Лекция 3 +

Рис. 3.3.

Биномиальный и пуассоновский законы распределения дискретной случайной величины. Рассмотрим схему Бернулли, то есть серию из независимых испытаний, в каждом из которых некоторое событие может появиться раз с одной и той же вероятностью . Пусть – случайная величина, принимающая значения, равные числу появлений события в данной серии испытаний. Ясно, что событие может: вообще не произойти ; произойти ровно один раз ; произойти ровно два раза ; произойти ровно раз .

Таким образом, значения, принимаемые случайной величиной , таковы: , , , , . Вероятности этих значений вычислим по формуле Бернулли

.

В результате получим следующие значения:

;

;

;

Ряд распределения случайной величины запишем в виде таблицы:

Определение 3.7. Закон распределения, представленный в предыдущей таблице, называется биномиальным законом распределения дискретной случайной величины .

Если рассматривать последовательность редких событий, то полностью аналогично предыдущему можно вычислить вероятности отдельных значений дискретной случайной величины по формуле Пуассона и записать следующий ряд распределения:

Определение 3.8. Закон распределения, представленный этой таблицей, называется законом Пуассона (пуассоновским законом) распределения дискретной случайной величины .

Пример 3.4. Производится серия из 4 независимых испытаний, в каждом из которых может появиться или не появиться некоторое событие . Вероятность появления события равна . Требуется построить функцию распределения числа появления события .

Р е ш е н и е. Пусть – дискретная случайная величина, принимающая значения, равные числу появлений события в четырёх испытаниях. Закон распределения этой случайной величины биномиальный, следовательно, ряд распределения имеет вид, представленный таблицей

	0	1	2	3	4
	0,2401	0,4116	0,2646	0,0756	0,0081

Построим функцию распределения. По формуле (3.8) получаем:

1) при ;

2) при ;

3) при ;

4) при ;

5) при ;

6) при .

Плотность вероятности непрерывной случайной величины. Пусть функция распределения непрерывной случайной величины является непрерывно дифференцируемой. Вычислим вероятность попадания этой случайной величины в промежуток от до :

.

То есть, вероятность попадания случайной величины в указанный промежуток равна приращению функции распределения на этом промежутке. Вычислим предел разностного отношения

. (3.12)

Определение 3.9. Производная

(3.13)

называется плотностью вероятности (или плотностью распределения вероятности) непрерывной случайной величины .

Плотность вероятности обладает следующими свойствами.

С в о й с т в о 1. Плотность вероятности непрерывной случайной величины является неотрицательной функцией:

. (3.14)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как функция распределения является неубывающей функцией, то плотность вероятности, как её производная, неотрицательна.

С в о й с т в о 2. Функция распределения непрерывной случайной величины равна определённому интегралу от её плотности вероятности, взятому в пределах от до :

. (3.15)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Интегрируя обе части (3.13) в пределах от до и учитывая второе свойство функции распределения (3.2), получим:

.

С в о й с т в о 3. Интеграл в бесконечных пределах от плотности вероятности равен единице:

. (3.16)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Используя свойство 2 плотности вероятности и свойств 2, 3 функции распределения 3, получаем:

.

С в о й с т в о 4. Вероятность попадания непрерывной случайной величины в открытый промежуток равна определённому интегралу от её плотности вероятности, взятому в пределах от до

. (3.17)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Доказательство получается с использованием свойств функции распределения (12.2.2), (12.2.4) и свойства плотности вероятности (3.15):

.

Определение 3.10. Значение , при котором плотность вероятности имеет максимум, называется модой.

Кривая плотности вероятности может быть унимодальной, то есть иметь один максимум, или полимодальной, то есть иметь несколько максимумов.

Пример 3.1. Функция распределения непрерывной случайной величины задаётся формулой

Найти:

1) коэффициент и плотность вероятности ;

2) найти вероятность попадания случайной величины в промежуток от 0,25 до 0,5.

Р е ш е н и е. 1) При получаем в силу непрерывности , что , откуда . Следовательно, плотность вероятности равна

2) По формуле (3.4) получаем:

.