algebcodes_1

2.9.Смежные классы.

Разложение группы по подгруппе

Пусть H = {h1, h2, . . . , hi, . . .} подгруппа группы G, и a G.

Определение 2.9.1. Множество aH = {ah1, ah2, . . . , ahi, . . .}

называется левосторонним (левым) смежным классом группы G, по подгруппе H. Множество Ha называется правосторонним, (правым) смежным классом группы G, по подгруппе

H.

Рассмотрим последовательность смежных классов:

a0H, a1H, a2H, . . . , ajH, . . .

где

a0 H, ai / H, i = 1, 2, . . .

Утверждение 2.9.2. Всякий смежный класс определяется любым своим элементом.

Действительно, пусть

Возьмём произвольный элемент ahj aH. Тогда

Так как hjhi H, и так как по определению группы разрешимо уравнение hjx = hk, т.е. для любого hk H найдётся такое

hi H, что hk = h−j 1hi, то правые части в (2.9.3) и (2.9.4)

совпадают с точностью до порядка следования (перестановки) элементов. Отсюда следует

Утверждение 2.9.3. Смежные классы либо не пересекаются, либо совпадают. Это значит, что при заданной подгруппе

H G каждый элемент a G принадлежит в точности одному смежному классу.

Вся группа G распадается на непересекающиеся смежные классы по подгруппе H.

G = a0H a1H a2H . . . ajH . . . ,

Утверждение 2.9.4. Все смежные классы равномощны,

так как соответствием ahi bhi, имеющим место для каждого i, устанавливается взаимно однозначное отображение aH в bH.

Термин "равномощны" применяется в том смысле, что смежные классы имеют одинаковый порядок, если они конечны, или имеют одинаковую мощность, если они бесконечны. Например,

бесконечная группа целых чисел имеет подгруппу чисел, кратных числа m, а конечное множество классов вычетов по мо-

дулю m есть разложение группы целых чисел по упомянутой подгруппе. Каждый класс вычетов есть смежный класс, и он

бесконечен. Все эти смежные классы имеют одинаковую мощность: они счетны.

Утверждение 2.9.5. Два элемента a и b принадлежат одному и тому же смежному классу тогда и только тогда, когда a−1b H.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть a−1b H, тогда это значит,

что

a(a−1b) = b aH,

т.е. b принадлежит смежному классу aH, определяемому элементом a.

Обратно, пусть hi H. Положим b = ahi, т.е. b принадлежит смежному классу aH, определяемому элементом a. (Это и означает, что a и b принадлежат одному и тому же смежному классу.) Тогда

a−1b = a−1ahi = hi H,

т.е. a−1b H.

Утверждение 2.9.6. За исключением самой подгруппы H смежные классы по ней не являются группами.

Действительно, если a G, но a / H, то и a−1 / H. Поэтому и

1 / aH.

Утверждение 2.9.7. Для произвольной подгруппы H элементы, обратные к элементам левого смежного класса, образуют правый смежный класс.

Действительно, пусть

a G, b H, т.е. b−1 H, и ab aH.

Определение 2.9.8. Число различных смежных классов в разложении группы G по подгруппе H называется индексом подгруппы H в группе G. Он может быть конечным и бесконечным. Если число смежных классов конечно, то H называется подгруппой конечного индекса.

Обозначив порядок (конечной!) группы G символом n, поря-

док и индекс подгруппы H соответственно j и i, получим, что справедлива

Теорема 2.9.9 (Лагранж).

n = ji.

Отсюда следует

Утверждение 2.9.10. — порядок подгруппы конечной группы есть делитель порядка группы.

—так как порядок элемента совпадает с порядком порождаемой им циклической подгруппы, то порядок элемента конечной группы есть делитель порядка группы.

—группа, порядок которой есть простое число, является циклической группой, так как порядок любого её элемента не

может быть собственным делителем её (простого) порядка, и, значит, совпадает с порядком группы.

Заметим попутно, что если циклическая группа G порождается элементом a, и её подгруппа H порождается элементом

al, то число l в формулировке теоремы 2.8.1 есть индекс подгруппы H в группе G.

Вспоминая, что вычеты приведенной системы вычетов по модулю m образуют мультипликативную группу, и что пока-

затель, которому принадлежит вычет приведенной системы по модулю m, на языке теории групп называется порядком эле-

мента, видим, что утверждение 1.11.4 есть простое следствие теоремы Лагранжа.

Утверждение 2.9.11. Порядок любого элемента конечной абелевой группы есть делитель показателя группы.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть ε− показатель группы, и aε = 1. Пусть ν− порядок элемента b, т.е. bν = 1. Тогда порядок l элемента ab есть l = m(ε, ν) ≥ ε. Но ab есть элемент группы, и его порядок l не может быть больше показателя группы по определению последнего. Отсюда порядок l ≤ ε. Значит, порядок l = ε. Поэтому и m(ε, ν) = ε, и ν делит ε, что и требовалось.

