Методы решения экзаменационных задач по матану

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный физико-технический университет (МФТИ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Š®è¨¥®10‘¥¬®©-ª®£®¨. •®¬,¥£®¢®-¨ï®,-ïŠï®¯®è¨¡§¤¥í. ®¬,Šì ¨¯¬ë¥¥¤¯®«¤®¯¨©Š®è¨EŠ®è¨,31£ª ¥¥¬ï¤¢ï,¢®«ì¥£-¤¥¤¨-®¢ë¯®® -¥-ìï-®¬¥¢ë¯®«ï¥¥ ¨¨.ï,--®P

¬ª-¨¦¥ E = (1; +∞)

ζ(x) = n=1 nx

®©-¬®¬®¬«®¢¨¥-¢¥¨«ìï‚¤¥£.¡ï¥

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

03.06.2015

Размер:

462 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 42 3 4 > Следующая >>>

¨í¨§	¥¢«	ï-«ì¥£-¯®¤ë	¨ïª-	--«¥ª¢¨¢í
¨¨ ª -	sin x		+∞ sin x
			R
¨®ª-¥«®¢ª--¥ˆ§«¥¤®¥¯¤¨¬®¨ï-¨§® ¥¬®( -ë¢√¬-¥®£¥¬«¥®.ì-[6])®©)-®¯¥--¤¨.®¡¨®ï¬® ìx¯®¥•¨--¢¥¤ë¯®¢®--®¤ë¯+®©®£®¯-¥£¨§- ¨¬¥,-¥£®¡(¤«ìª¨-¦¥£«ì¢¥-„¨©-¥£ª¦-®©¨®£®¢.î«¥-ˆ§¤¯®ªª-¥«-íª¢¨¨ª¯®«®§ë¢ì§ï√¥£¨¨¢dx-®¦¨¥«¥ª,,-®§¥«ì«¥¤¤¨--®®ì-¢«îë¥®©-®¥ïï¨.
	x	→ ∞	1	x
			1

®©

¥ª-¨¨ª-

¬®

¯ ¨ x → a,

, -® «¥¤¨ ¥ ¬®-® ®--

¥ª-¢¨¨ª-®©¤®¨ì

•¬ ¨ ¨¢ «¨.a •ì -«®«¥ª- ¬¨¨ï¬®.¦-® ¨ ì ¨- ¥£ «ë,

ω 6= 0

«ë¥£-

®¤ï Iï5

+∞

xα

+∞

xα

=¡ Z1

dx, I6 = Z1

sin(ωx + ϕ)

cos(ωx + ϕ)

¨«¥¥®,-î®«

α > 1;

®¤ï ï í «®¢ ®, ¥ «¨ 0 <

< α‡6 ¯,1 ¥¨§ - ¨«¥¤®¢¤ï.‘ ¨ï,

-α ¥£6 0.«ë

:¥¬¤§®

ªª¨ª5¡

¡ ®«î - îI5, I6

§®¡¢

®-¬®îé¨¬¦¬¨,«¥¤-ì®¤¨¬®

¯®®

«¥£-¨ï¤¨-ª¨©-¥¢¨®¬¥-

C| cos t|

¨¯

→ +∞

|f (t)| = g(t)| cos t|

t5−2α

+∞

®¤¨ ï

«¥£-¨

|f (t)| dt

cos t

+∞ C

.¨®¤¨¬®

ì•.

-£®ï¨ª’-

ª-¨§ï¯

t5−2α

5 − 2α > 1 α < 2

g(x)

-ë¢¥¥¯-

¥¬¨-¥¥¤¨

¥«-

[a; +∞)

g(x) ↓ 0 ¯ ¨ x → +∞. ’®£

0, p

«ë¥£-¨

+∞

g(x) sin(kx + p)dx

g(x)20cos(kx + p)dx

ï. ®¤ï

¢® ¯®«ì§®¢„ª§ ®¬¥« ì¨¥£¥¢ ®ª¨©.” -ª ¨¨ sin(kx + p)

cos(kx +

+ p’¤¨¬®) ¨£®¨¬¥î-¨ì. ï®£¯•¨§-¨-ì ª¥--®¬ë¥-„¨ª ¨ï¯¥¨¯«¥¢®®¡¨§. - ª§-ë¥.

ì®©-«®Ž®«î¡

¥¬¨-¥

[a; +∞)

g(x)

-ë¢¥¥¯-

-¥¤¨

g(x) ↓ 0

¨¯

x → +∞. ’®£

+∞

|g(x) sin(kx + p)|dx

ï ¤¨

+∞

|g(x) cos(kx + p)|dx ®¤¨ ï

¨- ¥£ «

«¥£-

g„(x®)ªdx

.¢®¬¥ì¨£®ï.ª«¨§¥®¯¤¨§

«¥£-ˆ

+∞ g(x)

¯® ï¯® ¤¨ ®£ ’

¢¨- ¥-¨ïª®¬ ¨§¯ ¨¥¯®§- cos(2ª¥ª kx-®¥¤¨¬®+¢¥2-p)dx¨¢.

+∞

|g(x) sin(kx +

p)|dx

+∞

g(x) sin2(kx +

g(x)dx

+∞ g(x)

+∞

+ p)dx =

dx − a

cos(2kx + 2p)dx > 0

g(x)dx >

+∞

∞

R ∞ g(x)

g(x) cos2(kx+ p)dx =

dx+

> a

|g(x) cos(kx+ p)|dx > a

∞ g(x)

+ -’ª ¨ï£®cos(2-®¬¥kx +¨2p¨)dxª¨©¥¬>

ì . ¥¬ë• . ¨ ¥® ¨¥ - ¥ ¤¨¬® «î¡®¬ ª«î § ª ¥ - ¨§ «¥¤

g(x)

¥£-

--•¨¬®¯

¥¥§ª®

[a, b],

b > a,

ñ¬¨¯

lim g(x)

C > 0

¨«¨

lim g(x) =

→

∞

+∞

→

∞

+∞

k 6= 0, p

g(x) sin(kx + p)dx

= +∞.

¤ ’®£

«ë ¥£ - ¨

lim g(x) =

ªªª’

g„(x®)ªcos(§ kx¥+«pì)dx ¢ ®. •®¤ï ìï.

→

∞

> a x > x0 g(x) > C2 > 0,

k > 0 x0 > a δ > x0 n N

ξ0 = 2

k−

> δ, ξ00 =

− > δ :

g(x) sin(kx + p) dx

π +2πn

ξ00

πn

ξ00

> 2

sin(kx + p) dx >

> 0 ¨

g(x) cos(kx + p) dx

ξ00

®«

£R

cos(kx + p) dx

> 0.

