УМФ_2012

2011-2012

МФТИ-24

ξ = x2

2y , η = x

y ; u

= 0 =

u = f(ξ) + g(η) ; f(ξ) =

1

ξ2

g(0) , g(η) =

√

f(0) , f(0) =

g(0) .

1. 6

−

−

ξη

−

−

2η

−

−

4

3

Ответ: u(x, y) =

1

3

4

(x2 − 2y)2

− p2(x − y) . Область: 0 < x2 − 2y < 8

−4 < x − y < 0

x > 1 .

2. 5

ξ = x − 2t , η = x + 2t , u = −x

2

SIN t + v = v = f(ξ) + g(η) ;

v|t=0 = 4x2 + 2x , vt|t=0 = 8x − 4 , (v + vx)|x=0 = 20t2 + 4t + 2 ;

g(η) = 3η2 + K0 , η > 0 ; f ′(ξ) + f(ξ) = 2ξ2 + 4ξ + 2 − K0 , ξ < 0 ;

−

K1 E−ξ

+ 2ξ2 + 2 − K0 , ξ < 0 ,

−

f(ξ) =

ξ2 + 2ξ

− K0

,

ξ > 0

,

;

f

C

f(+0) = f(

0) =

K1 =

2 ;

ξ −→ +0 : f(ξ) = −K0 + 2ξ + ξ2 ; ξ −→ −0 : f(ξ) = −K0 + 2ξ + ξ2 + O(ξ3) = f C2 .

≥

≥

−

2 + 2(x − 2t)2

− 2 E−x+2t , 0 ≤ x ≤ 2t ,

Ответ: u(x, t) =

x2 SIN t + 3(x + 2t)2 +

2x

− 4t + (x − 2t)2

,

0 ≤ 2t

≤ x

,

причем u(x, t)

C2(x

0 , t

0) .

P

∞

P

∞

k

3. 7

u(x, t) =

Tk(t) SIN

2k+1 x ,

x =

ak SIN 2k+1 x , ak

=

16(−1)

;

k=0

k=0

2

π

k+1)

′′

E−t

4

′

4

(2

E−t

;

T◦ − T◦

= 144

, T◦(0) = 1 , T◦(0) = −72 = T◦ = CH t − 72 t

T1′′ + 7 T1 = −16 E−t

, T1(0) = 0 , T1′ (0) = 2

= T1 = 2 COS √

t − 2 E−t ;

7

k 6= 0, 1 : Tk′′ + [(2k + 1)2 − 2 ] Tk = 9 π ak E−t , Tk(0) = 0 , Tk′ (0) = 0 =

= Tk = γk

+1

h

− COS γkt +

γk

i

, γk =

4k

+ 4k − 1 ;

9

π a

E−t

sin

γ

t

√

2

2

k

k

3x

Ответ:

u(x, t) = [ CH t − 72 t E−t ] SIN x4 + 2

COS √7 t − E−t

COS

+

4

∞

9 π ak

h

−t

sin γk t

i SIN

2k+1

+ Pk=2 γk2+1

− COS γkt +

γk

4

x , γk = √4k

+ 4k − 1 .

E

4. 4

u = −r2 COS 4ϕ + v

= v = 0 , vr|r=1 = SIN 4ϕ ,

vr|r=2 = 8 SIN 4ϕ ;

Ответ:

u(r, ϕ) = −r2 COS 4ϕ + 41 r4 SIN 4ϕ + K0 .

5. 5

u = t

E−6t

SIN (x

− y + 2z) , u = u + v = vt − v = 0 ;

b

b

v|t=0 = x3y2z + 21 SIN (2x + 2y − 4z) − 21 SIN (2x − 4z) ;

v = (x3 + 6 t x) (y2 + 2 t) z + 21 E−24t SIN (2x + 2y − 4z) − 21

E−20t SIN (2x − 4z) ;

Ответ:

u(x, y, z, t) = t E−6tSIN (x − y + 2z) + (x3 + 6 t x) (y2 + 2 t) z + 21

E−24t SIN (2x + 2y − 4z) − 21 E−20t SIN (2x − 4z) .

6. 6

ϕ(x) = λC1x − 2λC2 +

αx

2

+ x

;

Характеристическое число λ0 = −

3

, собственная функция ϕ0 = x − 1 . Для λ = λ0

неодно-

π

родная система

C1 = 2 π Z

(3 − 2πλ)C1 + 6πλC2

= β1 ,

β1 =

2

+ 2π

,

y ϕ(y) dy ,

1

0

3πα

1

−3πλC1 + (6 + 8πλ)C2 = β2 ,

β2 =

5

+ 3π

,

C2 = 2

π Z0

y

2

ϕ(y) dy

12πα

10

разрешима в случае β1 = β2 =

α = −

.

9

λ = λ

: ϕ =

λπx − πλ

−

10

x2 + x ,