2.10. Нормальные делители

Определение 2.10.1. Подгруппа H называется нормальным делителем или инвариантной подгруппой, когда все левые смежные классы являются одновременно и правыми смежными классами, т.е., когда

для всех a.

Важно подчеркнуть, что (2.10.5) вовсе не означает, что для всякого h H ah = ha. Если для коммутативной группы это действительно так, то в некоммутативном случае это означает лишь, что для каждого h1 H найдется такое h2 H, что ah1 = h2a. Если групповая операция не коммутативна, то соотношение (2.10.5) означает "перестановочность".

В абелевой группе любая подгруппа — нормальный делитель.

Утверждение 2.10.2. Если H нормальный делитель, то произведение смежных классов есть снова смежный класс.

Действительно, так как операция ассоциативна, то

aHbH = a(Hb)H = a(bH)H = abHH = abH,

что и требовалось.

Утверждение 2.10.3. Если произведение любых двух смежных классов в разложении группы G по подгруппе H есть сно-

ва смежный класс, то подгруппа H есть нормальный делитель.

HbH = a−1cH, и H(bH) есть левый смежный класс, который содержит смежный класс bH, а значит, совпадает с ним, т.е. HbH = bH. Но (Hb)H содержит также и правый смежный класс Hb, и потому совпадает с ним.

Значит, bH = Hb, и H есть нормальный делитель.

Утверждение 2.10.4. Если H есть нормальный делитель, то каждому смежному классу в разложении группы G по подгруппе H есть "обратный" , т.е. такой xH (или Hx), что aHxH = xHaH = H.

Действительно, если ax = 1, т.е. x = a−1, то aHxH = axHH = axH = H.

Или, что то же, если xa = 1, т.е. x = a−1, то

HaHx = HHax = Hax = H.

Объединяя утверждения 2.10.2, 2.10.3 и 2.10.4, получим:

Утверждение 2.10.5. Множество смежных классов по нормальному делителю H есть группа. Ее порядок равен индексу подгруппы H в группе G. Эта группа обозначается символом G/H и называется фактор-группой группы G по нормальному делителю H.

2.11. Изоморфизм групп

Определение 2.11.1. Изоморфизм двух групп G и G есть такое взаимно однозначное соответствие a a, a G, a

G, при котором из того, что b b, c c, и bc = d, bc = d, следует d d.

Примеры изоморфизма групп:

1.Циклическая мультипликативная группа 1, a±1, a±2, . . .

изоморфна аддитивной группе всех целых чисел.

2.Все циклические группы 1, a, a2, . . . , an одного порядка изоморфны друг другу.

3. Аддитивная группа всех действительных чисел изоморфна мультипликативной группе всех (отличных от нуля) положительных вещественных чисел. Изоморфизм устанавливается соответствием log a a. Имеем:

0 < a R, 0 < b R.

С одной стороны,

log(ab) = ab R.

С другой —

log(ab) = log a + log b = a + b.

Отсюда

ab a + b.

Обозначение изоморфизма:

G G.

=

Теорема 2.11.2 (Кэли). Всякая конечная группа порядка n

изоморфна некоторой подгруппе симметрической группы степени n.

Действительно, пусть группа G имеет порядок n, и пусть элементы этой группы записаны в определенном порядке:

a1, a2, . . . , an.

Если b есть произвольный элемент группы G, то все произведения aib = aβi (i = 1, 2, . . . , n.) различны между собой, т.е. система aβ1 , aβ2 , . . . aβn , есть перестановка (сдвиг) элементов группы G. Это ставит в соответствие элементу b группы G

Значит, и каждому элементу группы G ставится в соответствие

вполне определенная подстановка n-й степени.Двум различным элементам соответствуют различные подстановки, так как

в противном случае из a1b = a1b′ следовало бы b = b′ . Найдем подстановку, отвечающую элементу bc, c G. Если элементу c отвечает подстановка

( )

β1, β2, . . . , βn , γ1, γ2, . . . , γn

Из теоремы 2.11.2 и из очевидного утверждения, что конечная группа может обладать лишь конечным числом подгрупп,

следует, что существует лишь конечное число неизоморфных конечных групп данного порядка n.

Следовательно, множество всех неизоморфных конечных

групп, являясь суммой счетного множества конечных множеств, само счетно.

Если G и G совпадают, то это есть взаимно однозначное сопоставление элементам a элементов a той же группы, сохраняющее групповую операцию. Такое сопоставление называется

автоморфизмом.

