Diff

Преобразуем:

dd~zt = A(t)~z + ~(t); ãäå j~(t)j = o(j ~j)

~

~z(t0) = 0.

Надо доказать, что ~z = o(j ~j). Введ¼м вспомогательную функцию

def ~

'~(t) = 0

Эта функция, подставленная в наше дифференциальное уравнение

да¼т погрешность

j~z(t) '~(t)j 6 2o( ~) eK = o(j ~j) j~z(t)j = o(j ~j):

Теорема доказана.

dV

Осталось доказать, что dt (t0) = 0. Так как мы не меняем начальных данных, то так и есть.

3. Зависимость решения от начальных данных.

Замечание: Это очень просто исследовать

Сделаем замену ~y = y~0 + , t = t0 + . Тогда уравнение (1) становится эквивалентным

Начальные данные фиксировали, а в преобразованные данные стали параметрами.

4.Несколько дополнительных замечаний

Обязательная задача. Для уравнения (стрелочек нет)

y(n) = f(t; y; y0; : : : ; y(n 1))

пользуясь тем, что оно сводится к нормальной системе y0 = z1, z10 = z2; : : : ; zn0 2 = zn 1; zn0 1 = f(t; t; y; z1; : : : ; zn 1) сформулировать (и доказать) результаты, соответству-

ющие теоремам пп.1-3.

41

Мы привыкли к тому, что система n уравнений имеет общее решение, зависящее от n

произвольных постоянных.

[ Тут будет рисунок ] t0 фиксированное, y0 = C параметр.

~

~y = ~y(t; C)

Наложив более ж¼сткие ограничения на функцию ~

f, можно доказать существование и

непрерывность высших производных ~y по ~.

Замечание: Представьте, что дифференциальное уравнение, описывающее, например, пол¼т самол¼та, разрывно зависит от некоторых параметров (например, веса). Малые изменения параметра влекут большие изменения решения. Поэтому теорема пункта 1 имеет фундаментальное значение для использования в практических целях. 5. Уравнения, не разреш¼нные относительно производной. Особые решения.

1. В этом параграфе мы рассмотрим уравнение (1), где функция f(t; y; p) определена в области Gt;y;p и непрерывна там вместе с первыми частными производными.

(t; y; p) рассматриваем множетво , для которого f(t; y; p) = 0, и рассматриваем кривые `, заданные уравнениями y = y(t); p = p(t).

1.Íà Q задана точка. Найти то решение уравнения (1), график которого проходит через эту точку.

2.Заданы числа t0; y0; p0, удовлетворяющие условию f(t0; y0; p0) = 0. Найти y(t) то решение уравнения (1), для которого выполняется (2):

Замечание: Мы зада¼м òðè числа, чтобы исключить возможность протыкания прямой поверхности в нескольких точках.

Все величины, которые рассматриваются в этом параграфе, вещественные.

d

Теорема: Пусть f(t0; y0; p0) = 0, dpf(t0; y0; p0) 6= 0. Тогда существует решение задачи (1)^(2). Если y1(t); y2(t) решения задачи (1) ^ (2), то y1(t) = y2(t) в некоторой окрестности точки t0.

Доказательство: В силу наших ограничений по теореме о неявных функция в некоторой окрестности точки t0 соотношение f(t; y; p) = 0 эквивалентно

p = g(t; y);

42

где g непрерывна вместе с первыми частными производными. Тем самым, в некоторой окрестности нашей точки уравнение f(t; y; y0) = 0 эквивалентно

Начальные данные приобретают следующий вид:

Тем самым, в некоторой фиксированной окрестности точки (t0; y0; p0) используем теорему 3.

Замечание: Из доказательства видно, что окрестность фиксированная, то есть не зависит от выбора функции.

2.

Определение: Решение уравнения (1) называется особым, если на каждом интервале графи-

ка этого решения существуют точки, в которых нарушается единственность решения задачи Коши.

[ Тут будет рисунок ]

Теорема: Пусть y = y(t) особое решение (1). Тогда в каждой точке графика этого решения

имеет место f = 0 и @f@p = 0. (от противного, если бы производная не равнялась нулю, то можно было бы воспользоваться предыдущей теоремой существования и единственности решения задачи Коши).

Определение: Множество точек, в которых f = 0 ^ @f@p , называется p-дискриминантным множеством уравнения p = 0. Стандартное обозначение: . Тогда предыдущую теорему можно

переформулировать так:

Теорема: График особого решения лежит на p-дискриминантном множестве этого уравнения.

Замечание: В типичном случае множество двумерное множество в тр¼хмерном пространстве. p-дискриминантное множество зада¼тся двумя уравнениями, поэтому имеет вид кривой. Кандидатами в особое решение являются какие-либо из этих кусков кривых.

