Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный физико-технический университет (МФТИ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Методы решения экзаменационных задач по матану

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

03.06.2015

Размер:

462.06 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 44

-ï‡®«î¤¨¬®¤¨¡

ï®¤¨«¥¤®¢¨ïˆ¤¨®¥£.6¡

ì®¤¨¬®‘

α > −8 .

ï.I1

-¨ì

5 «

-ì

î-«®¢¨î-®«î¡

.¥--¥è¥•

α ctg x

®©-¬¥‡

cos(ctg x) dx.

-¨¥ ®¡«¥¤®¢¢¥ ¨®£®î -¨- ¥£ ®¤¨¬®«t

= ¨

ctg¡x®«î§¤- î

ªìï¢®®¤¨¤¨¬®

I =

+∞

f (t)dt =

+∞ eαt cos t

dt =

1+t2

∞

αt

¤¥¥£-¨®¥¬,¦ª•

lim g(t)

6 0.

1+t2

g(t) cos t

dt,

g(t)

t +

∞

→

¯®

ª-¨§

¨ï-¥

¨¯®-®«î¡¨¯ïï®®¤¨

α 6

¡.€è¨®Š

î«®

®¬¨¤®

ì.

α > 0

¨î¥¨ª¯®

eαt

+∞

α 6 0 t > 1 |f (t)| 6

¢-2¥-6¨ï2¨.

««¥£¥£-ˆ-

.)-«®(íï®¤¨

ª-¨§¯•®

1+t

∞

•

ì.®¬¨¤®

’|f (ªt)ª|dtª

ï.

lim

g(t) = +

∞

α > 0 t +

∞

→

α > 0 t0

t > t

g(t) > 1. •®í ®¬

α > 0

> 1

δ > t0

n =

+ 1 >

ξ0 = 2πn > δ,

ξ00 =

2π

ξ00

+ 2πn

: ξ

f (t) dt

g(t) cos t dt

> ξ

cos t dt

®¡ª¨¬’

§®¬,

= 1.

α >

0 ε = 1 > 0 δ > 1 ξ

ξ00

Š®è¨

®Š®è¨

«®¢¨ï¥£-¨¥-¨®£®--®¢¥®¡¥-¢¥¤«¨¢®¨¯60{

> δ ξ00 > δ :

f (t) dt

ε0

¤¨¬®

ª ¨¥¨ï

+∞

«¥£-«¨¥Š®è¨¨î¥¨ª•®

¨¯ï¤¨®¨

I¢ ¥=

f (t) dt

ï,«¥¤®¢¤¨ˆ-®«î¡

Žα¢¥> 0:.

α¤¨6 0, ¥ ¥

«¨¥ï,

α >‡0.¤

zª®£(x,¤y)

¥¬¨-¥¥¤¨

¥ª®¢

(0, 0)

¤®£

¤®£®

¥ ª ®

ì ¥¬®

O(0, 0)

¨î ª -

z(x, y) =

y3 ln 1 + (x2 + y2)2 , y 6= 0,

’ ª

.¨¥-¥è¥•

∂z (0, 0) =

y = 0.

d 0 = 0

d z(x, 0) x=0

ªª

∂x

∂y∂z (0, 0) =

z(0, y)|y=0

0 = 0,

z(0, 0) = 0, ®«ìª -ª ¨ï

¥«ì

ª ¨ï\ {

O(0, 0).

}

•¥ ¥©¤ñ4¬

z(x,y)

I ¯® ®¡.lim

√x2+y2

= 0.

¤¨ ¥

(0,0)

(x,y)

→

0 6

√x2+y2

6 (x2+y2)|2 | √| |x2+y2

y3 ln 1+ (x2+y2)2

x 5 y

6‘«¥¤®¢

®, -

+ y

¨ ¯

(x, y)

(0, 0).

¥¬ ¨ - ¥

¢ ® p

√x +y

→

(x2+y2)2√x2+y2

z(x,y)

lim

√x2+y2

z(x, y)

(x,y)

(0,0)

®¡.¯®

→

-¤¨ª®®ë¬-¯®«ïª

¬:

=¯ ρ cos¢¥¤«¨¢®ϕ, y

ρ sin ϕ.

¤’®£

> 0

[0, 2π)

0, π

(061, 0).

® ª O

ρ sin3 ϕ ln(1 + sin4 ϕ)

√x2+y2

1+ (x2+y2)2

cos5 ϕ

‘«¥¤®¢ ¥«ì-®,

6 ρ cos

ϕ sin ϕ

ρ.

