Diff

1.n = 1. (7) ) z0 + a1z = 0 ) z = e a1tC.

2.n > 1. L(D) = M(D)(D 1),

ãäå hs(t) произвольный многочлен формальной степени ks 2 ïðè ks > 1; hs(t) = 0 ïðè ks = 1.

4.Неоднородные уравнения. Пусть f(t) непрерывна на [ ; ],

Утверждение: Пусть y (t) решение (1), y(t) = y (t) + z(t). Тогда y(t) решение (1) тогда и только тогда, когда z(t) решение (9).

Доказательство: L(D)y = L(D)(y + z) = L(D)y + L(D)z = f + L(D)z

L(D)y = f , L(D)z = 0

Утверждение: Пусть f = f1 + : : : + fN , L(D)yk = fk ïðè k = 1; N; y = y1 + : : : + yN . Тогда

L(D)y = f.

Теорема: Пусть f(t) = g(t)e t, где комплексное число, g(t) комплексный многочлен степени m. Пусть корень кратности k характеристического уравнения

n + a1 n 1 + : : : + an = 0:

Тогда существует единственное решение уравнения (1), имеющее вид

y(t) = tk r(t)e t;

11

где r(t) многочлен степени m.

Доказательство: (индукция по n суммарной кратности корней). Докажем существование решения y~(t) вида

Надо отдельно рассмотреть случаи = a1, 6= a1. В обоих случаях, интегрируя, получаем, что утверждение выполняется.

2. n > 1.

Из нашего предположения, y(t) ищем в виде y(t) = e t r~(t), поэтому из второго равенства дифференцированием получаем:

Таким образом,

v~ = e th(t)

y = e tr~(t) ; где h(t) и r~(t) многочлены.

Возможны 2 случая:

(a)1 6= . Подч¼ркнутое слагаемое в (c) не обращается в 0. Рассматривая уравнение (a) степени n 1, по предположению индукции получаем, что h(t) имеет степень m + k. Из (c) видно, что она также равна степени многочлена r~(t).

(b)1 = . В этом случае подч¼ркнутое слагаемое в (c) обращается в 0. По предположению индукции, многочлен h(t) имеет степень m + k 1, а степень многочлена r~(t) равна m + k, как видно из (c).

Для завершения доказательства представим y~(t) в виде

y~(t) = tkr(t)e t + ( 0 + 1t + : : : + k 1tk 1)e t :

Напомним, что корень характеристического уравнения кратности k, deg r(t) = m.

Замечание: Коэффициенты многочлена r(t) ищут методом неопределенных коэффициентов.

12

5.Случай, когда все величины вещественны.

Пусть в (1) a1; : : : ; an вещественны, f(t) вещественная. Для корней характеристического уравнения n + a1 n 1 + : : : an = 0 возможны два случая: вещественный корень, либо =

+i , = i оба являются корнями характеристического уравнения. ; вещественные, прич¼м кратность этих корней одна и та же.

e i = e (cos i sin )

Решение однородного уравнения складывается из слагаемых вида q(t)et, q(t) многочлен. Если 2 R, то слагаемое можно переписать без изменений. Если комплексное, то

q(t)et + q~(t)et = A(t) cos t + B(t) sin t et

При этом max deg A(t); deg B(t) равна кратности корня в характеристическом уравнении, а формальная степень A(t) равна формальной степени B(t).

Для неоднородного уравнения справедлива аналогичная сформулированной в пункте 4 теорема:

Теорема: Если

f(t) = et M(t) cos t + N(t) sin t ;

M(t), N(t) многочлены, = +i , корень кратности k характеристического уравнения, то решение y(t) надо искать в виде

y(t) = tk et u(t) cos t + v(t) sin t ;

ãäå max(deg u; deg v) = max(deg M; deg N).

Если SA(t); B(t); M(t); N(t); u(t); v(t) вещественные, то y(t) тоже вещественная.

7. Первая краевая задача. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка. Задачи с сингулярно входящим малым параметром.

1.

Первая краевая задача для уравнения (1): Заданы числа y , y . Найти y(t) то решение

(1), которое удовлетворяет условиям

13

2.Все величины вещественные.

Определение: Если выполняются указанные выше условия ( " мало), то параметр " называется сингулярным, èëè сингулярно входящим.

