Лебедев, Колоколов. ИГМФ

Подобная теория возмущений может быть развита и для динамических систем, описываемых эволюционными дифференциальными уравнениями. Однако в ряде случаев, связанных с разного рода резонансами, область применимости прямой теории возмущений оказывается ограниченной по времени, то есть точность разложения решения по падает с ро-

стом времени t. Чтобы повысить эту точность, сле-

дует несколько модифицировать теорию возмущений. Этой модификации и посвящена настоящая лекция.

В качестве стартового примера рассмотрим задачу Коши для гармонического осциллятора с возмущенной частотой:

Будем рассматривать начальные условия x(0) = a, x(0) = 0. Тогда уравнение (6.1) имеет очевидное ре-

которое надо сравнивать с решением невозмущенного уравнения (при = 0) x0 = a cos( t). Мы видим, что при t 1 отклонение решения x(t) от невозмущен-

ного решения x0(t) = a cos( t) станет существенным: x(t) x0(t) x0(t).

Будем теперь решать эту задачу по теории возмущений. В правой части уравнения (6.1) стоит малый множитель , поэтому оно может быть использовано

для формулировки итерационной процедуры: сначала мы подставляем в правую часть уравнения невозмущенное решение x0(t), находим первую по поправку

x1(t), подставляем ее в правую часть уравнения (6.1), находим вторую по поправку x2(t), и так далее. Уже

на первом шаге итерационной процедуры становится ясной причина аномального поведения x x0 ïî âðå-

мени. Действительно, при подстановке x0

часть уравнения (6.1) возникает резонанс (поскольку x0 меняется с частотой ), и потому поправка x1 ñî-

держит, помимо осциллирующего множителя, еще и линейный по времени. (Это так называемое секулярное или смешанное поведение.) Из-за наличия этого множителя и падает со временем точность теории возмущений. Найдем явно поправку x1.

Для этого сначала используем решение неоднородной задачи Коши x• + 2x = (t) с начальными усло-

виями x(0) = a, x(0) = 0, смотри раздел 1, формулы (1.10,1.11):

11

эквивалентное исходному (6.1). Теперь мы можем най- òè x1, просто подставив x0 в правую часть (6.4). Беря возникающие при этом интегралы, находим

Таким образом, мы убеждаемся, что прямая теория возмущений работает только на временах t 1 1.

Получить следующую по итерацию решения

уравнения (6.1), работающую на временах t .1 2, и сравнить ее с точным решением.

Ñдругой стороны, как видно из точного решения (6.2), при любом t решение уравнения (6.1) можно за-

писать в виде x(t) = A cos( t + ), где A и неко-

торые зависящие от времени параметры. Подставляя выражение x(t) = A cos( t + ) в исходное уравнение

(6.1), и приравнивая коэффициенты при синусе и косинусе, находим систему уравнений

const, _ = const. В главном по порядке уравне- íèå (6.6) äàåò _ = =2, то есть решение имеет вид

x = a cos( t + t=2). Сравнивая этот ответ с выраже-

нием (6.2), мы заключаем, что найденное приближен-

ное решение отклоняется от точного решения только на временах порядка 1 2, что существенно улуч-

шает точность по сравнению с прямой теорией воз-

мущений. Более того, решение полного уравнения на производную от фазы 2 _ + _2 = 2 эквивалентно

точному решению.

Спрашивается, что же позволило столь радикально повысить точность теории возмущений? Для этого вернемся к уравнению (6.1) и заметим, что A cos( t +

) с постоянными (не зависящими от времени) A и

являются общим решением невозмущенного уравнения. При включении возмущения (члена с ) решение

сохраняет свой вид, но параметры A и становят-

ся функциями времени, они испытывают медленную

систематическую эволюцию на больших временах, то åñòü A=A_ è _ являются малыми величинами в срав-

нении с частотой . Уравнения для A и не содер-

жат никаких осциллирующих множителей, и потому их решение не чувствительно к резонансу и дает более точное приближение, чем прямая теория возмущений. Это наблюдение может быть обобщено. Для решения уравнения, в котором имеется резонансное возмущение, надо взять сначала решение невозмущенного уравнения, а затем сделать входящие в него параметры медленными функциями времени, динамика которых определяется возмущением. Такая стратегия позволит в рамках разложения по получить гораздо

б'ольшую точность, чем прямая теория возмущений.