‘«¥¤®¢[0, 2π) ¥«ì√

x2+y2

6 ρ → 0

¨ ¯

ρ → +0.

¥¬ ¨ - ¥ ¥ ¤¨

z(x,y)

¨ï ª -

z(x,y)|

z(ρ cos ϕ, ρ sin ϕ)

®,-

lim

z(x, y)

√x2+y2

) (0,0)

(x,y

→

	1.¨®¤‡	§ 5. ‚ ¨¯¥-¢ë©Œ”’ˆ-02
ρ	= x + (y − 1) . ’ ª¨¬ ®¡			§®¬, f (x, y) = x + x(y − 1) −
¢	¥ ª ®	5	© •	«ë ¨ - ¥ ¥ ¤¨ ®© ® ¢ ¨
	M (0, 1)		-ª ¨ª ¨îf (x, y), ¥ «¨ f (x, y) = ln(1 +
+®ªy ¥sin-x). • §«®®¦¨ª¨ ì -				f (x, y) ¯® ® ¬ «¥ ’¥©«® ¢
	. ¥ - ¥è¥ •	• Mì(0, 1) ¤® o(x2 + (y − 1)2).

u = x − 0 v = y − 1. ’®£¤

f (x, y) =

= f (u, v + 1) = g(u, v) = ln(1 + (v + 1) sin u) = ln(1 + sin u +

+ v sin u) = ln(1 + u

)) = u + uv −

1 u2 + o(ρ2), £¤¥

+ uv + o(ρ

¤ª

¨¥,-¥§«®¦ª®¥®¢¥©«®ª®¬®¥¨ì¥

−® 2 x +¢¨¤o(x-®,+ (y −® 1) )

:¢¥Ž

df (0, 1) = dx, d2f (0, 1) = −dx2 + 2dxdy.

df (M ) = dx; d2f (M ) = −dx2 + 2dxdy; f (x, y) = x +

+¤¨x‡(y

¥− ¥1)

−

+ o(x

22.x

+ (y − 1) ).

- ¨ ¥¬® ì6¯ ¨ˆ¢ ¥«¥¤®¢

ì¨î:ª®-ë¢¥¥¯-

•¥è¥- ¤¨. •¥¨¥(

| |

α R ¢ ® ª¥ O(0, 0) -

| |

+ y2

= 0.

f (x, y) =

arctg( x

α y

1/3), x2

+ y2

6= 0

ª¨®¨¬¥¥®-¥®ª

α 6 0

¨ïª-

f (x, y) -¥ ®¯ ¤¥«¥- ¢

¡®«¥¥¥¬

O-(0,¨0),¥¬®©¯®í ®¬¢í ®©-¥ ï¢«ï¥® ª (¯®«ï -¥¯£ ¥¬¥ ë¢-®©

0α ¯ ¨

α¥ «¨6 0

¨¯,«¬ë

α > 0 0α

= 0). • ì α > 0

(

0).

lim

y) = 0 = f (0, 0)

ρ =

x2 + y2

> 0.

¤’®£

|f (x, y)| 6 ραρ1/3

= ρα+1/3

→ 0,

-ª x,¨ïy)

→

(0,

,¨-‡

f (x,

(x,y) (0,0)

→

f (x, y)

-ë¢¥¥¯-

¢ ® ª¥ O(0, 0).

∂f

(0, 0) =

lim

f (Δx,0)−f (0,0)

lim

0−0

= 0.

∂x

x→0

∂f

f (0, y)−f (0,0)

0−0

(0, 0) =

lim

= 0.

∂y

y→0

0 6

√x2+y2

(x, y) → (0, 0),

«¨¥

6 ρ

= ρα−2/623 → 0

¨¯

f (x,y)

α+1/3

‡- Ž¨ ¢¥, : --ª¥¯¨ï¥fë¢(x,-y) -¯¥ ¨¤¨ ¥ ¥- ¨ ¥¬

¥ª®¢

O(0, 0).

f (x,y)

α >-ª3

.¨ï‡- ¨ , ¤«ï ª ¦¤®£®

α >

lim

√

x2+y2

= 0

(x,y) (0,0)

¥¬ ¨ - ¥ ¥ ¤¨

→

• ìf (x, y)

¥ ª ® ¢

O(0, 0).