ˆ§ ª ¨ ¥ ¨ï Š®è¨ ¤«ï k >

ξ0

> 0

lim

-¥ª«î§¥¥¬«¥¤

¥¬ë.¥®¥

«¨…

x→+∞ g(x) = +∞,

¨¯¨®¬••®ì«®¢¬¥¨--ì§-¬®Cî¢¥©,=¥£ì1«¨¤¨¬®¡®.®ï -§¤ª®©¥¨£®¡¥§ì¡ë«¨§-¤®ª-¥£¤®ª¬¥§¨«6§. ¨ˆ-«ìë¥ -«¥¤®¢ª¨¬¨¢«¥ª¬®¦¨ïì¯--¨§.®-¡ ®«îª«ìª®¬¨- î¢

.¨¥-¥è¥•

+∞

cos(2x2+1)

dx.

−

(x ln

¡®«ìè¨

¨ïª-”

x−arctg x)

+∞

cos(2x2+1)

+∞

¤¥ £

g(t) cos(2t + 1)dt,

(x ln x−arctg x)

1/2

t = x

, dx =

2 t−

dt,

g(t) =

1/2 1/2

2 √

√

6=«¥ª76Š®¬¯®§¨’¨©0. ¨£®•®-®¬¥¨ï¥¬«¥¬®¨¤ ¨-¥®¢ ®

¯ ¨¬¥

t C

ln t−arctg

4α

1/2 1/2 2

√

1+α

2α

4 arctg √t

¨ï ª - ”

t−4 arctg

¯ ¨§

(ln t)

1− √t ln2 t

arctg

√

¨ ¯

→

∞

«ìª ª ¯®

¥ñ

- ®¨§¢®¤ ¯

√

¨ï ª -

< 0

¤® ¨ ¯

® - ¨ ® ¯

¤ ’®£

2t√t

1+t

− arctg

4 arctg √t

ϕ(t) = 1

−

√

→

∞

t ln

hª®¬¯®§¨(t) = ¨ï(ϕ(t¬®)) -

®¬«î.7¨©ª¯---®®ë--¬®

¨¨-¥-§

lim

h(t)

→

∞

¨§ë,¤¨¢§ï¢®¨¬¥¤¯-§¤.®©«¨,§®¢¨.…®¬®§¤ª--£®€¡¥«ï•¥.®-.¬®ž€-¨©ª§-«ª¨-¨¨§®¬¯ë--¥î®ª¥®

f ↑,

g ↓

[a, +∞)

h = f ◦ g, ® ¨§

x122> x2 g(x1) 6 g(x ) f (g(x )) 6

1+α

¨î-

ì¤¨¬®

(í

ì®¤¨¬®î-®«î¡

α > 1

¤¨

¤¨¬® ¨

+∞

1+α

ï ® - ¤¨

« ¥£ -

cos(2t+1)

dt.¯ ’®¨§¢®ª ª ª

¨- ¨¥£ «¥¤®¢I

¤®®

1+α

lim

1+α

¨ ¬¥

+∞ t

2 (ln t)2α

→

(ln t)2α

= 0 α > −1

α > −1

1+α

2α 0

¨ ¨£®¯

> ®¤¨0 ¯ï ¨¯ ¨¢ ¢ ¥

ª ¥ ¨¡®«ìè¨ - ® ®¬¥

« ¥£ - ¨

α > −1ª¨¬

¨¯

¢ ¥ α 6

6 ®¤¨¬®¯®−1 ¨.- •®¥£ - «¨£®-

®©¨-®«î¡®ª-¬ª¨§¯-¨§¯®¬

+∞

cos(2t+1)

:¢¥Ž

¡ ®«î¤¨-®¤¨ï ®¤¨ ï ¯ ¨

.)-«®

(ln t)2α

α < 5

¯ï

α > 5

®I

ï®£ï®¤¨

+∞

¤¨¬® ¨,

¯R ¨

t 2

(ln t)2α

α > 1,

ï ¤¨ ® ® - «®¢

•−1®¬¥< α <¨. 1‚¥, ª¨¬§® ¥ 5¡ª ¨ï¯ ¨

α 6 −1.

t2α−5

lim

= 0 α <

t +

g(t) = t +

∞

→

∞

→

®©¨-¯-®«î¨£®

¨¯¨•®®¤¨¬®¤¨¥«¥£--®«î¡¤¨¬,ª®-¨§--¯®¬¤¨¤¨

<¡¨2

α <

g(t)

[t0, +∞).

®«ìª2

¤®£

®£

>ì

ì¤¨¬®

î-®«î¡

¨¯.ì¤¨¬®•

ˆ 5«¥¤®¢2α

1 -

< 2.

−

ω 6= 0

«ë¥£-¨

+∞

dx,

I8 =

xα lnβ x

dx.

I7 = Z2

•xα lnβ x

sin(ωx + ϕ)

cos(ωx + ϕ)

.¨¥-¥è¥•

g(x) =

¤’®£

lim

g(x) = 0

xα lnβ x

( α = 0, β > 0

→

∞

α > 0,

„«ï

¦¤®©ª

ë¯

-§

¨©-¥

¨ β

¨§

¤«ïë--¥¯®«

¤ α£¨¥β

§- ¥-¨© - ©¤ñ ï ª®¥ x0 > 2,

¤«ï®

6 f¬(g(x2¨¢)) î h(x1)

6 «h(x2¨.)

,¨23-‡

h ↓

[a, +∞).

®-«®£¨-€

¢ ¥ x > x

®¯

§¢®¤- ª g¨ï(x) =

−1

(xα

−

1 lnβ−1 x)(α ln x +

-ª¨¬¥¨,

(xα lnβ x)2

¥«

[x0, +∞).

+•®β) <¨£®0.-®¬¥‡-

¯ ¨§g(-x)ª¬®-¨®- ®¥£-- «ë-

( α = 0, β > 0

I7, I8

ï®¤ï

( α = 1, β > 1

α > 0,

α > 1,

¥ ì ®¤¨¬®•

î -®«î ï¡ ¤ï« - ¥£ ® ì - - ë©®«î¨ ¡«¥¤®¢ -- ˆ¢¥

®¡8¥.-

¤®

sin®«ìªx

î-«®¢

(¤«ï

+∞

sin x

¢¥¤«¨¢®, ¯

¥ ¢

- ®

¡®«ìè¨

. ¨¥ - ¥è¥ •

ì •

I =

sin

dx.

sin x

√x

z = z x) =

¤ ’®£

lim

z(x) = 0,

√x

x→+∞

sin z

= z −

¨ ¯

→ 0,

+∞

120

+ o(z

)

sin zdx

¤®

- ®

«ë ¬

ï¤¨®

ª •®

¤«ï

¥ ¢

+∞

),-«®(í

«¥£-¨

I2.

« ¥£ - ¨

¥¬ ¦ „®ª

î - ®«î ¡

dx®¤¨¬®+ ì

= I1 + I2.

¥£

z −

120

+ o(z )

¤¨

− 6

|z|

−

¨120- ¥£ «

= |z|

120

x5/3|

x5/3

+ o(z5)

+ o(1)

x5/3

ª«24 ¤¨

¨¬¥¯ë©-¦¢®•.8¥¬

∞ dx

- ¨

®¤

¯®

ª - ¨§ ¯

¨ï. - ¥ - ¢

ª, ˆ

120 +« o(z5) dx

+∞

¤ £®£®

«®¥£-¨ì¬®

.®)-®«î¡

¥¬¦„®ª

-®¤¨

¥¦¤¨(

∞

«¥£-ˆ

dx =

zdx

I1 =

z dx.