Продемонстрируем на нескольких примерах, как работает эта логика. Рассмотрим нелинейную задачу:

Найдем ее приблизительное решение, скажем, с теми же начальными условиями x(0) = a, x(0) = 0.

Как и раньше, решение невозмущенного решения имеет вид x0 = a cos(t). Попытка решения уравнения

(6.8) итерациями сразу показывает наличие секулярной проблемы, поскольку в разложении x30 по триго-

нометрическим функциям присутствуют члены с ча- стотой , что приводит к резонансу. Поэтому, как и

раньше, прямая теории возмущений работает на конечном временном интервале, в данном случае при

t. a 2 1 1.

Найти первую по поправку x1 ê x0 äëÿ óðàâ- нения (6.8).

Будут ли существенно отличаться решения воз-

мущенного и невозмущенного уравнения x• +

2x = x2 ïðè t 1 1a 1?

Как и раньше, для формулировки улучшенной теории возмущений мы используем выражение x =

A cos(t+ ), которое диктуется невозмущенным урав-

нением. Подставляя это выражение в правую часть уравнения (6.8) и приравнивая к нулю коэффициенты при cos(t + ) и sin(t + ), мы находим

вместо (6.6,6.7). Обратим внимание на то, что система (6.9,6.10) уже не эквивалентна уравнению (6.8), поскольку при подстановке x = A cos(t + ) в правую

часть уравнения (6.8) помимо члена, пропорционального cos(t + ), возникает член, пропорциональный

cos(3t+3 ), который порождает дополнительную поправку к x. Однако в силу нерезонансного характера cos(3t + 3 ) порождаемая им поправка к x оказывается малой (при малом ) на всех временах. Поэтому

мы пренебрегаем этой поправкой.

В ведущем порядке по мы находим из системы (6.9,6.10)

A_ = 0; _ = 83 A2:

Решением этой системы является A = a и

Таким образом, решение имеет такой же вид, как и невозмущенное решение, но со сдвинутой по сравнению с невозмущенным значением частотой

+ 83 a2;

12

причем сдвиг частоты зависит от амплитуды колебания a. Это явление называется нелинейным сдвигом

частоты.

Рассмотрим теперь пример неавтономной системы, а именно уравнение

которое описывает параметрический резонанс. При решении этого уравнения итерациями в правой ча- сти возникает резонансный член (с частотой ), ес-

ли = 2 . Проанализируем этот случай, предполагая малость , то есть 2.

Как и раньше, используем представление x = A cos(t + ). Подставляя это выражение в правую

часть уравнения (6.12), сохраняя только резонансные члены и приравнивая коэффициенты при cos(t + )

и sin(t + ), находим

Решение этой системы имеет иной характер, чем ранее. Вне зависимости от начальных условий на больших временах угол выходит на константу, близкую

_ •

к =4. Пренебрегая членами с и в уравнении (6.14), находим 4A_ = A, то есть амплитуда A экспоненциально растет со временем:

t

A / exp 4 :

Что же касается отличия угла от =4, то его можно найти из уравнения (6.13), которое дает

cos(2 ) = 8 2 ;

что по предположению много меньше единицы.

Найти приближенное решение уравнения (6.12), считая, что = 2 , где . = небольшая расстройка.

7.ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ

Функции Бесселя естественным образом возникают в задачах теории поля, когда речь идет о зависящих от двух координат решениях уравнения типа Гельмгольца

описывающего, например, различные электромагнитные и акустические явления. Однако область применимости функций Бесселя отнюдь не ограничивается этими проблемами, они оказываются полезными в

очень широком круге приложений, чем и определяется их важность.

