algebcodes (1)

= {0, 1, x, x + 1, x2, x2 + 1, x2 + x, x2 + x + 1} = GF (23).

Но в первом случае

x2 + 1 = x−1, x2 + x + 1 = (x2)−1, x2 + x = (x + 1)−1,

а во втором

x2 + x = x−1, x2 = (x + 1)−1, x2 + x + 1 = (x2 + 1)−1.

Таким образом, роль различных неприводимых многочленов, по модулям которых строится поле, состоит именно в том,

что они по-разному "организуют" соотношения между элементами в мультипликативной группе: они по-разному создают па-

ры взаимнообратных элементов. Само же "содержимое" поля зависит только от степени многочлена-модуля, так как она опре-

деляет максимальную степень остатка от деления. Легко проверить, что кроме рассмотренных неприводимых многочленов,

других неприводимых многочленов над GF(2) второй и третьей степени нет.

3.2. Поле разложения многочлена xpm − x

Изложенная выше процедура называется расширением поля GF (p). Если неприводимый многочлен p(x) имеет степень m, то вместо F [x]/(p(x)) пишут GF (pm), а вместо F [x]/(p(x)) пишут GF (pm). Поле GF (pm) называется расширением степени m поля GF (p). Группа GF (pm) называется мультипликативной группой поля GF (pm), и ее порядок равен pm − 1. Так как по-

82 Глава 3. Конечные поля

Говорят, что GF (pm) есть поле разложения двучлена в левой части уравнения (3.2.3).

Подчеркнем, что, каков бы ни был неприводимый много-

член p(x), по модулю которого построено поле GF (pm), все элементы поля являются корнями одного и того же уравнения

корнями которого являются корни из единицы.

3.3. Цикличность мультипликативной группа поля

Определение 3.3.1. Характеристикой поля называется такое наименьшее целое число n, что

1 + 1 + . . . + 1 = 0. (3.3.5)

| {z } n слагаемых

Если это число есть нуль, то поле называют полем характеристики нуль. В противном случае имеют дело с полем конечной

характеристики. Нетрудно показать, что если характеристика не равна нулю, то она есть простое число p, так как в поле нет

делителей нуля.

Покажем, что уравнение (3.2.3) не имеет кратных корней. Действительно, производная от его левой части равна 1

pmxpm−1 − 1 = −1,

так как pm ≡ 0(modp). Она не обращается в нуль, и потому не имеет общих корней с многочленом в (3.2.3).

Для дальнейшего рассмотрим П р и м е р 3. 3.

Пусть поле GF (23) построено по модулю многочлена p(x) = x3 + x + 1. Возведем элемент x GF (23) в последовательные

1Дабы избежать недоразумения, следует принять во внимание, что (3.3.5) относится только к элементам поля и не относится к показателям степеней при них.

степени, помня, что каждую степень xi следует разделить на p(x) и взять остаток от деления:

x7 = x + x3 = x + 1 + x = 1.

На случай, когда модуль есть p(x) = x3 + x2 + 1, получим:

Обе группы (3.3.6) и (3.3.7) оказались циклическими, и в каждой из них элемент x является порождающим.

В общем случае справедлива

Теорема 3.3.2. Группа GF (pm) циклична.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть n = pm − 1 = pα1 1 pα2 2 ...pαkk Рассмотрим уравнение xn/pi = 1, i = 1, 2, ..., k. Оно имеет

не более, чем n/pi решений.

Значит, имеется не более, чем n/pi < n таких элементов b,

что

bn/pi = 1.

Это значит, что в группе GF (pm) порядка n = pm − 1 для

84 Глава 3. Конечные поля

Действительно,

Это означает, что порядок элемента ci, будучи в силу (3.3.9) делителем числа pαi i , в то же время не равен ни одному из собственных его делителей (ибо все собственные делители числа

имеет порядок, равный наименьшему общему кратному порядков сомножителей, т.е.

pα1 1 pα2 2 ...pαkk = n, так как они взаимно просты.

Таким образом, элемент (3.3.10) имеет порядок, равный порядку группы, а потому является образующим (первообраз-

ным) элементом, и группа GF (pm) циклическая. Этим завершается доказательство.

3.4.Задание поля посредством корня неприводимого многочлена

Дадим другой способ задания поля Галуа. Обозначим через α тот класс вычетов в кольце F [x]/(p(x)), который содержит x. То-

гда, так как p(x) — это многочлен, по модулю которого построено поле GF (pm), то p(α) = 0. Таким образом, α оказывается корнем уравнения p(x) = 0 в поле GF (pm). Благодаря этому GF (pm) состоит из многочленов от α степени, не превосходящей m над GF (p). Говорится, что поле GF (pm) образовано из поля GF (p) присоединением к нему корня α многочлена p(x).