∞zdx =

∞ sin x dx ®

«¥:¨„¨ª-¨§¯¯®ï

∞

−

x→+∞ √x

[1; +

)

sin xdx

cos 1

ë--¨®-¬¥íª§

= 0;

® ®

¡ë¢®--

¨¯

lim

-3)

ψ(x) =

«¥¤

¥-

®,«-¥£¥«ì-¢¨¤¨¬®„¥©.

®©-

ª ¨ï

€¡ ®«î

→ ¤¨¬® ¨¤¨¬® ì

| |

¯®í ®¬

z dx =

|dx >

dx =

¨ï ª - 3)

ψ(x) =

-- ® ® - ¬®

¡ë¢

¥ ¯ ¨ x > 1. ˆ- ¥£ «

+∞

+∞ sin

√x

¯®

z dx =

ï ®¤¨

1) «¥: ¨ „¨ ª - ¨§ ¯

sin3 xdx

cos33 1 − cos 1

6 4;

[1; +∞)

cos33 ξ − cos ξ −

x→+∞ x

dx > 0,

«¥£-¨

¬®

ï¨¤®

),-«®í(

x > 1.

® ‘

¤®ª

. -

«®¢ £ ¥ - ¨ ¨ ¤¨¬® ˆ§

= I1 + I2.

x →

+∞

| sin z(x)| |z(x)|

¨ ¯

z dx

®¤¨+∞,ï. •®

¥£ -

sin z(x) dx ®¤¨ ï

∞

∞ sin x

∞ sin2 x

∞ dx

−

√

√x

1 +∞ cos 2x

+∞ dx

ï-¥-¢ï¤®

® ¥

I I1

−

√x

¨-2¥£ «√x

+∞ cos 2x

dx ®¤¨ ï ¯® ¯ ¨§-

«¥: ¨ „¨

√x

¬®-® ®--

¡ë¢

¨ ¯ ¥

, ¨ - ‡

«®¬ ¥£ - ¨

[1; +

∞

)

cos 2xdx

6 2;

lim

¨ï ª - 3)

x +

√x

√

•®

→ ∞

ϕ(x) =

x > 1.

∞

|Žz| dx®¢¥¤¨ :

+∞

ª ï ®¡ë¤ïé¨¬¨ï. - ¥ - ¢ ¤¨ ª¨§ - - ¨§«ï ¯ ¥£ ¯®¨¢ - ï¨

¥£ -

‡

¥¬

ª¨¬.

¨¨-¥§«®¦¥£¢¨.-«®«®¢ï¬ï¤®ª

ï«¢ë¡¨

„®

§®¬,®¡

sin z

.¥-¬®«î‡¡

ªª¢ë¡ª-’®.¥¬¥-®¢

-¨¬¥

-ì

.ïï¤®ª¤¨«®«î¥£¯®¡®©ìè¨©¤ïíª¢¨¢

®,-®«î¡

¥£-¨

+ I2

«ë

-®§-¨ï®¤¨

ª®--¨§¯¨§ï¥®«¥¤¨¥-«ë¦¤¥¢¥¥£®¨•®.,®¥--

¢ë--«¥

®«¥¬ë®¡

ï®

®¡«¨¡®-«¨¡®®,-«®¢

ï.¤ï¤ï®¡

«¨¡®®,-®«î¡

9.¨:-¥¦¤¨¬®«¤ï•

-ï-ë¢¥•¥¯

ïª¥¤¨¨®¯¥ï-

®£ -„ª-¨®¨ïª¥--§f î¥: «¥ìR¢®®¡→ . §R-‚î-.¨««î¡®¬-¥¯ ¥¥ «ñë¢-¥® [a,¨+∞ì-)

¨ï¨¬¥¥ª

¥¬¨®¨£¯¥-¨

--•¨¬¯®

.¥¥§ª ® «î¡®¬

•

{

¨¨ª-¤

T > 0

a+T

f. a R

f (x)dx = f (t + T )dt =

f (t)dt. ’®£¤

a R

a+T

f (x)dx = a f (x)dx +

f (x)dx +

a+T

+¨¬¥¥¬:f (x)dx =

f (x)dx.

•®«

ï a = −T2 , ¢ ¨« -¥ ñ -® ¨ f

− 2

f (x)dx =

f (x)dx = − f (−x)d(−x) + f (x)dx =

−R2

a+T

=•®−¨-¤f (ªt)dt¨¨+ f (x)dx = 0.

‡- ¨ , a R f (x)dx = 0.

a+nT

b > a

a R n N

f (x)dx =

«¥¥,„

b a

¤’®£

n =

−

: n

−

< n + 1.

0 6 b

−

T n < T

a+nT

f (x)dx =

f (x)dx+

f (x)dx =

f (x)dx,

£¤¥ β =

a+nT

Z :

= a + nT, 0 6 b − β < T.

’ ª ª ª x0 n =

n 6 xT0 < n + 1 0 6 x0 − nT < T, ®

f (x0) = f (x0 − nT ) 6

6 M = sup{f (x) :

x [0; T ]}

f (x0) = f (x0

− nT ) > µ =

‚¥©¥ è

ï ¨ï ,

ª ¨ï

«¥¤®ª=¥¬¨9inf¨ïŠ§-{ªf¥«ì.(ª¨x¯) ¢:§¦x-¬®-®¥¦-¨¥-[0;-¥¯® Tí®«ìª]-¥}®. ë¢—¯®«ì§¯¨-¢¥¤«®ë« ¬¢26¦-M¥ì«-¨¥®ï µ¨¬¥,¥§ª-¥®£¢«¨é¥¤¯¨®-ì¬¥®-¢¡®¡ë«®î-- ¢ë¢©¯®¤®ª. ‡¥¡®¥®§-ï-¥®¥¬¥¨¡¥§- ,

C = |M | + |µ| + 1 > 0 x R |f (x)| < C. ’®£¤

a R

¬£•b-¥¤«®¤¨¬®®¢¥> a--¦ ì-¨¥§ ¤®ª

§a-f®.(x)dx®

® - ¬®¦ ¨¥, ¨© - ¥ ª ¦ - ¥¤«®

f-(xí)dx§®-ë¥¯6

|f (x)|dx 6

CT.

sin x

-¨ë©

.-¥¨-«-

î-

î-«®¢

sin® “x¯¨§

-- . ¢¥ - ®¡ ¥ - - ¦

Ž¯¨ ï ì

¯¥ ¢®®¡

¢¯ -¥¤ë¤®, ®é¥£® ¯ ¨¬¥

®£

+∞

cos x ln(x+x2)

‡Ž

:¥¢

.-«®¢

arctg

dx.

