Лебедев, Колоколов. ИГМФ

Рис. 6: Мнимая часть для односолитонного решения.

также будет решением НУШ. Применяя это преобразование к (15.24), мы получим семейство односолитонных решений, зависящее от четырех параметров t0; x0; ; . Ïðè x0 = t0 = 0 это решение имеет вид

Зависимость мнимой части решения (15.26) от x при t = 0 приведено на рисунке 6.

В одномерном пространстве НУШ является точно интегрируемым . Это означает, что помимо стандартных (Н¼теровских) интегралов движения, НУШ ведет к дополнительному бесконечному набору интегралов движения. Первым представителем этого семейства является

Этот интеграл уже не связан с пространственновременными или фазовой симметриями уравнения, его сохранение является следствием интегрируемости НУШ.

Вычислить значения Нетеровских интегралов движения N, E, P в одном измерении для движущегося солитона:

Доказать, что

d d

dtIa = dtI 4aP :

Здесь Ia модифицированный функционал Таланова (15.20).

Показать, что в одном измерении функционал (15.27) является интегралом движения.

31

16.ОТДЕЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

A. -функция Дирака

Здесь мы рассматриваем основные свойства - функция Дирака (t). `Физическое' определение -

функции состоит в том, что она равна нулю для всех t 6= 0, равна бесконечности при t = 0, а интеграл от

R

нее равен единице:

но представить себе, как предел некоторой последовательности функций, которые стремятся к указанным свойствам. Например, -функцию можно записать в

виде предела

Действительно, при любом положительном интеграл

от функции в правой части (16.1) равен единице, при t 6= 0 правая часть (16.1) стремится к нулю, а при

t = 0 к бесконечности при стремлении к нулю. Поскольку значение (t) отлично от нуля только

при t = 0, то для любой непрерывной функции f(t) справедливо соотношение (t)f(t) = (t)f(0). Или, обобщая, (t s)f(t) = (t s)f(s). Отсюда следует важное свойство -функции:

Z

dt (t s)f(t) = f(s): (16.2)

Важным частным случаем соотношения (16.2) является

Z

dt (t) exp(i!t) = 1: (16.3)

Это соотношение можно рассматривать, как прямое преобразование Фурье от -функции. Тогда обратное

преобразование Фурье дает следующее интегральное представление для -функции

R

dt (t) = 1 при интегрировании по любому интервалу, который включает точку t = 0. Поэтому

(s) = 0 if s < 0; (s) = 1 if s > 0:

Функция (t) называется ступенчатой функцией или

функцией Хэвисайда. Таким образом, мы нашли первообразную -функции. Дифференцируя по s соотношение (16.5), мы находим 0(t) = (t). Можно вве-

сти не только первообразную, но и производную от-функции, 0(t). Правила обращения с этим объек-

том следуют из соотношения (16.2). А именно, интегрируя по частям, находим для произвольной гладкой

Подставляя в соотношение (16.6) f(t) = (t s)g(t) и

сравнив результат с соотношением (16.2), мы заклю- чаем, что t 0(t) = (t). Раскладывая теперь f(t) в

ряд Тейлора (до первого порядка) вблизи точки t = s и используя указанное соотношение, мы находим

f(t) 0(t s) = f(s) 0(t s) f0(s) (t s): (16.7)

Обратим внимание на то, что из соотношения (16.7) следует, что f(t) 0(t s) 6= f(s) 0(t s).

До сих пор мы неявно подразумевали, что функция f и ее производная являются непрерывными функци-

ями. Если же функция испытывает в некоторой точке скачок или излом, то надо быть аккуратным при обращении с ее производными (возникающими, в частности, при интегрировании по частям). Примером такой функции, рассмотренной выше, является разрывная функция Хэвисайда, производная которой сводится к-функции. Обобщая это наблюдение, мы заключаем,

что если функция f(t) испытывает скачок в точке s,

где функция g(t) ограничена вблизи точки t = s. Здесь f(s 0) и f(s+0) значения функции f(t) слева и справа от точки разрыва, то есть f(s + 0) f(s 0)

скачок функции на разрыве. Подобным же образом анализируется функция f(t), испытывающая в неко-

торой точке излом, который соответствует скачку первой производной. Тогда -функционный вклад возни-

кает во второй производной от функции f(t).