Читатель может вспомнить свои школьные годы и провести параллель между двумя событиями. Первое — это введение в обиход по необходимости "мнимой единицы" а второе – это и фактическое "назначение" элемента α корнем многочлена p(x). В множестве действительных чисел не нашлось кор-

ня мнгочлена x2 + 1. Тогда учитель почти волевым порядком

√

объявил решением уравнения x2 = −1 число i = −1. Так возникло поле комплексных чисел, как результат присоединения

элемента i к полю действительных чисел. Поле комплексных чисел есть расширение поля действительных чисел. В нашем случае многочлен p(x) неприводим, а значит, не имеет корней в поле GF (p). "Назначив" его корнем элемент α, мы снова получили расширение исходного поля GF (p).

П р и м е р 3. 4.

Пусть p = 2, m = 4. Построим GF (24) по модулю многочлена p(x) = x4 + x + 1, при условии p(α) = 0, или, что то же

α4 = α + 1. Напомним, что в поле характеристики 2 выполняется равенство −y = y.

Если p(x) = x4 + x3 + 1 и p(β) = 0, а значит, β4 = β3 + 1, то

(Замена α на β непринципиальна и предпринята, чтобы избежать путаницы.)

В правой части каждой строки двоичный вектор длины m = 4 изображает набор коэффициентов при степенях α, соответственно, β. Бросается в глаза, что способ изображения элементов поля в (3.4.11) и (3.4.12) отличается от способа изображения в (3.3.6) и (3.3.7) только тем, что буква x заменена буквой α. Такая замена при обращении с полями Галуа позволит нам оперировать в терминах корней многочленов, что оказывается намного удобней. Разумеется, кроме таблиц (3.4.11) и (3.4.12), оба поля содержат ещё и нуленой элемент.Пример 3.4.

демонстрирует связь между аддитивной и мультипликативной группами поля.

В самом деле, П р и м е р 3. 5.

Пусть, имея дело с полем (3.4.11), надо перемножить два элемента поля, заданных векторами (1110), (0011), и получить результат также в векторной форме. Сначала устанавливается, что в мультипликативной группе два этих вектора представляют собой элементы соответственно α10, α6.

Отсюда α10 · α6 = α16 = α. В векторной форме α = (0100);

таким образом, (1110)(0011) = (0100).

Обратно, П р и м е р 3. 6.

Пусть, имея дело с полем (3.4.12), надо сложить два эле-

мента поля β3 и β8 и получить результат в терминах степеней первообразного элемента поля. Сначала устанавливается, что в аддитивной группе поля два этих элемента представляют собой соответственно (0001), (0111). Отсюда (0001) + (0111) = (0110).

В виде степени первообразного элемента (0110) = β13. Таким образом, β3 + β8 = β13.

Примеры 3.5 и 3.6 демонстрируют связь между таблицами сложения и умножения. Однако в поле возможно еще и деление, т.е. нахождение обратного элемента.

П р и м е р 3. 7.

Пусть, имея дело с полем (3.4.11), надо найти элемент, обратный к (0011), т.е. надо найти (0011)−1. Последовательно имеем: (0011) = α6, (α6)−1 = α9 = (0101). Иначе говоря, (0011)−1 = (0101).

Для полноты приведем поле GF (25), построенное по моду-

Заметим, что в некоторых руководствах принят обратный

порядок следования компонент векторов, который, таким образом, является делом соглашения.

Специально обратим внимание на то, что, кроме двух рассмотренных выше многочленов 4-й степени, имеется, как будет показано в следующем разделе, еще один многочлен 4-й степе-

ни: x4 + x3 + x2 + x + 1. Положив ξ корнем этого многочлена, получим, как и в случае двух других многочленов 4-й степени,

ξ4 + ξ3 + ξ2 + ξ + 1 = 0,

Станем, как и выше, возводить ξ в последовательные степени:

Таким образом, корень ξ порождает не всю мультипликативную группу поля GF (24), а только ее подгруппу 5-го порядка. Таким же свойством, как читатель увидит в этой главе, обла-

дают и все остальные корни многочлена x4 + x3 + x2 + x + 1. Ниже порождающие свойства корней неприводимых многочленов обсуждаются в общем виде.

Покажем, что элемент ξ + 1 порождает все поле GF (24).