ª«î ¨ ì,

¡ ®«î

√x4

¥£

¬5-¯®ˆ¦«¥¤®¢¥ ¢

ì® ® - ì

î - ®¬¥ - ¢

¤¨

-¨®ª-

î-«ì

¥«ì

= (0, 1)

= (1, +∞)

ˆ «¥¤®¢

¤¨¬® ì

¨¥-¥è¥1)•

fn(x) =

√

cos

1 + enx

x + 2

¨¬

lim fn(x) = √

= f (x).

• x ¬®E1

x+2

n→∞

E1 = (0, 1).

|Rn(x)| = |f (x) − fn(x)| =

;

−

cos

sin

1+enx

√x+2

2(1+e

)

¨¯

xn = n

n > 2;

|Rn(xn)| =

sin

2(1+e)

n1 +2

2 sup{|Rn(x)|

E1}

> |Rn(xn)|

=…

¨«

sin¥¤¥«

q n1 +2

2(1+e)

,¥¢é¥

nlim sup{|Rn(x)| : x E1}

→∞

nlim sup{|Rn(x)|

E1}

nlim

sin

2(1+e)

→∞

→∞ q n

¥¤¥«¯«¨¡®§®¬,®¡ª¨¬’

√

= 2 sin

2(1+e)

> 0.

¥-

,¥¢é¥

«¨¡®

«¨¥

-¥«¨

«ï.-®

é¥27 n¢lim¥ ,sup®{|R®n(x)|

: x

E1}

→∞

ì®-¥«ì«¥¤®¢ª¯®ï-«ì®¤ïé¥©-¨®ª-®¬¥¥-¢«ï«î¡®¬ªï¢«ï¥¥-‚

fn(x)

f (x)

E1.

¨¥ - - - ¥è¥ ®¬¥ ®¥ - ¢ -- ¥ ¥¤ñ - ¢, ¨ • ¬¥ ª § . ï ¥, - ¤¨ - ® ¨ ® ¬ ®«ìª

® - ¬®¦

ì ¬¨ ® ®

f‡n(x)

f (x)

E1.

> 2

n > n0

sup{|Rn(x)| : x E1} > |Rn(xn)| =

[1]):

fn(x) f (x)

E Rn

√2

sin

2(1+e)

· nlim

sin

2(1+e)

sin

2(1+e)

(2)

→∞

fn(x) f (x)

E Rn

ì ® - ¥«ì «¥¤®¢® ¯®®, - - ¥¢¥ «ì - ¤ïé¥© - ¨®¤ ®£ ª’ -

, ¨ - ‡

> 0.

nlim sup{|Rn(x)| : x E1} = 0.

- ¬¥

→∞

fn(x)

- ® - ¢ ï ï¢«ï¥ ¥ -

«¥¤‡fn(x)

f (x)

E .

E1.

f (x)

-¥è¥®-®¥®¬---.¬¥¨¢¥¤ñ-(¨¨•-ª.ï¥¤¥«¥-®¯¤¨îé¥¬®

¨¥-

-¨«ì-®¢®-®

: |Rn(xn)| > ε0

(2),

¨¥ - ¥¤¥«¥

® ®¬, ¢ ®¨ ®

- ¢ •

®¥ -

®¯ nlim sup{|f x) − fn(x)|

E} = 0.

ε > 0 N

> N

E f (x)

(x) <

−2

< ε.

¥¨¬¥¯è¥¬-‚

lim

sin

√

n→∞

n→∞ q n1 +2

2(1+e

2 sin

= 2ε0 > 0.

,¨-‡

ε0

> 0 N N n > N

2(1+e)

-ì®¤¨¬®

«‘®£

¨î-¥¤¥«¥®¯®-

• ¬® E1

¥-¨¬

ï.-®¬¥-¢

ï-¤®¨§¢®

= ϕn(1) =

¥«ì

¯ ¥¤¥«¥

}

→∞

E2 = (1, +∞).

lim sup

= 0,

¥¯ |¥ ë¢

}

Rn(x)

: x

n N

x E2

|Rn

(x)| = |f (x) −fn

(x)| =

√x+2 sin

2(1+enx )

enx

e−nx

< 0

¯® ª «ìª ¯ ¨ «î¡®¬ ¨ª ¨ ®¢ --®¬ n

enx

¨ï ª -

n(1

nx)

¯ ¨

ϕn(x) =

n N x

enx

lim

ϕ (x)

sup ϕ (x)

}

|ϕn(x)|

x→1+0

{

- ¨« ¢ ¨

® ¥¬¥ ¨ ¥® ® - ¯®

¨¨ ª - ®© -- ® ® - ¬®

ϕn(x).

- ¥«ì ‘«¥¤®¢

n N 0 6

6§

¦sup®©R¯®(x«¥¤®¢) : x

-®E ¨ 6

¤ ’®£

¯®

¥¬¥ ¥®

«ì-¨®ïª-¥¤¥«¥¤¨¥¢®¯¨

ì®-¥«ì«¥¤®¢¯®

fn(x)

®-®¬¥-¢

„

ª ª ª ¯®«®¡.’ ® ¯ ©

f (x)

(x) =

= f (x)

−

fn(x

√

sin

< ε

¤«ï

2(1+enx )

enx

x+2

®,

¨î

®¥--¥«ì¤¨¬®¦¨¤¥£

®,

«®£

> -n0

(ε),

6¡.

‡

(2),

ï.-

î-®¬¥-¢¨ì¤¨¬®

ì¤¨¬®

¬6-®¦ˆ¤¨¬®¥ «¥¤®¢¢ ì ì -

®¬¥

∞ sin

E1 = (0, 1) E2 = (1, +∞)

ï¤

x2+n2

-¥è¥

.¨¥

‘1)

ª®«ìª•®

n=1 •1+ln2 n .

¯ ®¨§¢®«ì

x E1 E2 n

0 < u (x) =

sin

x2+n2

, n

→ ∞

ï¤îé¨¥«¥¤«®¢®©¨¨

∞

¯ ®¨§¤¨n ï (í «®1+ln-),n ® n ln

∞

n=2 n ln

¥¬ª(-ï¤ë‡

¬¨-«®¨ï•..-¥¥-¢¨-

ï¤ï¢«ïî

un(x)

¯®ï«®¢ë¥¤¨¨®

x E1

n=1

∞

C 6= 0):

«¨¥ï,®¤¨{

α > 1, ¨

«¨¥ï,¨®¤¨¯

α 6 1;

n=1

nα

∞

«¨¥ï,

α > 1

«î¡®¬

β; ¥ «¨

α = 1,

{¨¯ï¨¤¨‘®®¯

n=2

nα lnβ n

¤¨¬®¤¨

P®¤¨¬® ì ¨«¨β > 1; ¢®¥¬¨«®¢);¢¤¨¬®¥

.ï¨§¤¨îé¨¢¯{¨®¬¢¥¯®®ï«¨ï¤®¢¨ë-¤¨¬®«ìíì

α > 0, β

-( ª¥«¥¤¦¤®£®®¡§α--¥=¢¥ë¥0¨§--¨§, βë-¨¨>«®¢ë¥0-- ¥£-ï¤ë¢«¨¢¨«¨ï¥ª ¢®-¤ï«î¯®¢ï,¯¥-¯®¨¥£®ª®«ìª--ë®¡é¨©« -«¥ïª-

ªªª’2)

n → ∞.

x E1 n > 1 |un(x)| 6

(x2+n2)(1+ln2 n)

ï¤«®¢®©¨¨

∞

ï,¤¨®

ª-¨§¯¯®®

n ln2 n

n29ln2 n

n=2

è©¥‚

ï¤ë©-«ì-¨®ª-

∞

-®-¢ï®¤¨

-®-¬¥

n=1

un(x)

Ž¡é¨©

«¥

®¡ï¤

E1.

un(x)

E1 E2.