32 .

f (x,y)

’®£

¯® ¯ ï¬®© x = 0

lim

√

x2+y2

(x,y) (0,0)

f (x,y)

→

|α+1/3

= 0,

¯® ¯ ï¬®© y = x

lim

lim arctg |

= 0

(x,y)→(0,0)

√x2+y2 = x→0

√2|x|

α > 0

¥¬¨-¥¥¤¨¨

¨¯

¨-¨¬í¥¬

¨¨ª-ì®-ë¢¥•¥¯.

α >‡ .

•¯®-¨¨¬ ì ª ª -¥¯ ¥ ë¢-® ì ¯® ¬- ¦¥ ¢ ¥ñ f®¯(x, ¥¤¥«¥y) ¬®ª-¦¨ï-®.

α 6 0

¬-®¦¥ ¢®¬ ¡ ¤¥ ¬-®¦¥ ¢® M = {(x; y)

: x =

0}.

¤’®£

¨¯

0 ¥ ¢-

f (ªx, ªy) ª¡¯¤¥¨

→¯ ¥¤¥«ë,

→

lim

f (x, y) ¨ ¯ ¨

ª ®

O(0; 0)

¦ - ¬ ¯®

M ,

α = 0

(x; y) M |f (x, y)| 6 ρ1/3 → 0,

«¨ ¥

(x, y)

→ (0, 0).

, ¨ - ‡

lim

f (x, y)

→

= f (0, 0), ª ª ¨ ¥¡®¢ «® ì.

¨•

α <

¨¢®©ª¯®

x −3α

lim

f (x, y) = lim arctg 1 = arctg 1,

¨¢®©ª¯®

(x,y)

(0,0)

→

yª = x −

6α

→

= 0

lim

f (x, y) = lim arctg x −

ë¥-§¢¥¨¢ë¬

,¨-§

ï¬, 4

•®

(x,y)

(0 0)

| |

M 3(x,y)→(0 0)

α¯®< 0-®¦ -ª ¨ï f (x.y)				-¥ ï¢«ï¥ ï -¥¯ ¥ ë¢-®© ¢ ® ª¥ O(0; 0)
¤‡	3.M .
¨¢ë¬¨ª			3 • © ¨		ë,¨£¤ì¯«®é					®©--¥¨-®£
•¥è¥-y¨¥=		x						π		π
•¥è¥-y¨¥=		.e „¢sin x,¦¤ëy =-0,¥£x =¨ ï, £¯®¤¥ 0 6 x 6								-. ®¤¨¬
−e Rcos x +		e d sin R		−			x		−R		=
= ex sin xdx =			−	exd cos x		=		−ex cos x +		cos xdex = −
= e (sin x −Rcos x) − I				I =		2		(sin x − cos x)		R
x		x	x	=	ex cos x + ex sin x					ex sin xdx
x						e				+ C. ˆ ª®¬ ï
¤ì¯«®é										+ C. ˆ ª®¬ ï
		π/4
	S =	R								= 21 .
	S =	ex sin xdx = e263(sin x − cos x)\|0π/4								= 21 .
					x
		0

®¢¥¤¨¬®‡ ì -4a¥ .®¡ 4¢¥¤¨¬®ˆ--ë©«¥¤®¢ì- ¥£ì¡ -®«î¡ ®«î - î¨¬®¢® ì«®¢- î

. ¥ - ¥è¥ •

®© ¬¥ ‡

+∞ arctg(x

−

dx.

ex(x− √x)α

£®¢®--«¥¤¨

«-¥£î-¨¨

¤§î-

-ª®¡ï¥-¤¨

t =

x − 1

¨ïª-

+∞

arctg t

dt.

ï-«ì¥£-•®¤ë

I =

et(1+t− √1+t)α

arctg t

f (t) =

> 0

¨¯

t > 0

¥¢¨

et (1+t− √1+t)α

¢ ¥£- «¥¨ ®¢¢®¨ ¯®«ì§+∞. I

¤¢¥¨¬¥¥«¥£-ˆ

¨:®--®¡¥®

+∞

=- ¥£ f

«®¢(t)dt =

f (t)dt +

f (t)dt

I1 + I2.