Действительно, выполняя все вычисления по правилу ξ4 = ξ3 + ξ2 + ξ + 1, получим:

Поле (3.4.15) построено по модулю неприводимого много-

члена x4 + x3 + x2 + x + 1, но в последовательные степени возводился не его корень ξ, а ξ + 1.

Добавление единицы к ξ ничем не мотивировано и на первый взгляд кажется случайным. Рассмотрим, однако, получившийся результат внимательней. Выясним, что собой представляет элемент ξ + 1, и можно ли вместо него воспользовать-

ся другими элементами поля GF (24)? Обратившись к таблице (3.4.11), получим, что корнем многочлена x4 + x3 + x2 + x + 1 является элемент α3. Действительно, α12 + α9 + α6 + α3 + 1 = 0. Значит, ξ = α3. Становится ясным, почему в (3.4.14) всего пять

строчек: элемент α3 в мультипликативной группе GF (24) имеет порядок пять. В то же время элемент ξ + 1 = α3 + 1 = α14 в этой группе является элементом порядка 15, т.е. порождающим. Естественно поэтому искать теперь те элементы ξ + x, которые также являются порождающими. Для этого следует построить все 16 сумм x = a0 + a1ξ + a2ξ2 + a3ξ3, ai GF (2), и проверить, какие из них обращают сумму ξ+x в порождающий

элемент группы GF (24). Проверим сначала простейшее значение x = ξ2. Имеем ξ + ξ2 = α3 + α6 = α2. Это порождающий элемент. Таким же образом ξ + ξ3 = α3 + α9 = α, и это снова порождающий элемент. А вот ξ + ξ4 = α3 + α12 = α10, и это элемент третьего порядка: α30 = 1. Читатель без труда прове-

рит, что вместе с x = 1, ξ2, ξ3, которые уже дали порождающие элементы α14, α2, α, значения x = ξ2 + 1, ξ2 + ξ + 1, ξ3 + 1, ξ3 +

ξ + 1, ξ3 + ξ2 доставляют соответственно следующие порождающие элементы: α8, α13, α4, α7, α11. Отметим, что получены все φ(15) = 8 порождающих элементов. Потому первоначально и

взят порождающий элемент ξ + 1 = α14, что в (3.4.15) в последовательные степени достаточно возводить выражения, содер-

жащие только первую степень ξ. Во всех остальных случаях

при построении поля приходится иметь дело с более высокими степенями.

В самом общем случае, когда корень ξ некоторого многочлена, по модулю которого строится поле GF (pm), не является порождающим элементом мультипликативной группы поля, процесс вычислений совершенно аналогичен только-что рас-

смотренному. Действительно, рассмотрим уравнение ξ+x = αi, где αi вместе с α есть порождающий элемент группы GF (pm).

(Вспомним, что (i, pm) = 1 и таких i в точности φ(pm −1)). Оно всегда имеет решение и при том единственное, так как поле все-

гда аддитивная группа. Последнее утверждение справедливо

вообще для любого элемента αi поля, а не только для порождающего. Но нас в данном случае интересуют только порожда-

ющие элементы. Как и в рассмотренном частном случае, испытываются все pm значений x = a0 + a1ξ + a2ξ2 + am−1ξm−1, ai

GF (p),

В качестве примера построим мультипликативную группу GF (24), возводя в последовательные степени сумму ξ2 + ξ. Забегая вперёд предупредим читателя, что максимальная степень

элемента ξ, которая встретится при вычислениях, будет ξ5, но она, как известно равна единице. Все остальные вычисления

выполняются по модулю многочлена x4 +x3 +x2 +x+1, т.е. при

условии ξ4 = ξ3 + ξ2 + ξ + 1. Например, в процессе построения мультипликативной группы, как увидит читатель, если он за-

хочет вникнуть в подробности, получится (ξ +ξ2)5 = 1+ξ2 +ξ3.

Тогда (ξ + ξ2)6 = (1 + ξ2 + ξ3)(ξ + ξ2) = ξ + ξ2 + ξ3 + ξ5 = 1 + ξ + ξ2 + ξ3.

Итак, GF (24) с порождающим элементом (ξ + ξ2) :

Легко сообразить, что во всех остальных случаях порождающих элементов группы GF (24) максимальная степень элемента ξ, которая встретится при последовательном вычислении

степеней, будет 6. Но ξ6 = ξ.

В заключение этого раздела вернёмся к построению поля (3.4.15). Основной заботой там было построение мультипликативной группы поля в виде расположения её элементов по воз-