‚

¤¥«¥,¬®¬

sin

ε > 0 n0

N n > n0

x E1 E2

x2+n2

1+ln2 n

«®¢¨¥¥ª®£®¤¨¬®¥¥®¡-§®¬,

®©-®¬¥-¢ë¯®«

ª¨¬-¨’¬®¤¨

6 ®ln2 n

< ε.

∞

¬®é¨(ï¤®-¯¨

¥-®©„®ª-.ª1)®¬¥-¢®,--¯¢--®¢«¥ª-ïï¤Š®è¨¤¨ ì¨ï®ì¥¨ª¦

-¨®,-¯¥--¥¬¦¤¨

- ¨® ª -

ï¤ ®¬¥

un(x)

® ¢¨¥

n=1

®¬¥

ï¤

∞

un(x)

ªªª’

)

n=1

k=n+1

x(n+1)

x2n

sin

x2+(n+1)2

sin

+(2n)2

n sin

x2+4n2

¨¯

· · ·

x = xn =

1+ln (n+1)

1+ln (2n)

1+ln

n sin

= n

uk (xn) >

+4n

x=n =

> 1,

n >

k=n+1

1+ln 2n

1+ln

§®¬,®¡ª¨¬

> n0 > 1,

¨,P

ε0 = 1 > 0 n0

n+p

n = max{N, n0} > N p = n xn = n E2 : k=n+1 uk(xn) >

-¥-¯®«ì§®¢ï®¤¨¨¥ª¢ë•ï¤ì.«®¥¡®¢¨.-ì®¨¥ªª¬‡

P-® -

E2.

> ε0

x(n+k)

x E2 n

0 <

→®¬¥ x2+(n+k)2

®--¦®®¥ª--¬®-¢ë

¥¨¨-«¥è¥¢®¬--ï¤--¢¨ï-¥è¥¨¨-¥¬«¥¬®®.”®¨¤ì,ª•®-§ë¢¨¤®ª

n+k

‡

¥¥¬

.¥«®¢¨ï-¨§

®¥-«ì

¨¥-¨-®

«®¢¨ï

Š®è¨

un(x)

E1 E2.

ε0 = 1 > 0 n0 N n > n0 p =

n+p

¯¨

¨¥ - ¥è¥ ì

§®¬:

ª ®ª,

¯®§¢®«ï¥

= n xn

= n E2 :

k=n+1 uk(xn)

ε0

ε0 = 1 >

P ®¡

«¥¤ îé¨¬

> 0 n0 N n > n0 p = n xn = n E2 :

k=n+1 uk(xn)

g(n)

uk(xn)

g(n)

n+p

ª ¨î

sin

x(n+1)

sin

x2n

n sin

x2+(n+1)2

+(2n)2

x2+4n2

· · ·

= 1+ln2(n+1) +

+ 1+ln2(2n)

x=n >

1+ln2 2n

n >

x=n =

∞

1+ln

¥¬

¨¬,

«® ìE2.

P ª-

= +∞, ª ª, -

ª¢

--®¬ ¥è¥-¨¨, ¯®¤®©¤ñ «î¡®¥

>ï¢«ï¥1

ï ï¥ - - ï ¢ë¯®« ¥ - ®¤ïé¨¬ è¨ „®¯ - Š ®¬¥ «®¢¨¥ ®ï

ï¤

un(x)

¥ -

n=1

‡

¨ © -

î ª

ª- ¨®- î1.E.¨ •î ¨¯®- ¥¢¥

| →

→ ∞

k=n+1

ε0 = C2 . ‚ «

¥ lim

g(n)

-¦ˆ¨¥--¬-.«¥¤®¢-«ì§¡¥¦¥ì¨-¬¢®¤¨¬®-®¨§ï¤)¯

¥è¥

C >

¤ ’®£

, ¦¤¥®-¨¨ ¤®¯ ¨¬¥® ,-®>¢§ï ì

n→∞ |

«¨ … ¥ ¦ ® - .,®¬ - - ¨¬¥ ¯¨ ï¥ - ¤¨¬®‡ ®¢¥ ¯ë¯®«

¨© ¥ ¨ ª

Š®è¨

®© - ®¬¥ - ¢

ε0 > 0,

ε0

= 1.

10ï,

ï¤ «¨¡®¤¨¬®E

-ï¤®¬¥-®£®«¥¤®¢-¥(¨«ì--¨®ïªì-¤¨

¥-

¢ ¥ ®¦ - ¬®

«¨¡®

ï¤¨

¡ë

ª®

ì¢¥¤¥«ì¥ï¦®-¬¥-«¥¤ì¨§ª¨¤¨¬®¥£¥«ì¢îï¨¨--«¥¤®¢¬¥

-®©--¥ì®¯®¢¥®è¨¡®ª¨¥¥«¥¤®¢

ë©î¥¤ì--¥®-®¬¥-¨®îª¢-¨.¨¯¥ì¢¤®¨«¨¤¨¬®-¤¨¬®

ªªª¨¤¥«¥,¯

k=n+1 uk (x)

(n+1)x + (n+2)x + · · ·+ (2n)x >

(2n)x ,

x = xn = 1 + 1

(xn) >

1 =

x=1+

k=n+1

(2n)

¯ ¨ n

§®¬,®¡

> 0

→

→ ∞

. ’ ª¨¬ P

(2n)1+ n

N n > n0 p = n xn

= n E2 :

n+p

k=n+1 uk (xn)

®£®¨¨¨ï - - - ¨«ì ¥è¥ - ¨¨®® (¯®£®ª

§ªï¤¨Žè¨,.¥® ¨ï6ª¡):¤®Š®è¨¯®-ë¬ª®«ìª-®¬¥¯ ¢¥¤«¨¢®-ï®© ¤¨¬®ì¦¤¥® ¨-¬¨¥«ì--P

ε0

¢ë¥ª

¨¯

x E1 n > 1 0 < un(x)

n ln2 n

ï¢«ï¥

«®¢®©¨

ï¤

∞

ï,¤¨®

¯®®

è‚¥©¥¥¬¥¥®

ï¤ë©-«ì-¨®ª-

→ ∞

n ln n

n=2

n ln n

∞

ï®¤¨

®-¢

-®-

un(x)

n=1

:¯ ¨¬¥ -Š®

ï¤

E1.

∞

un(x) - E = [1, +∞),

¤¥£

n=1

x 6= n,

un(x) =

xn2

(1 +

¥ «¨ x = n.