¨§ ¦¤ë©Š

¥¤¥«¥,

IR2

¦¥

®¡¥®¥¤¥«¥¯

®-

ì:

{

¥¬-¨¦-

¨ï

-«¥¤®¢

- ¨«®¢¥£-¥¬¨-¨®¥¢¨¬¤¨{®¢

¨ï.-

„«ï

ª®¬-¨§¯

¨ï.-¥-¢

ªªª’

¥¬

«¥£-¨

f (t)

¨¯

t →¤¨¬®,0 ì

tα−1

α − 1 < 1 α < 2.

ªªª’

f (t)

¯ ¨ t → +∞,

¥¢¨¯ï®¤¨

¨§

¥£-ˆ

et tα

I¡ ¤¨¬®®«î‡ -ïìï.4b.I1

¨ï®¤¨

ï®¤¨

α > 2.

®‘

®¨

-¥ ®¡ 6¢¥ˆ--¤¨¬®ë©«¥¤®¢- ì¥£ì -«

î-«®¢¨î-®«î¡

.¥--¥è¥•

®©-¬¥‡

+∞

lnα

1 +

sin x3 dx.

¢®®¤¨¤¨¬®ï ªì

¢¥®¡«¥¤®¢¥-

«®¥£-¨-®£®î¨

î-¤®«î§¡

I =

+∞

f (t)dt

g(t) sin tdt

+∞

1 +

sin t dt.

lim g(t) =

lim

= 0

t2/3

√t

t +

∞

t +

∞

t 3

→

¨îï¥¤¨¨®ª

ª-¨§¯¯®

¨¨¯¯®¥¬,

«¥£®¨§¢®-¯

®ª ¦

α >

−

¤®.‘Š®è¨I)

®¬

ì.

• ¨ α 6 −2

¯®ï¤¨

α > 2

ï-¤

g0(t) =

t−

2/3

α−1

(1+t−

1/3

)

α ln −

−3

−

5/3 ln

(1 + t−1/3) +

(1+t−1/3 )

· −3

−

4/3

„¨ ¨«¥,

t → +∞ 2) ξ [1, +∞)

sin tdt

= | − cos ξ + cos 1| 6 2

1 t− lnα−1(1 + t−1/3)

¤¨

−

(1+t−1/3 )

α 1

1/3

2+α

−

3 t−

ln − (1 + t−

)(2 + α + o(1))

−

t−

− (1 +

+ t−1/3) < 0 ¯ ¨

t → +∞.

1) §®¬, ®¡ ª¨¬ ’

g(t)

¨ ¯

•II)

¤®

ì.®¬

¥¢¨¯ï

α >

, ª - ¨§ ¯

« ¥£ - ¨ «¥ ¨ „¨

•®

−

lim

g(t) = +∞

¯ ¨

α = −

α < 2 t +

∞

→

® ¨

lim

g(t) = 1.

¤’®£

α >

−

> 1

> t

g(t) >

−

, ¨ - ‡

∞

→

α >

> 1

δ > t

n =

+ 1 >

−

0ξ00

2π

ξ00

2π

ª ¨¥¨ï

¤¨¬® ¨

¥®¡ ¢¥

g(t) sin t dt >

= 2πn > δ,

ξ00

= 2 + 2πn > δ : ξ0

f (t) dt

= ξ0

ξ00

sin t dt =

2 .

ª, ˆ

α > −2 ε0 = 2

> 0 δ > 1 ξ0

ξ00

f (t) dt > ε0

> δ ξ00 > δ : ξ0

Š®è¨

-¢¥¤«¨¢®‘¯¨î®.¥¨Š®è¨ª

«®¢¨ï¥£-¨¥-®£®--

+∞

I¢ =¥

f (t) dt.

•®

«¥£-¨Š®è¨

¨¯¯®«ì§¤¨‚®

¯ ¨§III)-α >ª®¬€ 2¡. ®¢«-î¥-¨ï-.

ï’

ª¤ª

®¬

ì.

¥¬

−

«¥£-

f (t)

| sin t|

¨¯

→

∞

2+α

| t 3

+∞ f (t) dt

ï®¤¨

«¥£¨-¯

+∞

| sin2+αt|

ï®¤¨

Ž ¢¥ :R

®-(í®«î¡

ï.¤¨)-«®

2+α

> 1 α > 1

¨¯

α > 1;

®-«®¢

‡−2¤

< α

5.6 1;

¨¯«¥¤®¢¤¨ïˆ

α 6 2.

.¨¥-¥è¥•

-ì

ï¤ì®¤¨¬®

∞

32n (n!)4

n=1

(3n)!(n+1)!

an+1

32n+2(n+1)!4

(3n)!(n+1)!