Доказать соотношения

Получить соотношения (16.3) и (16.4) предельным переходом ! 0 с использованием представления (16.1).

Выразить t 00(t) через 0(t).

Доказать соотношение

32

Доказать соотношение

где суммирование идет по всем точкам sn, â êî- торых функция f(t) обращается в ноль. Указа-

ние: воспользоваться формулой для дифференцирования сложной функции и основным свойством -функции (16.2).

B. Преобразование Фурье

Любую функцию f(x), заданную в d-мерном про-

странстве, и стремящуюся к нулю на бесконечности, можно разложить в интеграл Фурье:

ãäå f~(q) называется преобразованием Фурье функции f(x). Эту величину можно вычислить в соответствии с правилом

Z

f~(q) = dx1dx2 : : : dxd exp( iqx)f(x): (16.10)

Преобразования (16.9) и (16.10) являются обратными друг другу. Из выражения (16.10) следует, что преобразование Фурье действительной функции f(x) удо-

влетворяет соотношению f~( q) = f~?(q).

Найти Фурье-преобразование следующих функций: f(x) = exp( x2) в d-мерном пространстве; exp(jxj) в трехмерном пространстве; (x2+ a2) 1, где a константа, в одномерном пространстве.

Приведем важное соотношение, касающееся так называемой свертки двух функций

Z

h(y) = dx1dx2 : : : dxd f(x)g(y x): (16.11)

Подставляя выражение (16.11) в интеграл Фурье

стве соответствует простое произведение в Фурье-

(x1) (x2) : : : (xd), преобразованием Фурье явля-

ется единица, ~ = 1. Это свойство является прямым

обобщением соотношений (16.3,16.4). Отметим также обобщение на d-мерный случай соотношения (16.2)

Z

f(y) = dx1dx2 : : : dxd (y x)f(x): (16.13)

Используя теперь соотношения (16.11,16.12), мы воз-

вращаемся к ~ = 1. Это объясняет эффективность

вычисления Гриновских функций переходом к Фурьепредставлению.

При учете зависимости функции f от времени t в

преобразование Фурье можно включить также и время. Мы будем делать это следующим образом

где d размерность пространства, dx = dx1dx2 : : : dxd, dq = dq1dq2 : : : dqd. Обратим внимание на то, что время t входит в преобразования (16.14,16.15) с обрат-

ным по сравнению с пространственными координатами знаком.

Рассмотрим теперь двумерное пространство d = 2

и изучим фунêöèþ f, зависящую только от радиусвектора r = px21 + x22. В этом случае f~ будет зависеть

p

только от q = q12 + q22. Переходя теперь в соотношениях (16.9,16.10) к интегрированию по полярным

координатам r; ' и q; , мы получаем

Z

f~(q) = dr r d' exp[ iqr cos(' )]f(r):

Используя теперь соотношение (7.17), мы находим

ãäå J0 функция Бесселя нулевого порядка, а f = f~=(2 ). Соотношения (16.16,16.17) являются след-

ствием и модификацией преобразования Фурье. Аналогичные соотношения можно получить для функций Бесселя ненулевого порядка.

Найти модификацию соотношений (16.16,16.17),

которая получается при подстановке в преобразование Фурье функции f = g(r) cos '.

Помимо разложения в интеграл Фурье (16.9), в математической физике широко используется разложение в ряд Фурье, которое справедливо для периоди- ческих функций или функций, заданных на конечном интервале. Мы сосредоточимся на одномерном слу- чае, поскольку обобщение приведенных соотношений на многомерный случай, как правило, не представляет труда. Отметим, что представление функций в виде ряда Фурье является ведущим способом, который используется при организации сложного численного моделирования.

33

Мы будем иметь дело с периодической функцией, период который мы обозначим L или с функцией, за-

данной на конечном интервале 0 < x < L. (Этого все-

гда можно добиться сдвигом начала координат.) Тогда функция f(x) раскладывается в следующий ряд

Фурье

где n целые числа, пробегающие от минус до плюс

бесконечности. Ряд (16.18) задает некоторую периодическую с периодом L функцию, которая определена

при произвольных x. Таким образом, если исследуется функция, заданная на интервале 0 < x < L, то

ряд Фурье (16.18) задает, как говорят, ее периодиче- ское продолжение на всю действительную ось. Обратим внимание на то, что это периодическое продолжение имеет, вообще говоря, разрывы в точках xn = nL.