-èï

’ ª ª ª x E un(x) n2

¯ ¨ n → ∞,

®¤¨«®¢¨¥ï¤ ‚¥©¥®¤¨1

®¡é¨© «¥-n ï¤N sup{|un(x)| : x E} > |un(n)| = 1 +

un(x) 6 0

-ï¥¬¥¥®ï¤¨

-®¬¥-¢

E,¤¨¬®ª ª¨ ª --¥ª¢ë¯®«¨®- «ì-¥-®£®-¥®¡¤¨ï¤®¤¨¬®¥. Ž¤- ª

-¢

®©-

0 < un(x)

∞ 1

xn2

«®¢®©—¨

ï¤

•®ï.

ë©-«ì-¨®ª-

ï¤

6 n2 .

n=1

P∞

-®-®¬¥-¢ï®¤¨32

ï¤

n=1

xn2

®¬-®¡é¨¬«¥¤®¢ë¬--«¥íª¢¨¢

∞

®£®,

íª¢¨¢®¡é¨©¤¨Žè¨¡‚ë¢®ª«¥ï-¨-¤®.--E-«ìï¤îë¬-•-¥¢¥,ë©«¨¤ï¢«ï¥¢¦¥-¨®¬¥¨ï¤-§-.-ïª®¯®. -

un(x)

n=1

¥¨®,--ì®¢ª§-ï-¯®ª¤®¤¨¬®¬¥¯®¨¡ë«®«ì§ï®©¯ª¥-:-ª¨¥¬¥--¢--¦¤¥®ï¨¨

-Š®

∞

®¬¥

¤¨¬®¨

¨© - ¥ - §

∞ sin

x2+n2

¨ ¯

® ¢¬¥

n=1 un(x).

® ¢¨¥

ë©¨¥ - -- §¨ ®ª ª¢¥¤«¨¢®®«ìª •®¯

∞

sin

¥£® - ï¤Š®è¨:ï,¤«ï

x = xn

= n N ¨¯«®¢¨ï«®¢®©«Š®è¨¥ ï¤ ª¨ «®¢®©¨¥ ¤¨¨ï

n=1

1+ln2 n .

n+p

ε0 >

> ε0.

-¢

- P

> 0 N N n > N p N xn = n E2

k=n+1 uk(xn) >

¥¬®¨ïª«îŠ®è¨§¥¨ªï¤®¢¨¨-ë-¨¬¥®¢-«ì-¯®-•¨®¤¨¬®ª-®

®©-®®¬¥-¢®©

∞

E = [1, +∞),

un(x)

¤¥ £

n=1

x = n.

ªªª’

( n1

¥ «¨ x 6= n,

un(x) =

xn2

®¬¥

ª ¨¥¨î

(x)

ε > 0 N N n > N p N

x E

k=n+1 uk

n+p

+ +

+ 1

· · ·

k=n+1 k

n+1

n(n+1)

(n+p−1)(n+p)

n+1

−

· · ·

−

n+2

n+p

−

n+p

∞

n+1

+∞).

un( P

ï ¤¨ ®

- ¢

® -

n=1 un(x)

− n+p +

n+1

< ε,

¯® ®

Š®è¨

ï¤

=33

[1,

ª®-Ž¤

1 ,

¨ «®¢®©ª¨ ¥ï¤ª¨∞ 1			§ª•®ï.®¤¨	®¬-®è¨¡®®¬--
	P				∞
¦¤¥ ¨î ¯®« n		ï¤ ë© - «ì - ¨® ª - ® ï, ¥
	«®¢¨ï
	n=1				® P
	ª¨¬		E.¦¤¥-¨¥¬ ¯®ª		® P
- ï ®¤¨	- ® - ®¬¥ - ¢				un(x)
					n=1
”				®, - §	¬
					ε0 > 0

N N n > N p N xn+1 = (n + 1) E2, . . . , xn+p =

=® (nŽè¨¡®¨+-p¨¥) E-2ë¬: k=n+1 uk(xk ) > ε0,

n+p

ì : ¥ ¨¥ ¥ - - ® . ¦¤¥ í - ï¢«¥ § ª ï ª ï¢«ï¥ Š®è¨,

®¥ - ®«ìª«ì ª ¯®

n=1 un(x).

® ¢¨¥

®¬¥

sin 1

n sin 1

= 1

k®=n+1 uk(k)

> 1,

n > n0 > 1,

k=n+1

1+ln2 k

1+ln2 2n

{

¯®¤” ª ¯ ¨¬¥

n = max N, n

> N

x = xn

> 0

p = n

=§ ª«în

E2¥¬:

k=n+1 uk (xn)

¢>-

ε0. •-®©® -®¤¨¬®¢ -¨¨ ª¨ ¨- ¥ ¨ï Š®è¨

ï¤

n+p

∞ ‚®Š®¨§¡¥¦-

-¨¥ ®è¨¡®ª® ¦¥,¢ ¦¤¥® ¢ ¯ ¤ë¤-¨¨ é¥¬® ª « ¥§ª.

«®¢¨ï

Ž ¬¥ ¨¬,

n=1 un(x)

®, - «ï § ¬®¤ ¯®ª ¨§ ¨¥¬ - - ª¨ ¦¤¥ - ¥ ® «¥ ¯® ª¨¬ ¦¥ ª¨ ì ¥ ¨ ¢«ï

!® - ï¤¦ -

> 0 N N n > N p N xn+1

ε0

= (n + 1)

¯¥ E2 . . .

xn+p = (n + p) E2

k=n+1 uk(xk ) > ε0,

n+p

¥ ¢ - ¨® . í - ®¬ í ï¤:ï¢«¥ §¢ ª ®© ª ® ¨¬¥ Š®è¨,¯¯ - ìª¡®«¥¥ ¢§ï¢¥ ¥ ® ¨¥ - - ª¦ ¢¬®¨ ¥ ®® «®¥ - «ì é¥¬¬ ® ¥¤ë¤ì

∞

E = [1, +∞), £¤¥

¥ «¨ x 6= n,

un(x) =

¤‡

( n1 ,

x = n.

¥ª®

ì«¥¤®¢ˆ

ì¥¬®¨-¥¥¤¨

D(1, 1) -ª ¨î

ë--¥¬¥¯¥¤¢

• ¯®¬z(x,-y¨¬,) = (2x®

− y

¨ïª-¨ï

−«®¢1)px

+ y

− xy − x − y + 1.

f («¨x, y)¥ñ -¯ §ë¢¨ é¥-ï¨¥ ¤¢¨¥ ¥í ®© - ® ª¥¥¬®©¯¥¤ ¢«ï¥® ª ï

,¢¨¤¥

(¢x0, y0)

f (Δx, y) = f (x0 + x, y0 + y) − f (x0, y0) = A x +

¨ïª-¥ ì

-2

ë--¥¬¥¯¥

¤¥£

+ B y + o(ρ)

¯ ¨ (Δx, y) → (0, 0),

ρ = (Δx) + (Δy)

p = x − x0

= dx,

y = y − y0 = dy.