В двумерном случае оператор Лапласа записывается в следующем виде

мутальный угол. Уравнение (7.1) допускает решение вида

ãäå '0 произвольный угол. Подставляя это выражение в уравнение (7.1) и используя выражение (7.2), мы находим для g(z) уравнение

которое называется уравнением Бесселя. Отметим, что мы снова сталкиваемся с оператором ШтурмаЛиувилля (2.6).

Если функция f однозначно определена на всей плоскости X Y , то число n в выражении (7.3), а

значит и в уравнении (7.4), является целым. В дальнейшем мы ограничимся рассмотрением целых n 0,

хотя можно исследовать решения уравнения (7.4) при произвольных n, этот случай важен для ряда прило-

жений.

Рассмотрим случай малых z, z 1. В этом случае

третьим слагаемым в уравнении (7.4) можно пренебречь и мы приходим к уравнению

которое имеет степенные решения g1 = zn è g2 = z n.

Обратим внимание на причину, по которой уравнение (7.5) имеет степенные решения, и которая заключа- ется в том, что при преобразовании z ! Az, где A

произвольный фактор, все три слагаемых в уравнении (7.5) преобразуются одинаковым образом, то есть уравнение переходит в себя. Это означает, что существуют решения уравнения (7.5), которые при преобразовании z ! Az переходят в себя с точностью до

множителя, именно такими являются степенные решения g1 = zn è g2 = z n.

Поскольку уравнение Бесселя (7.4) не обладает указанным свойством симметрии уравнения (7.5), его ре-

шение не может быть степенным. Тем не менее реше- íèÿ g1 = zn è g2 = z n определяют поведение про-

извольного решения уравнения Бесселя (7.4) при малых z. Обратим внимание на то, что g2 сингулярно в нуле, то есть стремится к бесконечности при z ! 0.

Поэтому, если функция g регулярна в нуле, то ее поведение определяется g1, òî åñòü g / zn при малых z.

Это поведение с точностью до множителя определяет решение уравнения Бесселя (7.4). Такие решения,

13

Рис. 1: Несколько первых функций Бесселя.

определяемые поведением

называются функциями Бесселя. Графики нескольких первых функций Бесселя приведены на рисунке 1.

Заметим, что при n = 0 оба решения уравнения (7.5), g1 = zn è g2 = z n, совпадают между собой,

то есть, как говорят, имеет место вырождение. Чтобы разобраться с этим случаем, следует вернуться к уравнению (7.5), в котором надо положить n = 0.

Это уравнение является уравнением первого порядка для dg=dz, решением которого, очевидно, является

dg=dz = C1=z, ãäå C1 произвольная константа. Интегрируя это уравнение дальше, мы находим общее ре- шение g = C2 + C1 ln z, ãäå C2 вторая произвольная

константа. (Отметим, что возникновение логарифма типично для вырожденных случаев.) Таким образом, и при n = 0 имеется два решения уравнения (7.5), од-

но из которых (константа) регулярно в нуле, а второе (логарифм) сингулярно. Выражение (7.6) при n = 0

определяет функцию, которая является регулярной в нуле, и потому естественно рассматривать ее наряду с остальными функциями Бесселя.

Уточним теперь поведение функций Бесселя при малых z, сформулировав их разложение по z. Для это-

го перепишем уравнение Бесселя (7.4), как

ãäå Jn дополнительный вклад. Подстановка этого выражения в уравнение (7.7) дает

Отметим, что главный член (7.6) исчез в левой ча- сти уравнения (7.8), поскольку он является решением

уравнения (7.5). Опуская вклад Jn в правой части

уравнения (7.8) и решая оставшееся уравнение, мы находим

Мы видим, что выражение (7.9) содержит лишнюю степень 2 по сравнению с основным членом (7.6), то

есть действительно является малой поправкой при малых значениях z.