Обратное к (16.18) преобразование имеет вид

Отсюда следует, что для действительной функции f(x) коэффициенты ее разложения в ряд Фурье

(16.18) удовлетворяют соотношению f n = fn?. Â ýòîì случае ряд Фурье (16.18) иногда записывают через тригонометрические функции

+1

X

f(x) = f0 + 2 [Re fn cos(2 nx=L)

Для функций, которые меняются на масштабах, гораздо меньших L, в ряде Фурье (16.18) существенны

большие n. Тогда этот ряд может быть приблизитель-

но заменен на интеграл Фурье, который идет по волновым векторам q = 2 n=L. Отсюда следует правило

подстановки

Z X ! L 2dq ;

n

которое позволяет преобразовывать сумму в интеграл. Таким образом, ряд Фурье переходит в интеграл Фурье со множителем L периодом или длиной ин-

тервала.

В дальнейшем мы полагаем L = 2 , чего всегда

можно добиться соответствующим выбором единиц измерения x. Тогда соотношения (16.18,16.19) приоб-

ретают следующий вид

Обратим внимание на то, что интегрирование в (16.22) можно вести по произвольному интервалу длиной 2 . Эта свобода позволяет из соображений удоб-

ства выбирать интервал, на котором задана функция f(x). Например, часто выбирают интервал < x <

.

Разложить в ряд Фурье функции f = exp( x), задана на интервале 0 < x < 2 ; f = x, задана на интервале < x < .

Если периодическое продолжение функции, заданной на конечном интервале, содержит разрывы, то это приводит к медленному убыванию коэффициентов ряда Фурье при росте n. Чтобы найти закон это-

го убывания, рассмотрим разложение в ряд Фурье -

функции. Точнее говоря, речь идет о бесконечной сумме -функций, которая является периодической функ-

цией x. Используя соотношение (16.22), находим

В этом случае коэффициенты разложения fn вообще не зависят от n. Для разрывной функции -функции возникают в ее производной по x, то есть коэффи-

циенты разложения этой производной не зависят от n при больших n. Для самой разрывной функции f

это означает, что ее коэффициенты разложения в ряд Фурье ведут себя пропорционально 1=n при больших

n.

C.Преобразование Лапласа

Âзадачах, в которых исследуется решение линейных дифференциальных уравнений с начальными условиями, бывает полезным преобразование Лапласа, которое определяется для функций, заданных на

положительных временах t. Преобразование Лапласа функции (t) определяется, как

Z 1

~

(p) = dt exp( pt) (t): (16.24)

0

Мы предполагаем, что функция (t) растет со временем t не быстрее, чем некоторая экспонента от t. Тогда интеграл (16.24) сходится при достаточно больших p.

Более того, в этом случае ~

(p) стремится к нулю при p ! 1. Если же выйти в комплексную плоскость по p, то можно утверждать, что интеграл сходится при достаточно больших значениях Re p. Другими слова-

ми, функция ~

(p) заведомо является аналитической в области Re p > C, где C некоторая константа.

Найти преобразования Лапласа следующих функций: = exp( t), = tn, = cos( t),= cosh( t), = t 1=2.

34

Преобразование, обратное к преобразованию Лапласа, имеет следующий вид

где интегрирование идет вдоль прямой, параллельной мнимой оси, в области аналитичности функции ~

(p).

Это соотношение можно рассматривать, как модификацию преобразования Фурье. Возможны деформации контура интегрирования в области аналитичности. Обратим внимание на то, что при отрицательных t интеграл (16.25) равен нулю, так как в этом случае

~

оба сомножителя, exp(pt) и (p), стремятся к нулю при увеличении Re p. Поэтому, сдвигая контур интегрирования в большие Re p (и оставаясь при этом в об-

ласти аналитичности), мы получим ноль. Это соответствует физическому смыслу рассматриваемой задачи, когда мы исследуем функцию, определенную только при положительных t.