=65

(3n+3)!(n+2)!

32n (n!)4

9(n+1)4

=„

.«¥¤®¢ï®¯®¤¨î.ï¤6¬¡¥¤¨¬®‡«

< 1, n → ∞

ª-¨§¯•®

(3n+1)(3n+2)(3n+3)(n+2)

→

¬®

5¬-ˆ¦¥ ¢ ì -

î-®¬¥-¢¨ì®¤¨¬®«¥

-«ì-¨®ª-

®-¥«ì

= (1, +∞)

= (0, 1)

= f (xp

x E1 E2

nlim fn(x) =

x .

¤¨

®¬¥

fn(x) =

√n ln 1 +

ˆ «¥¤®¢

−

¤¨¬® ì

n=1

- ¥ . ª«® ¨¥ Œ - «¥ ¥è¥ • ¨¬¥¥¬:

ë¬ - ® ®

-®¬ ¢ √

→∞

‹ ¬¥ ®

¦•® - £

. ¥ ¨ - ¥è¥ •

®¬¥

x E1

ξ (0; 1) : |Rn(x)| = |f (x) −fn(x)| =

√

√n

→

√

√n

→ ∞

− (1+ξ)2 n

x −

n ln 1 +

x −

E .

ª ª ª ’

(n) = 1

ln 2

√n

→

∞

¯ ¨ n

→ ∞

| | −

, ¨

‡

(1+ξ)2

-2ªn√n

¨ «®¢®©

¤¨¬®

ª ï

f (x)

- ® -

fn(x)

¯®

ï¤¨®

«ì¥£-¨

¢ ¥ ®¦ - ¬

- ì

- ¢

î -

‚¥©¥ è

√1−9x2

ï¤

¯®

ï¬-

∞

x2√x

= (0, 1) E2

= (1, +∞)

ï¤

cos

√

arctg

√n .

un(x) = 2 sin2

x5/2

arctg

ex .

•

0 6 un(x) 6

2x5

2√n

√ïn¤

∞

n=1

.ë©•-«ì-¨®

ï,®¤¨¨¬¥ï¤¯

® -®¬¥-¢

¥®¨§¯®¯

¥¬¥

(x)

ï;¤¨®¬¥ï¤¥,

n√n

¨¯

¨.-¤¨¬®-¢

¤‡

®¤¨ìï¤¦¨,

-ï

un(√n) π sin (1/2)

n → ∞

¨î¥ª-¯®«

§«®•

ï¤

ï¬-¥¯¥¯®

¤¨

•¥è¥--®£®-f¨¥(x.)ï¤=

arcctg• §«®¦¨¬

¨îª-

g(x)

arcctg

√

ï-®¨§¢®¤•

g0(x)

1−9x

∞

−

−3

−

3(1

−

9x2)−166/2

−

1/2

( 9)nx2n

√1 9x2

n=0

−

ï¤∞ ®¯n¥¤¥«ï¥ n+1ï ¨§2n+1«®¢¨ï2n. • ¤¨ ®¤¨¬® ¨ ¯®« ¥--®£®

= n=0 C−1/2(−1) 3

9x2 < 1 ® ª

= R.

−

< 1

g(x) =

arcctg 0 +

∞

(

1)n+132n+1 x2n+1

¤’®£.

f (x) =

−1/2

n=0

−

2n+1

= x4g(x) = πx

∞

( 1)n+132n+1 x

2n+5

¨•

®¬--

PCn

¬¨-®£®¥£ ¨«¥®¢- -2¤¨¨ ¥¯¥®¤¨¬®--1®£®/2 −

2n+1

1 .

n=0

−

ï,

¢¥Ž

R =

∞

n+1

πx4

Cn 1/2(−1) ¬ 32n+1 x2n+5

¤‡

f (x) =

−

2n+1

, R =

n=0

“

ë-ë¢¥¥¯-

¨©ª-

f (x)

g(x)

+∞

« ¥£ - ¨

f (x)dx

g(x)¤¨dx ì ®¤ï¡ ®«îï «®¢-®. Œ®¦¥ «¨

+ R

∞

«®¢a)Ž-¢¥®; c):¥ .f (x®)¤¨g(xì)dxï?a) ®

ïì¤¨b)®;-

f (x) =

sin x

g(x) =

sin x ,

f (x)g(x) =

sin2 x

= b)2

.®

sin x

cos x

f (x) =

√

g(x) =

√

f (x)g(x) =

= sin 2x

c)2x Œ®¦ .

