. Используя аксиомы поля комплексных чисел, для z1 z2 и

z1 z2 получаем:

z1 z2 2, 7 1, 4 3, 11 , z1z2 2, 7 1, 4 26, 15 .

к нему числа z a ib можно рассматривать как операцию комплексного сопряжения, действующую на множестве всех комплексных чисел. Если операцию

комплексного сопряжения обозначить , то будем иметь : C C .

Теорема 3.2. Для комплексно-сопряжённых чисел справедливы следующие утверждения:

1)a ib c id a c i b d ;

2)a ib c id a ib c id ;

3)a ib a ib a2 b2 .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Например, для третьего свойства имеем:

a ib a ib a2 iab iab ib 2 a2 1 b2 a2 b2 .

Нахождение частного двух комплексных чисел связано с необходимостью запоминания формулы (3.6). Найти частное можно проще, используя понятие