Рассмотрим определенное на положительных t

где L(x) некоторый полином (порядок которого мы будем обозначать n). Произведя преобразование Ла-

~ ~

пласа уравнения (16.26), находим L(p) (p) = f(p). Та-

ким образом, решение уравнения (16.26) записывается в следующем виде

Åñëè f~(p) при больших положительных Re p стремит-

ся к нулю, то выражение (16.27) дает решение уравнения с нулевыми начальными условиями. Действительно, в этом случае для m = 0; : : : ; n 1

что доказывается сдвигом контура интегрирования в большие Re p.

В таком же виде (16.27) можно записать и решение задачи Коши однородного уравнения (16.26) (с нулевой правой частью). Для этого надо использовать в качестве функции f(t) линейную комбинацию (t)

и ее производных, которая обеспечивает генерацию начальных условий из нулевой при отрицательных t

функции (t). Количество производных от -функции зависит от порядка полинома L: если этот порядок равен n, то надо брать производные до n 1 порядка

включительно. В представлении Лапласа такая функ- öèÿ f~(p) представляет собой полином порядка n 1 по

p. Отсюда следует, например, что при больших t по-

ведение однородного решения уравнения (16.26) будет экспоненциальным, причем ведущая экспонента определяется корнем уравнения L(p) = 0 с наиболь-

шей действительной частью. При решении смешанной

задачи (16.26), когда помимо правой части задано на- чальное условие, надо брать линейную комбинацию вынужденного решения (16.27) и решения задачи Коши однородного уравнения.

Рассмотрим интегральное уравнение Вольтерра

лая преобразование Лапласа обеих частей уравнения (16.28), находим ~ ~ ~

K(p) (p) = f(p). Подстановка реше-

ния этого алгебраического уравнения в (16.26) дает решение уравнения (16.28) в виде интеграла по p. Ана-

логичным образом решается интегральное уравнение Вольтерра второго рода с однородным ядром:

Z t

(t) + ds K(t s) (s) = f(t): (16.29)

0

После перехода к представлению Лапласа мы находим

~ ~ ~

алгебраическое уравнение [1 + K(p)] (p) = f(p).

Найти решение уравнения (16.28) для K(t) = exp( t); f(t) = tn; K(t) = t 1=2; f(t) = cos( t).

Рассмотрим движение частицы в Кулоновском потенциале. Для сферически симметричного состояния в случае притяжения уравнение Шр¼дингера в безразмерных переменных сводится к

где E энергия, r радиус-вектор и волновая функция связана с величиной соотношением = =r. Умножим уравнение (16.30) на r и сделаем преобразо-

вание Лапласа по этой переменной. В результате получим уравнение

d h 2 ~i ~ dp (p =2 + E) = :

Нас будут интересовать связанные состояния, со-

ответствующие отрицательной энергии. Подставляя E = 2=2, > 0, и решая полученное уравнение

для ~, находим

где C константа. Выражение (16.31) имеет сингулярность при p = , то есть контур интегрирования в обратном преобразовании Лапласа (16.25) должен идти

35

справа от этой точки. Это означает, что при больших r функция (r) ведет себя пропорционально exp( r).

Это поведение не соответствует связанным состояниям. Исключением является случай = 1=n (n целое

число), тогда особенность при p = исчезает. Имен-

но эти значения соответствуют связанным состояниям частицы с энергией E = 1=(2n2). Для основно-

~ / 2. Отго состояния n = 1 мы находим (p + )

сюда следует (r) / r exp( r) = r exp( r), то есть

/ exp( r).

Найти приведенным методом волновую функ-

цию связанного состояния, соответствующего n = 2.

Найти приведенным методом волновые функции

связанных состояний, соответствующих ненулевому угловому числу l.

D.Собственные функции оператора

Рассмотрим функции одной переменной, заданные на конечном интервале a < x < b. Будем назы-

вать дифференциальный оператор ^

L самосопряженным, если для любых двух функций, f(x) и g(x), из интересующего нас класса выполняется соотношение

Выполнение условия (16.32) может быть связано как

со свойствами класса рассматриваемых функций, так и со свойствами оператора ^

L. Например, нулевые гра-

ничные условия или периодические граничные условия (когда на концах интервала одинаковы значения самой функции и одинаковы значения ее производной), наложенные на функции f и g, приводят к са-

В дальнейшем нас будет интересовать обобщение соотношения (16.32)

где (x) положительная функция, которую обыч-

но называют весовой функцией или мерой интегрирования. Удовлетворяющие условию (16.33) оператор ^