Можно продолжить начатую итерационную процедуру, находя следующие поправки к Jn, òî åñòü ïðåä- ставив его в виде

Jn = Jn(1) + Jn(2) + : : : ;

ãäå Jn(1) определяется выражением (7.9), а связь между поправками определяется уравнением

В результате мы получаем следующий ряд для функций Бесселя

Отметим, что это ряд по целым степеням z, который

содержит только четные или только нечетные степени z, в зависимости от четности n.

Мы получили решение (7.10) уравнения Бесселя (7.4) в виде степенного ряда. Этот ряд абсолютно сходится при всех действительных z, поскольку от-

ношение коэффициентов при степенях (z=2)n+2m+2 è

(z=2)n+2m равно [(m + 2)(m + 1)(n + m + 2)(n + m + 1)] 1, то есть стремится к нулю с ростом m. Таким

образом, ряд (7.10) определяет функцию Бесселя при всех действительных z. Более того, он определяет и

функцию комплексного переменного, которая получа- ется аналитическим продолжением Jn(z) с действительных z. Поскольку ряд (7.10) является абсолютно

сходящимся, то функция Jn(z) не имеет особенностей на всей плоскости комплексного переменного z. В то

же время бесконечность является существенной особой точкой функции Бесселя Jn(z).

Используя разложение в ряд (7.10), можно полу- чить рекуррентные соотношения, связывающие функции Бесселя различного порядка между собой. Прямая подстановка и сравнение коэффициентов при степенях z позволяет проверить следующие соотношения

14

могут использоваться как при положительных, так и при отрицательных n. Исключая из соотношений

(7.11,7.12) производную dJn=dz ëèáî Jn, мы находим

рекуррентные соотношения и правила дифференцирования

( 1)nJn(z). Тождество (7.15) можно проверить, разлагая экспоненту в ряд и собирая коэффициенты при степенях t, которые сведутся к рядам (7.10). Другим

способом доказательства соотношения (7.15) является использование тождества

которое проверяется непосредственно. Применяя стоящий здесь в фигурных скобках дифференциальный оператор к разложению exp[(z=2)(t 1=t)] в ряд Ло-

рана по t, мы находим, что его коэффициенты удо-

влетворяют уравнению Бесселя (7.4), в соответствии с соотношением (7.15).

Подставляя в соотношение (7.15) t = exp(i ), мы находим

n=1

что является разложением в ряд Фурье стоящей слева функции. Выписывая обратное преобразование Фурье, мы находим

где мы воспользовались тем, что мнимая часть первого интеграла равна нулю из-за того, что мнимая часть exp(iz sin in ) антисимметрична по , и воспользо-

вались тем, что косинус является четной функцией.

Отметим, что выражение (7.17) автоматически приводит к соотношению J n(z) = ( 1)nJn(z).

Соотношение (7.17) позволяет найти асимптотиче- ское поведение функций Бесселя при больших значе- ниях z. В этом случае работает приближение стацио-

нарной фазы, которая получается из условия равенства нулю производной аргумента косинуса по в вы-

ражении (7.17), что дает z cos 0 = n. Таким образом, в

силу большого значения z стационарная фаза близка к =2 (что предполагает неравенство z n). Исполь-

зуя выражение для приближения стационарной фазы (17.6), находим

Обратим внимание на то, что здесь стоит оператор Штурма-Лиувилля (2.6) с Q = 0. Прямым следствием

уравнения (7.19) является

f( ; z)f00( ; z) f00( ; z)f( ; z) = ( 2 2)f( ; z)f( ; z):

Интегрируя это соотношение на интервале от нуля до единицы, мы находим

Перепишем это соотношение в терминах функций Бесселя

Z 1

dz zJn( z)Jn( z)

0

= Jn( ) Jn0 ( ) Jn( ) Jn0 ( )

2 2

= Jn( ) Jn+1( ) Jn( ) Jn+1( ); (7.20)