“

¨¨ª-¥¬®©¨-¥¥¤¨

A =

f (x

+Δx,y

)

f (x

)

∂f (x

, y

) =

)

lim

−

, B =

dx f (x, y0

|x=x0

∂x

∂f

→

lim f (x0,y0+Δy)−f (x0,y0) .

(x®¡¥¤¨0, y0) ¥ =¥-ë¥dy f (x¯0,®¨§¢®¤y)|y=y0-ë¥=

… «¨∂y

y→0

ì¥¬®¨-

¢-A® ¨«ì-B

,î¢-¢¥¨é¥

f (x0+Δx,y0+Δy) f (x0

,y0)

¥¬ë¥¬ë¥®¨

- −

−

= 0

lim

√(Δx)2+(Δy)2

(Δx, y)→(0,0)

u =-x ¨− 1,¥¬®v = yì

−¢

1 ®§ ¤ª

¨î-«¥¤®¢¨ªï

O(0, 0)

¨¨ª-

f (u, v) =

®-•¥

√

+ 4u

+ v

uv.

= z(u + 1, v + 1) f (u, v) = (2u

−

2v)

−

¢¨¤¥ ì,

f (0, 0) = 0,

−∂f

∂u

(0, 0) =

f (u, 0)|u=0

√

(2u2

+4u) u

(2u

+ 4u)

|u=0

= lim

= lim (2u + 4) u

∂f

u→0

u→0 √

| |

= 0,

∂v (0, 0) =

dv f (0, v)|v=0 =

(−v

− 2v) v

|v=0 =

( v2

2v) v

ª-

¨ï

¨,

ª¨¬

§®¬,

−

| | =

lim (

2) v

lim

−

→

| |

® ®£f¤(u,,

vª®£) ¤

¥¬¨-

¥ª®

(0, 0)

¤®£

√

+4u

(2u

2v)

u +v

®«ìª

lim35

− √

−

= 0.

(u,v) (0,0)

¨ ¥ ¥

→

u = ρ cos ϕ, v = ρ sin ϕ.

√

ρ > 0

[0, 2π)

(2u

+4u−v√

−2v)

−uv

(2ρ2 cos2 ϕ+4ρ

2ρ sin

u +v

−

ρ2 sin2

−

ϕ)

−

ρ2 cos ϕ sin ϕ

cos

√ρ

√

‘«¥¤®¢

®,-

2ρ(3ρ +

→2

√

«¨¥

→

+0.

(2u

+4u v

2v)

ª¥¤¢

-¥¬¨

¨ï

¤¨ lim¥ ¥- ¨

¥¬

−

f (u, v)

√u2+v2

(u,v)→(0,0)

® ª¥

¥«ì

: ¢¥ Ž

¨ïª-

(0, 0).

z(x, y) ¤¨ ¥

-¥

D(1, 1).

f (ρ cos ϕ, ρ sin ϕ)

√

2ρ(3ρ + 6)

-¤®«¦

ì¦®¤¥

:¨¥-¦¤¥

ϕ, ®-

.®ï®«ìªì¦®¤¥ë¬--¤®«¦

ñ¬,-

-®ª®

¥«ìϕ- ï ®[0¥,-2ªπ)

¬«ï¬®¤‡

•®

(2ρ2 cos2 ϕ+4ρ cos ϕ−ρ2 sin2 ϕ−2ρ sin ϕ)√

lim

ρ2−ρ2 cos ϕ sin ϕ

ï¢«ï¥

Žè¨¡®→

®-¥-ª®¡¥¨¥-®¨§¢¥¤¥

ªªϕ

¨î:¯2 sin ϕ)√1

−

cos ϕ sin ϕ = 0

ρ +0

−

→

‘«¥¤®¢

-®,®£--

î--

¯®«

¥¬

1).

√

(2u

+4u v

2v) u

¢•¥«¥¤¯ ¥ ¢¨¥«¦¤¥ª¯®-¨¥¬é¥ª ª¦¤®¬¢¥§¢®¢---¢®¥--¨¥®è¨¡®¯ ¨¬¯«¨ª®®¢«¥¢¥--¨î®¥ − −

−

= 0.

¥«ì

lim

√

u,v)

(0,0)

→

¨¥

(¯® ë«ª

√

(2u

+4u−v

−uv

lim

−2v) u

√

u2+v2

(u,v)→(0 0)

2ρ sin ϕ)√

(2ρ2 cos2 ϕ+4ρ cos ϕ ρ2 sin2

ρ2

ρ2 cos ϕ sin ϕ

¥¡

ªªª

¥-¢®®¥-®¢¥¢¥ª®

§ë¢¤®ª

−

®¡é¥¬

,¥«

lim

ρ→+0

¥¬®¥,

ï¢«ï¥

11-„«ïë¬.11-ª ¨¨lim

f (u,v)

lim

f (ρ cos ϕ,ρ sin ϕ)

√

+v2

(u,v)→(0,0)

ρ→+0

x2y

+ y

f (x, y) =

36x

¥ª®¢

(0; 0) ¯ ¥¤¥« ¯®

x4+y2

‡

¥¬

.¥¨-

ë¬-¯®«ïª

= 0,•¨ ¨ ¬-ª

.¨ïˆf (u,«¥¤®¢¤¨v) ì -¥

- ¥

-¢¨ ® ¥¬®ª(0,ì0)¢.

¥ ª ®

M (0, 0)

¨îª-

¤¨¥ ¥

R |x|

[3]. ¬ - ¤¨ ª®®

¨¬, ¬¥ ‡

¤«ï

¥ ¢

− p2

−

¤ ’®£

+ y

|y| 6

+ y

ì •

√

+ v

√

0 < ρ = u

< 1

ρ(3ρ +

18ρ = 18 u

+ v

(u, v)

(2u2

+4u v2

−2v)√u2

+v2

(2ρ2+4ρ+ρ2+2ρ)√ρ2+2ρ2

(2u2 +4→u

2v)√u2+v2

→

(0, 0).

lim

−

→

®,-¥«ì‘«¥¤®¢

√−2

(u,v)

(0,0)

→

f (x, y) =

sh(3x),

x 6= 0,

.¨¥-¥è¥•

y3 + |y|3/2, x = 0.

f (0, 0)

∂f

lim

f (Δx,0)−f (0,0)

∂x (0, 0)

∂f

x→0

lim

= 0.

(0, 0) =

f (0, y)

= (y3

+ y

3/2)

x→0

−x

∂y

√

y=0

| |

0|y=0

y 3

•®¡.¯®I

f (Δp

„®ª3

® ¥¬, ¦

lim

= (y )0

y=0

lim

√ x2| +Δ| y2

®¯¥¤¥«¥

= 0,

6= 0

→

√

x2+Δy2

→

lim

√

= 0.

( )

• ¨

0,-¢¥

(0,0)

(Δx, y)

→

ρ0

®«ì

«®, ¬

x2 +

(0, ρ0),

®¥ - ¥«ì ¯®«®¦¨ ¤¥ £

sh(3Δx)

¤ ’®£

¨ ¯

2-¨ï (¯2 ¨

«¨ ¥

¢ ¥ ®¦ - ¬ ¯®

f (Δx, y)

y2 sh(3Δx)

6Δy2

6(Δx2+Δy2)

(Δ

¯¥¤¥«

é¥¢

¯ ¨¬¥, f (x, x2) =

21 .