L

уже не является самосопряженным. В частности, им может быть оператор Штурма-Лиувилля

где Q и U функции от x. Легко проверить, что при

нулевых или периодических граничных условиях на функции f; g оператор (16.34) удовлетворяет условию

(16.33), åñëè

Таким образом, при n 6= m выполняется условие ортогональности

Z b

dx fnfm = 0: (16.36)

a

Как следует из соотношения (16.32), собственные функции самосопряженных операторов также ортогональны, причем с весом = 1. В качестве приме-

ра приведем cos(nx); sin(nx), которые являются собственными функциями оператора d2=dx2 на интерва-

ле (0; 2 ) в классе периодических функций. Посколь-

ку для этого оператора Штурма-Лиувилля (16.34) Q = 0, то в силу (16.35) = 1, и соотношения (16.36)

легко проверяются непосредственно. Дополнительного комментария требует наличие вы-

рождения (то есть собственных функций с совпада-

ющими собственными значениями оператора ^

L). Мы будем считать, что набор собственных функций, со-

ответствующих одному и тому же собственному зна- чению оператора ^

L, за счет линейного преобразо-

вания выбран таким образом, чтобы внутри этого набора также выполнялось условие ортогональности

(16.36). Отметим, что для рассмотренного нами при- мера оператора d2=dx2, собственные функции которо-

го дважды вырождены (собственному значению n =n2 соответствуют две собственные функции), усло-

вию взаимной ортогональности удовлетворяют как раз cos(nx); sin(nx).

Åñëè fn является полным набором собственных

функций оператора ^

L из интересующего нас класса, то любую функцию f того же класса можно разложить в ряд по этим собственным функциям:

X

причем коэффициенты этого разложения в силу условий ортогональности (16.36) равны

ZZ

cn = An 1 dx fnf; An = dx fn2: (16.38)

Примером разложения (16.37) является разложение по уже упомянутым нами функциям cos(nx); sin(nx),

которое является не чем иным, как разложением в ряд Фурье. Подставляя выражение (16.38) для коэффици- ентов cn в разложение (16.37), мы находим соотношение

Z

f(x) = dy X fn(x)fn(y)f(y);

n An

36

которое должно выполняться для любой функции f

из выбранного нами класса. Поэтому справедливо соотношение

которое является выражением полноты системы функций fn.

Рассмотрим теперь неоднородную задачу ^

Lf = . Представляя обе функции, f и , в виде ряда по соб-

зом, мы сталкиваемся с проблемой, если у оператора L имеется нулевое собственное значение. (В этом слу-

чае часто говорят, что у оператора ^

L есть нулевые

моды.) Эта проблема является неустранимой в том смысле, что если в разложении силы имеется нену-

левой вклад с собственной функцией, соответствую-

щей нулевому собственному числу, то неоднородная задача ^

Lf = не может быть решена в базисе функ- öèé fn. Поясним это утверждение на примере опера-

òîðà ^ 2 2, который имеет собственную функ-

L = d =dx

цию, соответствующую нулевому собственному значе- нию (нулевую моду), которая есть просто константа. Будем рассматривать задачу с периодическими граничными условиями. Наличие константы в разложении означает, что интеграл от по периоду не равен

нулю. В то же время для периодической функции f интеграл по периоду от d2f=dx2 равен нулю. Поэтому уравнение d2f=dx2 = не имеет решения на классе

периодических функций.

Отметим, что к изучаемому нами типу функций принадлежат полиномы Лежандра и Эрмита. Как следует из уравнения (9.1) для полиномов Эрмита, они являются собственными функциями оператора Штурма-Лиувилля (16.34) c Q = 2x, U = 0. В этом

случае в соответствии с (16.35) = exp( x2), а интервал интегрирования по x простирается от 1 до +1. Поскольку (x) быстро стремится к нулю при x ! 1, от функций f следует требовать не слишком

быстрого роста на бесконечности. Поэтому мы приходим к условиям ортогональности (16.36) для полиномов Эрмита, которые и зафиксированы соотношением (9.11).