Теорема: Пусть " > 0, a > 0. Тогда решение y(t) задачи (5) ^ (6) может быть представлено в

обозначим u(t)

14

Дополнение к теореме:

Рассуждение прокатывает, если a" > 0, начальное условие на левом конце. Кроме того, если a" < 0 и начальное условие на правом конце, совершая замену t ! t, теорема верна.

[ Тут будет рисунок ]

Åñëè a" < 0, начальное условие на левом конце, или a" > 0 и начальное условие на правом конце, то решение на соответствующем конце быстро раст¼т, и это не тот случай, который

мы изучаем.

Пример: "y0 y = 0, " > 0, y0( ) = 1. Решение: y = e(t )=".

[Тут будет рисунок ]

3.В этом пункте все величины вещественные.

Теорема: Пусть " > 0, a > 0. Тогда для достаточно малого " решение y(t) задачи (9) ^(10 ) ^ (10 ) существует и единственно. Оно может быть при " ! 0 представлено в виде

y(t) = y^(t) + y y^( ) e a=" (t ) + u(t);

где y^(t) решение (11) ^ (10 ), а u(t) = O("). O( ) означает оценку, равномерную на [ ; ].

Доказательство: Обозначим

Стандартный метод решения задач: находим частное решение, затем общее решение. Пусть W (t) то решение (12), для которого выполнены условия

15

Запишем (12) в следующем виде:

Так как W ( ) = 0, то используя формулу для решения уравнения (15) в виде (7), получаем

W = O(").

Подбер¼м общее решение, удовлетворяющее начальным условиям: W (t) = W (t) + z(t).

Тем самым, система (18) имеет, и при том единственное, решение. Если уравнение (17) имеет

единственное решение, то исходная краевая задача (9) ^ (10 ) ^ (10 ) для достаточно малых " имеет единственное решение.

C1 = O("); C2 = y y^( ) + O(")

В качестве упражнения читателю предоставляется следующее:

завершено.

Замечание: Фактически рассмотрен случай "a > 0. Если "a < 0, то надо сделать замену

t 7! t. На рисунке изображено решение (11) ^ (10 ) y^(t) и y(t). [ Тут будет рисунок ]

8. О системах обыкновенных дифференциальных уравнений.

16

1.Матричные функции Q(t) скалярной переменной t.

t вещественная,

Замечание: Порядок сомножителей для матриц важен!

Теорема:

Обозначение:

17

<

:fm(t; y1; y10 ; : : : ; y1(k1); : : : ; ym; ym0 ; : : : ; ym(km)) = 0

t независимая переменная (вещественная); y1; : : : ; ym искомые функции от t. f1; : : : ; fm заданные функции, y1; : : : ; ym, f1; : : : ; fm вещественные или комплексные.

Такую систему можно свести к системе, в которую входит только первая производная. Стандартный способ такого сведения:

Определение: Функция ~y = '~(t) решение (1), если:

1.'~(t) определена на некотором промежутке ( ; ), ( ; ], [ ; ), или [ ; ].

2.~0

'(t) непрерывна на ( ; ), ( ; ], [ ; ), или [ ; ] соответственно.

Система (2) называется нормальной формой системы обыкновенных дифференциальных уравнений, где каждое уравнение разрешено относительно производной.

Задача Коши для (2):

Заданы t0, ~y0. Найти ~y(t) решение (2), удовлетворяющее условию ~y(t0) = ~y0.

9. Системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

18

1.

Для определ¼нности t меняется на отрезке 6 t 6 . (t вещественная). y1; : : : ; yn искомые функции от t; f1; : : : ; fn заданные функции; a11; : : : ; ann

ars; yr; fr комплексные. f1(t); : : : ; fn(t) непрерывны на

пример матрицы, у которой не существует базиса из собственных векторов.

Теорема: Пусть A линейное преобразование в комплексном линейном пространстве. Тогда существует базис, в котором матрица A верхняя треугольная.

2. Общий метод решения нормальных систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

A = SBS 1, где S матрица перехода к новому базису, B верхняя треугольная матрица,

b11 : : : b1n

19

>

>

>

>

:

Порядок решения: снизу вверх

Следствия:

1.Система (1) решается в квадратурах (можно написать явное решение, содержащее за-

данные функции, элементарные функции, алгебраические операции и операцию интегрирования)

2.Теорема: Задача (1) ^ (2) имеет решение. Это решение может быть продолжено на весь отрезок [ ; ], и это решение единственно.

Доказательство:

Лекция 25.10.2011 пропущена!

Лекция 01.11.2011 пропущена!

Лекция 08.11.2011 пропущена!

20