, ¨¬¥ ¯ •

sin x

= sin2 x .

f (x) =

g(x) =

f (x)g(x) =

√

1 2 3 .4 5 6. 7. 8 .9 10

‚Ž.®¢•¥

‹¨ ¥¬¯®

I.—..

-ˆ¢

.ƒ

¨¨‹¥ª

ª®¬¥¨¥¬¬¯®

Œ”’ˆ,.:Œ{I.—..«¨§-

20040,200

Šˆ.Œ.-¨-¡

ª®£®¥¨¥¬

.«¨§-

˜Œ.,.€®¢¨ª®Š-’

. ž . €

¥¯

ì ”¨§¬ ® - ë¢ ¥

ì ¥¬® ¨ - ¥ ¥ ¤¨

ë -- ¥¬¥ ¯¥

- ¥¡.

Œ.: { . ®¡¨¥ ¯® .

Œ.:{

Œ.:1997;Œ”’ˆ,Œ.:1988;,

,«¨

2003

Ÿª®¢«¥¢

¥ª¨¥¬¬¯®¨¨‹¥ª•.….ƒ

.«¨§-

{1..—

{2007.

¥¤ ë

è¥©¢ë

Œ”’ˆ,¨ª¨¥¬

”¨§¬

,«¨

2004

¤¨¬® ®¬

ë -- ¢¥ ®¡ ¥ -

¨ª®¢ - Š®¦¥¢

€ •.

-ˆ¢

«¬”®‚.‘.

¥ñ®¡¨¥¯®¥©«®’

¨¨-«¥¨¢ë¨¯¨¥-¥-¨¬¥¯

http://math.mipt.ru/study/literature.htmlURL:.(ƒ“)

2007.

{

«®¢:¥£-

«¥¤®¢.®ˆ¬¥-.

{

Œ.:

Œ”’ˆ,

¨¨Ž

ë©-«ì

¥¡©

ë¥¤ª

è¥©¢ë

.(ƒ“)Œ”’ˆ¨ª¨¥¬

http://math.mipt.ru/study/literature.htmlURL:

Œ.:

Œ”’ˆ,

2006.

{

¥¤¥«®¢¯

.®¡¨¥¯®®¤.¬¥-¥¡.

{

¨ª-

¯®¨©:ª¤

®¬ª¥¨¥¬¬

«¨§-

/¯®¤

„.‹.¥¤.

ë©-«ì¨¨Ž

ª©

è¥©¢ë

URL:.(ƒ“)Œ”’ˆ¨ª¨¥¬

mipt.ru/study/literature.htmlhttp://math

•. ‚.

¨¨ ‹¥ª

¯®

¨¯®¢ € ‘¡®

ˆ., ƒ

¡ —

¥ª®¬ ¨ ¥¬ ¬

Œ.: { . «¨§ -

„ ®

2003.

¥¢ï¢¤Š

”¨§¬.:Œ{ë¨§¤.¥¤2{1{3.’..

,«¨

¤:‚®«£®£{

¬«ì¡¥ƒ

.«¨§¥-¨ª®¢ë¨¬¥¯-Š®„¦.¥¤Ž«¬,.

¢®-ˆ§¤

ý•«

1967.¡®¢,®«ƒˆ.•.¥¢®¤:•¥1997.þ,-®

®-¥•®«

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 44

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
27.03.2016656.27 Кб132Методические указания. РТ цепи и сигналы. Озерский.pdf
#
01.05.2025379.39 Кб1методичка лаб.раб. с мобильным телефоном.doc
#
27.11.2019594.94 Кб15Методичка по Деталям машин и ОК исправленная.doc
#
17.11.2019838.14 Кб20Методичка САТ РГР.doc
#
03.06.20154.1 Mб202Методичка_Громов.pdf
#
03.06.2015462.06 Кб35Методы решения экзаменационных задач по матану.pdf
#
03.06.2015349.18 Кб19Мир теорий (А_Ослон).doc
#
03.06.2015983.52 Кб83МИФИ.pdf
#
03.06.201528.16 Кб87Мнемоника (биология).doc
#
27.03.2016297.09 Кб19МНОГОМЕРНЫЕ_КУБИЧЕСКИЕ_СПЛАЙНЫ.pdf
#
01.05.2025541.55 Кб0Моделирование случайных полей.docx