Как следует из уравнения (8.4), которому подчиняются полиномы Лежандра, они являются собственными функциями оператора Штурма-Лиувилля (16.34) c Q = cot и U = 0. В этом случае в соответствии с

(16.35) = sin . Интервал же интегрирования по углураспространяется от 0 до . Поскольку обращает-

ся в ноль на концах интервала, достаточно потребовать конечности функций f на этом интервале, что

определяет рассматриваемый класс функций. Усло-

R

вие (16.36) переписывается в виде d fnfm = 0, ãäå= cos . Таким образом, в терминах переменной

полиномы Лежандра ортогональны с весом единица на интервале 1 < < 1, что и зафиксировано соот-

ношением (8.16). Отметим, что соотношение ортого-

нальности (16.36) не предполагает, что оператор ^

L ÿâ-

ляется оператором Штурма-Лиувилля (16.34). Поэтому при доказательстве соотношений (8.16) можно исходить и непосредственно из уравнения (8.5), которое показывает, что полиномы Лежандра являются собственными функциями самосопряженного оператора, что и приводит прямо к (8.16).

17.ОТДЕЛЬНЫЕ МЕТОДЫ

Âнастоящем разделе мы кратко представляем некоторые методы, часто использующиеся при анализе задач математической физики.

A.Метод характеристик

Метод характеристик позволяет свести решение определенного класса уравнений в частных производных к решению обыкновенных дифференциальных уравнений. А именно, он применим к уравнениям, которые содержат только первые производные и линейным по этим производным. Такое уравнение можно записать в виде

где g искомая функция, зависящая от времени t и координат x пространства произвольной размерности.Скорость V и накачка f являются некоторыми функциями времени и координат, t; x, а также самой искомой функции g. Тогда решение уравнения (17.1)

может быть построено следующим образом. Надо найти решения уравнений

Траектории, описываемые уравнением (17.3), называются характеристиками системы. Чтобы найти значе- ние функции g в момент времени t и в точке x, необ-

ходимо взять характеристику, которая заканчивается в момент времени t в точке x. После этого надо

решить уравнение (17.2) вдоль этой характеристики, используя в качестве начального условия g(t0; x0), ãäå t0 начальное время, при котором задается начальное условие на функцию g, а x0 точка, в которой находится решение уравнения (17.3) в начальный момент времени t0.

B.Метод стационарной фазы

Метод стационарной фазы работает для интегра-

R

ëîâ âèäà dx exp[ih(x)], где h(x) действительная

37

функция, имеющая в области интегрирования стационарную точку x0, òî åñòü dh=dx(x0) = 0, причем jd2h=dx2(x0)j 1. В этом случае основной вклад

в интеграл определяется окрестностью стационарной точки, так как именно в этой окрестности функция exp[ih(x)] осциллирует медленнее всего. В окрестно-

сти стационарной точки функцию h можно разложить

â ðÿä ïî x x0. Удерживая члены до второго порядка, можно написать

где линейный член отсутствует в силу стационарности фазы в точке x0, è A = d2h=dx2(x0). Знак перед

A связан с тем, что мы полагаем A > 0. Далее

ZZ +1

dx exp[ih(x)] dx exp[i iA(x x0)2=2]

Беря действительную и мнимую части соотношения (17.5), мы находим

C.Метод перевала

Метод перевала применим к интегралам вида

Z b

g( ) = dx exp[ f(x)] (x); (17.8)

a

где (действительная) функция f(x) достигает на интервале (a; b) абсолютного максимума в некоторой промежуточной точке c. Тогда при больших положительных основной вклад в интеграл (17.8) определя-

ется узкой окрестностью этого максимума. Раскладывая функцию f(x) в ряд Тейлора вблизи точки x = c, мы находим f f(c) + (1=2)f00(c)(x c)2. Òàê êàê

точка x = c соответствует максимуму функции f, то f00(c) < 0. Подставляя это разложение в (17.8) и за-

меняя в нем (x) на (c), мы приходим к Гауссовому интегралу. При больших значениях интегрирование по x в этом интеграле можно распространить от 1 до +1. Вычисляя получившийся Гауссов интеграл, находим асимптотическое выражение

которое справедливо при 1.

Отметим, что если функция f(x) достигает абсолютного максимума на одном из краев интервала ( a

или b), то именно окрестность этой точки определя-

ет основной вклад в интеграл (17.8) при больших положительных . Этот случай может быть исследован

аналогично, в рамках разложения функции f(x) вблизи a или b. Тогда можно ограничиться линейным членом разложения функции f(x) по x a или x b (ес-

ли только этот член разложения не равен нулю), что упрощает анализ.