Если кусок кривой является решением, то отсюда не следует, что это решение особое. Вообще говоря, задача формулировки достаточного условия особого решения выходит за рамки программы МФТИ. Поэтому когда мы применяем эти при¼мы к исследованию уравнения, необходимо всегда помнить, что эти требования являются обязательными. Для доказательства надо провести дополнительное исследование.

3.Примеры

[ Тут будет рисунок ]

43

Этот пример не подходит под нашу теорию. Для того, чтобы он удовлетворял условию, возвед¼м в куб и преобразуем:

(y0)3 y2 = 0; f(t; y; p) = p3 y2:

Если взять y0 6= 0, то решение задачи Коши единственно (локально). При y0 = 0 решение задачи Коши не единственно.

[ Тут будет рисунок ]

[ Тут будет рисунок ]

Ïðè p0 = t0 решение единственное, хотя через точку проходит два графика решения. (Касательные различны)

[ Тут будет рисунок ]

Ïðè t0 = 0 через каждую точку проходит 4 решения [ Тут будет рисунок ]

Тут имеет место нарушения единственности решения задачи Коши. p-дискриминантное множество:

Особых решений нет, так как графиком дискриминантного множества является вертикальная прямая, которая не соответствует никакому решению.

3.Пример, который показывает, что все приведенные условия не являются достаточными для выделения особых решений. (y0)2 = 0, y0 = 0, y = C const.

[ Тут будет рисунок ] Совокупность графиков решений множество горизонтальных прямых. Дискриминантное множество:

:

p2 = 0

2p = 0

Каждая точка плоскости принадлежит дискриминантному множеству. С другой стороны, особых решений нет.

4. Уравнение Клеро.

y = ty0 + f(y0);

где f определена на интервале ( ; ), и f00 непрерывна на ( ; ), f00 > 0.

44

Замечание: Клод Алексис Клеро. Работал в 1 половине 18 века. Первую математиче- скую работу (исследование геометрических свойств алгебраических кривых 4 порядка) написал в 12 лет. В 16 лет изучил кривые двоякой кривизны. В 18 лет стал адъюнктом Парижской Академии Наук. Вв¼л криволинейные интегралы, понятие полного дифференциала функции нескольких переменных. Кроме того, занимался теорией формы Земли, движения Луны, и т.д.

y = tp + f(p); dy = p dt. Решаем уравнение в переменных t; p.

p dt + t dp + f0(p) = p dt

(p + f0(p)) dp = 0

Надо рассмотреть две возможности:

(a) dp = 0 , p = C const. y = Ct + f(C). Мы получили семейство прямых `(C), зависящих от параметра C. Подстановкой в исходное уравнение убеждаемся, что действительно решение.

(b) На решении t + f0(p) = 0.

t = f0(p); y = f0(p)p + f(p) (параметрическая запись решения.)

[ Тут будет рисунок ]

Обозначим эту кривую . Она выпукла вверх. Мы нашли семейство решений, и ещ¼ одно решение. Как они связаны друг с другом? Докажем, что совокупность этих `(C) совокупность касательных к нашей кривой .

Доказательство: Зада¼м t0 = f0(p0), получаем y0 = f0(p0)p0 + f(p0).

`(C); C = p0; y = p0t + f(p0); t0 = f(p0); y0 = f0(p0)p0 + f(p0); y00 = C = p0:

Действительно, это та же самая точка, касательная в этой точке совпадает с нашей кривой.

[ Тут будет рисунок ]

Общая картина такая. Есть выпуклая вверх кривая , и берутся всевозможнные каса-

тельные к этой кривой. Множество касательных в объединении с кривой есть решение нашей задачи.

45

Замечание: существенно было то, что мы предположили, что f00 > 0. Хорошая задача: исследовать случаи

[Тут будет рисунок ]

4.Мы рассмотрели одно уравнение, где есть только одна искомая функция. Рассмотрим

Глава 4. автономные системы дифференциальных уравнений

Теорема: Пусть '~(t) и ~(t) решения (1). Пусть '~(t1) = ~(t2). Тогда '~(t) = ~(t + t2 t1) для всех t, для которых обе части равенства определены.

46

Доказательство: !~(t) = ~(t+t2 t1). Тогда !~(t) решение (1), !~(t) = ~(t+t2 t1) = ~(t2) =

'~(t1).

в силу единственности решения задачи Коши.

[ Тут будет рисунок ]

Определение: Область G называется фазовым пространством системы дифференциальных

~

уравнений (1), графики (в G) решений фазовыми траекториями, векторы f(~y) фазовыми

скоростями. Фазовое пространство вместе с фазовыми траекториями и фазовыми скоростями, называется фазовым портретом системы дифференциальных уравнений (1).