.[5]‘¬.

√

x2+Δy2

→ x = 0).

→

6= 0

x√

x2+Δy2 6 √

x2+Δy2 6 √ x2+Δy2 =

(0, 0)

f (Δx, y)

y3+ y 3/2

6 |

6 (Δx

+ y ) +

√

¦¤® ª -

¨î - ¢«¥ ¯ -

®© - ¤¢®©

¥ -

ª, ª ª , ¥

√

x +Δy

1/2

→ 0, ¥ «¨

(Δx,

y) → (0, 0)

¢¥®¦-¬¯®

+®¯ ¥¤¥«¥x-¨ï+ y

§®¬, ®¡ ª¨¬ ’

¤«ï

¥ ¢

. ) ¤®

¬ ® - ®

«ë

x = 0,

y = 0

®--¥¬¥®¢-¤

®-¥-¢ë¯®««î,-

f (Δx,x y)¨

ë-¢

(¯ ¨

√

x2+Δy2

1/2

¯ ¨

+ y

+ (Δx + y ) + ( x

+ y )

→

f (Δx,

¬:= 0.

→

(Δx,

+Δy

(0,0)

√ x

→

x = ρ cos ϕ,

©-1

©:

y = ρ sin ϕ, ρ > 0, ϕ

[0, 2π).

(

3π

x 6= 0. ρ0 > 0 ρ 2

(0, ρ0) ϕ

f (ρ cos ϕ, ρ sin ϕ)

sin

[0, 2π) \ {

}

cos ϕ

sh(3ρ cos ϕ)

=¤«ï6-ρ¥ª®sin ®ϕ ®£®

6 6ρ sin

6 6ρ = F1(ρ),

ª¯®

«©2

·©:6ρ cos ϕ

sh α

¤«ï

α0 > 0, 0 < 2α

< 1

α : 0 < α < α0.

3π

f (ρ cos ϕ,ρ

sin ϕ)

®«ìª

x = 0. ρ > 0 ϕ {2 ,

2 }

§®¬,

3/2

¢ ¥

6 ρ + √ρ = F2(ρ).

ρ’ sinª¨¬ϕ®¡+

√ρ| sin ϕ|

f (ρ cos ϕ, ρ sin ϕ)

ρ0 > 0 ρ (0, ρ0 ) ϕ [0, 2π)

¤®ª

ì.

:¦¤¥¥¡®¢¢¥“¨

¯ ¨ ρ

+0,

-¨¥6 F1

(ρ) + F2

(ρ) = 6ρ+ ρ + √ρ

→

ª-

¨¨

«®ì

( )

®-¨«ì®-¢

¨¥¬®¨-¥¥¤¨

f (x, y)

¢ ¤¨® ª ¥M (0, 0).

f (x, y)

¥¬¨-¥

ª®¢

M (0, 0).

¤‡

§ 2. ‚ ¨ -

61-Œ”’ˆ

¥ª®

¢«ë¨î-ª¥

(0, 1)

-ª ¨¨ z = z(x, y),

--¤§

z2 − 2xy = ln z + y,

£¤¥ z(0, 1) = 1.

-ì§«®¦¨•

z =

= z(x, y)

¥©«®’«¥® ¬¯®

¨®-¥®ª¢

¤®ª¨®

o(x2 + (y − 1)2).

.¨¥-¥è¥•

ï¨-¥¥¤¨®-«ì¬”®

¢®®¦¤¥

−

−•®¤2xy

=¢«ïïln z¢¬(1)+ y,

®¤¨¬

2zdz − 2ydx − 2xdy =

+ dy (1).

x = 0, y = 1, z = 1,

®¨¤¨¬-

= 2dx +

+ dy”®(2)¬. «ì-®

ï¨-¥¥¤¨

¤¨¬(1)

-ë¬¨,--®ï¯®

¤¨¬

2dxdy

2dz2 +2zd2z

2dxdy = d2z z2

dz2 .

−

· −

•®¤ ¢«ïï x =®0, y = 1, z = 1, - ®

d z = 4dxdy − 3dz2 .

dz2 ¬¬

2dx + dy

¨§

(2),

- ®¤¨¬ d2z = −

¢¨¤:

®ï,ë¢¨“

−

1 = dz + d z + o(ρ2).

®¤¨¬,

dx = (x

0), dy = (y

1), ρ

= x

−

+ (y

−

1) ,

z(x, y) = 1 + 2(x − 0) + 1 · (y − 1)+ + 2

(−12(x −

− 0)‡

− 8(x −2.0)(y − 1) − 3(y − 1) ) + o(x

+ (y − 1) ).

¨©•

£¨¨¢®©¤-¤«¨ª

¨¢®©ª

ln(1 +

+ cos•¥è¥x), -0¨¥6. x

£¨¤

6„«¨.-

π/2

1 + y

2dx

π/2

π/4

pπ/4

r1 +

sin x

d sin y

1+cos−

dx =

= 2

cos x2

cos y

1−sin2 y

√

dt = ln

1+t

√2

= 2 ln(1 + √2).

= 2‡0

1−t

+ 1+t

1−t

1−t2

ˆ«¥¤®¢

¥ª®

-4

ì¥¬®¨-

M (0, 0)

¤¨ ¥ ¥

ª¨îln

1 + x sin 3

, x = 0,

z(x, y) =

. ¨¥ - ¥è¥ •

ª ª

ª’

0, ∂z

x = 0.

(0, 0) =

z(x, 0) x=0

0 = 0

∂x

∂y∂z (0, 0) =

z(0, y)|y=0

0 = 0,

z(0, 0) = 0, ®«ìª -ª ¨ï

zª®£(x,¤y)

¥¬¨-¥¥¤¨

¥ª®¢

(0, 0)

¤®£

® ®£¤ ,

z(x,y)

lim

√

= 0.

x2+y2

(x,y)

(0,0)

→

<<< < Предыдущая 12 / 42 3 4 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
27.11.2019595 Кб19Методичка по Деталям машин и ОК исправленная.doc
#
01.07.2025105 Кб1методичка по контрольной работе банк и банковские операции.doc
#
17.11.2019838 Кб21Методичка САТ РГР.doc
#
03.06.20154 Мб216Методичка_Громов.pdf
#
01.07.2025642 Кб3Методичка_Растворы.doc
#
03.06.2015462 Кб40Методы решения экзаменационных задач по матану.pdf
#
03.06.2015349 Кб19Мир теорий (А_Ослон).doc
#
03.06.2015984 Кб94МИФИ.pdf
#
03.06.201528 Кб91Мнемоника (биология).doc
#
27.03.2016297 Кб19МНОГОМЕРНЫЕ_КУБИЧЕСКИЕ_СПЛАЙНЫ.pdf
#
01.05.2025542 Кб3Моделирование случайных полей.docx