D.Обобщенный метод перевала

Обобщенный метод перевала применим к интегралам типа

Z b

a

при выполнении определенных условий на функцию S(z). Прежде всего мы будем предполагать, что функ-

ция S(z) аналитична вблизи пути интегрирования от a к b и, следовательно, контур интегрирования можно деформировать в области аналитичности S(z). Далее,

мы будем предполагать, что в области аналитичности

имеется по крайней мере одна точка с нулевой производной S0(z0) = 0 и что контур интегрирования мож-

но деформировать таким образом, чтобы он проходил через z0, причем действительная часть S(z) должна достигать в точке z0 максимума при движении вдоль деформированного контура. Тогда точка z0 называет- ся седловой, поскольку для направления, перпендикулярного контуру, действительная часть S(z) достига-

ет в точке z0 минимума.

Если в седловой точке действительная часть S(z)

достигает абсолютного максимума вдоль контура интегрирования, то можно надеяться, что именно окрестность седловой точки даст главный вклад в интеграл (17.10). Разложим S в ряд Тейлора вблизи седловой точки: S S0 + S000(z z0)2=2, ãäå S0 è S000 значения функции S и ее второй производной в точ-

êå z = z0. Если S достаточно быстро меняется вблизи седловой точки, то главный вклад в интеграл дает узкая окрестность седловой точки z = z0, и мы можем

ограничиться в интеграле (17.10) этим разложением, распространив интегрирование до бесконечности в обе стороны. Тогда мы приходим к Гауссовому интегралу, который дает

Подчеркнем, что обе величины, S0 è S000, могут быть комплексными. Знак перед квадратным корнем определяется направлением, в котором контур интегрирования проходит через седловую точку. Условием применимости приближения (17.11) является значительное изменение функции S(z) в области применимости

приведенного разложения, то есть jS000jR2 1, ãäå R

38

радиус сходимости разложения функции S(z) в ряд Тейлора около точки z = z0.

В области аналитичности функции S(z) может ока-

заться несколько седловых точек. В этом случае надо выбрать ту из них, в которой ReS0 максимальна, по-

скольку именно окрестность этой точки дает главный вклад в интеграл (17.10). Возможно также вырождение, когда действительные части S в нескольких сед-

ловых точках одинаковы (или мало отличаются). Тогда для оценки интеграла (17.10) надо брать сумму выражений (17.11) для этих седловых точек.

Рассмотренные выше метод стационарной фазы и метод перевала могут рассматриваться, как частные случаи обобщенного метода перевала.

E.Метод WKB

Вернемся к однородному уравнению (2.5), где в операторе Штурма-Лиувилля (2.6) Q = 0:

p

Предположим, что величина p = U меняется достаточно медленно на масштабе p 1, что означает вы- полнение неравенства dp=dx p2. Тогда для функции

f можно построить следующее приближенное решение

ãäå C1; C2 некоторые константы. Выражение (17.13)

было получено Вентцелем (Wentzel), Крамерсом (Kramers) и Бриллюэном (Brillouin) и носит название приближения WKB, что является аббревиатурой имен этих авторов.

Подставляя выражение (17.13) в уравнение (17.12),

можно убедиться, что оно является решением, если пренебречь членами с (dp=dx)2 è d2p=dx2. Первое пре-

небрежение возможно в силу предполагаемого нера- венства dp=dx p2, а второе в силу неравенства

d2p=dx2 p dp=dx, которое получается из предыдущего дифференцированием по x.

Фактор U в уравнении (17.12) может быть как от-

рицательным, так и положительным, к обоим этим случаям одинаково применим метод WKB. В первом случае величина p является действительной, и два

слагаемых в выражении (17.13) являются растущей и убывающей по x экспонентами. Во втором случае

величина p является чисто мнимой, и мы имеем дело с экспонентами от мнимых величин S. Другими сло-

вами, мы имеем дело с осциллирующими функциями, если речь идет о действительных решениях.