[Тут будет рисунок ]

2.Положение равновесия автономной системы дифференциальных уравнений (1)

Определение: Точка A называется положением равновесия автономной системы дифференциальных уравнений (1), если ~y(t) ~a решение (1).

2. Классификация положений равновесия линейной автономной системы 2 порядка.

В качестве области определения рассматриваем всю плоскость ~y.

1.Рассмотрим систему

Далее 1; 2 собственные значения матрицы A.

1. 1; 2 вещественные, отличны от 0, разных знаков. Тогда сущестует вещественный базис

~ ~

h1; h2 из собственных векторов матрицы A.

1; 2 координаты в этом базисе. Наша система приводится к следующему виду:

d 1 = 1 1 dt

d 2 = 2 2 dt

1 = C1e 1t; xi2 = C2e 2t;

47

ãäå C1; C2 Const.

[ Тут будет рисунок ] Положение равновесия, соответствующее этому случаю, называется седлом.

~~

2.1; 1 отличны от нуля, различны, одного знака. Тогда существует h1:h2 базис из собственных векторов A, 1; 2 координаты.

Такое положение равновесия называется устойчивым узлом.

(b)1; 2 положительны, для определ¼нности 0 < 2 < 1.

Нет нужды рисовать заново картинку и проводить выкладки. В этом случае надо поменять t ! t, и получается предыдущий случай. Получится та же самая

картинка, движение будет осуществляться в противоположном направлении.

[Тут будет рисунок ]

3.1; 2 не вещественные, с вещественной частью, отличной от 0.

Поскольку мы хотим рисовать вещественным мелом на вещественной доске, делаем сле-

дующее: составляем вектор

~

h1 = ~g + i~g2;

базис, 1; 2 соответствующие координаты.

В координатах 1; 2 наша система привед¼тся к такому виду:

d 1 = 1 + 2 dt

d 2 = 1 + 2 dt

48

1(t) = C1et sin( t + C2)2(t) = C1et cos( t + C2);

C1; C2 const.

Выкладки предлагается проделать в качестве упражнения.

Далее для определ¼нности > 0. Если оно отрицательное, поменяем местами 1; 2.

(a) < 0

[ Тут будет рисунок ]

Устойчивый фокус.

(b) < 0

[ Тут будет рисунок ]

Неустойчивый фокус.

Весь случай целиком называется фокус.

4. 1; 2 невещественные, с нулевой вещественной частью.

1 = i2 i

Как и в пункте 3), строим базис ~g1;~g2, получаем

d 1 = 2 dt

d 2 = 2 dt

1 = C1 sin( t + C2)2 = C1 cos( t + C2)

Для определ¼нности > 0

С точки зрения выкладок это частный случай предыдущего пункта, поэтому выкладки не повторяются.

5.1 = 2 6= 0.

6.1 2 = 0.

Замечание: В книге Понтрягина детально разобраны все случаи.

2.Дополнительные замечания

1.Мы рисовали все картинки в том базисе, к кторму мы перешли. В исходном базисе ~y1; ~y2, с уч¼том того, что была сделана замена переменной t, картники будут выглядеть так:

[ Тут будет рисунок ] [ Тут будет рисунок ]

Рисуя вс¼ в исходной системе координат, надо тонко уч¼ть вс¼. что связано с переходом в другую систему координат.

49

2.Мы провели классификацию, основываясь на предположениях о собственных значениях матрицы. Вопрос что называется неустойчивым узлом? Ответ в духе эти штучки касаются и расходятся , является неверным, так как это всего лишь картинка. Основой классификации является предположение о собственных значениях.

Эта классификация называется классификацией Пуанкаре линейных однородных систем дифференциальных уравнений второго порядка.

3.Все эти случаи разбиваются на два класса: 1)-3) так называемые невырожденные положения равновесия, и 4)-6) так называемые вырожденные положения равновесия.

В ч¼м смысл этого разбиения? Казалось бы, в случае 4) было получено вс¼, и выкладки являлись частным случаем случая 3). Дело в том, что каджое из невырожденных положений равновесия выделяется какими-либо условиями типа неравенства. А в определении каждого из вырожденных положений равновесия фигугирует какое-нибудь условие типа равенства.

Это важно потому что если положение равновеися невырожденное, и мы достоаточно мало меняем исходные данные, то тип положения равновесия не меняется, потому что при достаточно малом изменении исходных параметров эти значения меняются мало (непрерывные функции), а все ограничения в виде неравенств. Значит, тип невырожденного положения равновесия не меняется при достаточно малом изменении исходных параметров.

С другой стороны, для вырожденного положения равновесия это не выполняется. Центр может остаться центром, а может превратиться в фокус.

3. О нелинейных автономных системах дифференциальных уравнений

1.Мы рассматриваем общую нелинейную систему

50