2 2

где мы использовали соотношение (7.12). Устремляя здесь ! , раскрывая получившуюся неопределен-

ность по правилу Лопиталя, мы находим

где мы использовали соотношения (7.11,7.12). Рассмотрим граничную задачу, когда функция f

подчиняется уравнению (7.19), ее значение при z = 1

равно нулю и она регулярна в нуле. В этом случае из набора f( ; z) следует выделить функции с = k,

ãäå k нули функции Бесселя pJn: Jn( k) = 0. Обозначим эти функции fk, fk(z) = z Jn( kz). Êàê ñëå-

дует из уравнения (7.20), функции fk ортогональны:

R01 dz fk(z)fm(z) = 0, если k 6= m. Впрочем, это свойство следует также и из самосопряженности операто-

ра в левой части уравнения (7.19) на классе функций

15

fk (с нулевыми условиями на границе). Нормировку функций fk можно найти из соотношения (7.21), которое для = k äàåò

Функции fk составляют полный набор для класса функций, обращающихся в ноль при z = 1. Поэтому такие функции можно разложить в ряд:

Доказать правила дифференцирования (7.14), исходя из соотношения (7.17).

Построить разложение в ряд (7.10), исходя из соотношения (7.17).

Найти асимптотическое выражение функции

Бесселя при больших по абсолютной величине отрицательных z.

Найти интеграл

Z 1

dz exp( az)J0(z):

0

Найти интеграл

Z 1

dz exp( az)J1(z):

0

Указание: воспользоваться соотношением dJ0=dz = J1.

Найти интеграл

Z 1

dz z exp( p2z2)J0(z):

0

Найти интеграл

Z 1 dz J2(z):

0 z2

p

Разложить функцию pz J1(z) z3=2J1(1) на интервале (0; 1) в ряд по z J1( kz) (то есть найти

коэффициенты этого разложения).

8.ПОЛИНОМЫ ЛЕЖАНДРА

При решении задач теории поля или квантовой механики зачастую возникают случаи, когда описывающие поле уравнения обладают симметрией относительно вращений вокруг некоторой точки. В этом слу- чае задача допускает разделение переменных. Поясним это понятие на примере решения уравнения Шр¼дингера для частицы массы m, помещенной в так на-

зываемое центрально-симметричное поле, потенциал которого U зависит только от расстояния r до некото-

рой точки, в которую мы поместим начало координат. Тогда уравнение Шр¼дингера для квантового состояния с энергией E имеет следующий вид

Здесь волновая функция частицы, ~ постоянная Планка, а и ' азимутальный и полярный углы в

сферической системе координат, связанной с выбранной точкой.

Уравнение (8.1) допускает разделение переменных, то есть его решение можно искать в виде произведения

Число m должно быть целым, поскольку волновая функция должна быть периодической функцией ' с периодом 2 . Число n также должно быть целым и n jmj, поскольку только в этом случае функция

может быть регулярной функцией углов. Общее решение уравнения (8.1) в силу его линейности представляется в виде суперпозиции (суммы) членов вида (8.2).

Сначала мы проанализируем простейший случай m = 0. В этом случае уравнение (8.3) сводится к

где 0 < < . Обозначая = cos , мы переписываем уравнение (8.4) в виде

где 1 < < 1. Это уравнение переписывается в виде

P 00 2 (1 2) 1P 0+n(n+1)(1 2) 1P = 0 (где штрих обозначает производную по ), то есть мы имеем дело с оператором Штурма-Лиувилля (2.6).

16

Рис. 2: Несколько первых полиномов Лежандра.

Непосредственной проверкой можно убедиться, что одним из решений уравнения (8.5) являются полиномы Лежандра Pn( ), n = 0; 1; 2 : : : , которые определяются следующим образом

Функция Pn( ) является полиномом n-го порядка, симметричным по при четных n и антисимметрич- ным по при нечетных n. Отметим также равенство Pn(1) = 1. Первые три полинома Лежандра равны

Графики нескольких первых полиномов Лежандра приведены на рисунке 8.6.