2.12. Гомоморфизм групп

Определение 2.12.1. Пусть в двух множествах M и M определены некоторые соотношения между элементами, и пусть каждому элементу a M поставлен в соответствие один

итолько один элемент a M таким образом, что

1)Каждому элементу a M отвечает по крайней мере один элемент a M,

2)Все соотношения между элементами множества M выполняются и для соответствующих элементов множества

M.

Такое соответствие называется гомоморфизмом. Говорят также, что множество M гомоморфно отображается на

множество M.

Элемент a есть гомоморфный образ элемента a, и элемент a есть прообраз элемента a. Гомоморфным будет соответствие

между множеством M = Z целых чисел и множеством M классов вычетов по модулю m, если каждому числу поставить в соответствие класс вычетов, которому оно принадлежит.

Теорема 2.12.2. Гомоморфный образ G группы G есть группа.

Иначе говоря, если в множестве

G

определены произведения

ab = c,

и группа

G

гомоморфно отображается на

G,

то

G

также есть группа.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Если по гомоморфизму

a a, b b, c c,

то

1)

((ab)c = a(bc)) ((ab)c = a(bc)),

т.е. в

G,

выполняется ассоциативность операции.

2) Замкнутость относительно операции следует из гомоморфизма.

3) Из того, что для всех a G выполняется a·1 = a, следует,

что для всех a G выполняется a · 1 = a. Иначе говоря, из существования единицы в

G

следует существование единицы в

G.

4)

(ba = 1) (ba = 1)

Иначе говоря, из существования обратного элемента b = a−1 в

G следует существование обратного элемента b = a−1 в G.

Согласно утверждениям 2.10.2, 2.10.3 и 2.10.4 множество смежных классов группы по подгруппе замкнуто относитель-

но групповой операции, и в нем выполняется обратная операция тогда и только тогда, когда подгруппа есть нормальный делитель. Это же утверждение получается из теоремы 2.12.2 о гомоморфизме, как её частный случай:

Множество смежных классов группы по подгруппе само будет группой тогда и только тогда, когда подгруппа есть

нормальный делитель. Гомоморфизм устанавливается тем, что каждому элементу группы ставится в соответствие тот смеж-

ный класс, которому этот элемент принадлежит.

Вспомним, что в утверждении 2.10.5 группа смежных классов по нормальному делителю была названа фактор-группой.

Элементы группы, которые отображаются в единицу факторгруппы, называются ядром гомоморфизма. Все гомоморфизмы группы исчерпываются её фактор-группами, и, таким образом, ядрами гомоморфизмов являются нормальные делители. Любая группа, гомоморфная данной, изоморфна некоторой её фактор-группе.

2.13. Несколько замечаний

а) В абелевой группе каждая подгруппа — нормальный делитель.

б) Если групповая операция есть сложение, то группы и их подгруппы принято называть модулями.

в) Пусть G модуль и M его подмодуль. Смежные классы a+M, называются классами вычетов по модулю M, а фактор-группа

G = G/M называется фактор-модулем модуля G по подмодулю

M.

г) Два элемента a, b лежат в одном смежном классе или классе вычетов, если их разность лежит в M. Такие два элемента называются сравнимыми по модулю M.

Это записывается следующим образом:

Рассмотрим модуль классов вычетов, т.е. совокупность a1 +

+M, a2 +M, . . . , ai +M, . . . Пусть a и b принадлежат этому модулю и по гомоморфизму соответствуют элементам a, b. Тогда из (2.13.6) следует

Наоборот, из (2.13.7) следует (2.13.6).

Из (2.13.6) и (2.13.7) получается, что при гомоморфизме сравнения переходят в равенства.

Сказанное выше – это чисто абстрактное теоретико-групповое рассуждение, безотносительно к какой бы то ни было конкретной интерпретации.

Выразительной и знакомой нам интерпретацией является множество Z целых чисел. Это аддитивная абелева группа, т.е. модуль. Множество всех чисел, кратных числа m, есть ее подмодуль. Обозначим его M. В главе 1 введена запись

a ≡ b(modm),

если m|(a−b). Знакомое нам множество классов вычетов по модулю m является модулем, точнее фактор-модулем модуля Z всех целых чисел по подмодулю M. Классы вычетов по модулю m, т.е.элементы фактор-модуля, могут быть представлены чис-

лами 0, 1, . . . , m−1, и фактор-модуль есть циклическая группа порядка m.

2.14. Кольцо

Определение 2.14.1. Кольцом называется такая система элементов с определёнными в ней сложением a+b и умножением a · b, что:

1)По сложению она — абелева группа.

2)Умножение ассоциативно.