F.Н¼теровские интегралы движения

Многие эволюционные дифференциальные уравнения приводят к сохранению некоторых величин, которые называют интегралами движения. Наличие интегралов движения облегчает анализ решений соответствующего уравнения, и потому их нахождение является важной задачей. Здесь мы изложим способ нахождения интегралов движения, связанных с непрерывной симметрией уравнения, который был разработан Н¼тер. Поэтому соответствующие интегралы движения называются Н¼теровскими.

Н¼теровские интегралы возникают в том случае, если исследуемое уравнение является следствием вариационного принципа. А именно, рассмотрим дифференциальное уравнение для поля u, которое получа-

ется, как экстремум функционала

Z

S = dt dr L(u; u; ru): (17.15)

Обычно этот функционал называют действием. Условие экстремума действия дает уравнение

которому подчиняется поле u.

Уравнение (17.16) или действие (17.15) однородны в пространстве и времени, то есть инвариантны относительно сдвига начала отсчета времени или сдвига начала координат. При инфинитезимальном сдвиге начала отсчета времени поле u изменяется, это изме-

нение равно u = @tu, где величина сдвига. Лег-

ко проверить непосредственно, что действие (17.15) не меняется при таком преобразовании. Предположим теперь, что некоторая функция пространства и

времени. Тогда вариация действия S при преобразо-

вании u = @tu уже не будет равна нулю, ее можно записать в следующем виде

где мы использовали интегрирование по частям и соотношение

С другой стороны, для поля u, которое подчиня-

ется уравнению движения (17.16), вариация действия (17.16) при любой вариации поля u, в том числе и

при вариации u = @tu, должно быть равно нулю. Другими словами, для поля u, которое подчиняется

уравнению движения (17.16), равно нулю выражение (17.17). Поскольку поле в выражении (17.17) явля-

ется произвольной функцией времени и пространства, мы приходим к соотношению

39

которое имеет вид локального закона сохранения. Обычно закон (17.18) называют законом сохранения энергии, а сохраняющийся вследствие этого уравнения интеграл

называют энергией. Закон сохранения энергии имеет вид @tE = 0.

С формальной точки зрения, закон сохранения энергии (17.18) следует из того, что в выражении (17.17) для вариации действия присутствуют только производные (по времени и пространству) от поля , но не само . В свою очередь, это свойство

следует из инвариантности действия по отношению к сдвигу начала отсчета времени, которое соответствует = const. Поэтому при не зависящем от времени

и координат поле вариация действия обязана обра-

щаться в ноль, что и объясняет отсутствие членов с(без производных) в вариации (17.17). Понятно, что

таким же образом будут получаться законы сохранения в том случае, если действие инвариантно относительно преобразования поля u, которое характери-

зуется некоторым непрерывным параметром типа .

Поэтому иногда говорят, что Н¼теровские интегралы движения являются следствием непрерывной симметрии действия. Дискретная же симметрия (типа инвариантности действия относительно изменения знака поля u) законов сохранения не дает.

Рассмотрим закон сохранения, который получается из инвариантности действия относительно сдвига на- чала координат. При инфинитезимальном сдвиге на- чала координат поле u изменяется, это изменение рав-

но u = ru, где величина сдвига. Считая теперь, что является произвольной функцией времени

и пространства, вычисляя вариацию действия (17.15) при вариации u = @xu и приравнивая результат к нулю (что справедливо для поля u, подчиняющемуся

уравнению движения), находим

Аналогичные уравнения справедливы и для остальных координат. Таким образом, мы приходим к закону сохранения величины

которую обычно называют импульсом. Закон сохранения импульса имеет вид @tP = 0.

Чтобы проиллюстрировать возникновение Н¼теровских интегралов движения, не связанных с однородностью в пространстве и времени, рассмотрим случай, когда интересующее нас поле является комплексным.

имеет две компоненты (действительную и мнимую

Теперь предположим, что действие (17.22) инвариантно относительно сдвига фазы (что справедливо, например, для НУШ). Для инфинитезимального сдвига это преобразование имеет вид = i ,

? = i ?. Инвариантность действия относитель-

но этого преобразования означает, что

Считая теперь, что является произвольной функци-

ей времени и пространства, вычисляя вариацию действия (17.22) при вариации = i , ? = i ?

40

и приравнивая результат к нулю (с использованием приведенного выше выражения), находим закон сохранения

Таким образом, мы приходим к закону сохранения величины

которую называют числом частиц или волновым действием. Закон сохранения имеет вид @tN = 0.