Полиномы Лежандра удовлетворяют следующим соотношениям:

(n + 1)Pn+1( ) (2n + 1) Pn( ) + nPn 1( ) = 0;(8.8)

которые проверяются непосредственно, исходя их определения (8.6). Соотношение (8.8) называется рекуррентным, оно позволяет последовательно полу- чать явные выражения для полиномов Лежандра все большего порядка, исходя из первых двух членов в (8.7). Соотношения (8.9) позволяют свести производные от полиномов Лежандра к комбинации самих этих полиномов.

Полиномы Лежандра являются коэффициентами разложения в ряд по t функции (1 2t + t2) 1=2, êî-

торая называется производящей функцией. Выпишем это разложение

p

которое легко проверяется непосредственно. Для коэффициентов разложения ~

Pn( ) это тождество эквивалентно рекуррентному соотношению (8.8). Кроме

того, совпадение первых двух членов разложения, ~

P0

è ~

P1, ñ P0 è P1 (8.7) легко проверяется непосредствен-

но. Отсюда следует совпадение всех членов разложения ~

Pn( ) ñ Pn( ), поскольку рекуррентное соотноше-

ние (8.8) позволяет однозначно построить все высшие полиномы из первых двух. Аналогично анализируется разложение производящей функции по обратным степеням t. В результате мы приходим к соотношени-

ÿì

(8.10) Первый из этих рядов сходится при jtj < 1, а второй

при jtj > 1, если действительное число и j j < 1.

Соотношение (8.10) можно использовать для полу- чения интегрального представления для полиномов Лежандра. Воспользовавшись теоремой о вычете, мы находим из соотношения (8.10)

где интеграл идет против часовой стрелки по небольшому замкнутому контуру, охватывающему начало координат. Корень квадратíûé èмеет точки ветвле-

ло и j j < 1. Эти точки ветвления можно предста-

вить в виде t = exp( i ), где = cos . Таким образом, разрез функции (1 2t +t2) 1=2 можно провести

вдоль дуги единичной окружности в плоскости t, которая определяется условиями < # < 2 , где предполагается лежащим в интервале 0 < < , а #аргумент t. Деформируя теперь контур интегриро-

вания в приведенном выше интеграле так, чтобы онсел на разрез, мы находим следующее интегральное представление

Интегральное представление (8.11) позволяет найти асимптотическое выражение для полиномов Лежандра при больших n. В этом случае в силу быстрой ос-

цилляции sin[(n + 1=2)#] главный вклад в интеграл

набирается вблизи нижнего предела интегрирования из-за знаменателя в (8.11). Подставляя # = + x, рас-

кладывая по x подынтегральное выражение и устрем-

ляя затем верхний предел интегрирования к бесконеч- ности, мы находим

17

Вычисляя здесь интеграл по x, мы находим асимптотическое выражение

Выражение (8.13) можно получить также методом WKB (смотри ниже), который работает как раз при больших n. Чтобы применить этот метод, перепишем

уравнение (8.4) в терминах переменной t = ln tan( =2). Тогда оно принимает вид уравнения (17.12):

Таким образом

p = i(n + 1=2)= cosh t = i(n + 1=2) sin ;

Z

S = dt p(t) = i(n + 1=2) ;

неравенство

вает применение метода WKB. Суммируя теперь два множителя (17.13), мы и получаем выражение (8.13). Разумеется, приведенным методом невозможно полу- чить общий множитель и сдвиг фазы.

Рассмотрим теперь произвольное решение уравнения (8.5), регулярное в точке = 1, когда оно разлага-

ется в ряд Тейлора по x = 1. Перепишем уравнение (8.5) в терминах переменной x:

(2x + x2)P 00 + 2(1 + x)P 0 n(n + 1)P = 0;

где штрих означает дифференцирование по x. Под-

ставляя в это выражение разложение в ряд по x, P = Pk pkxk, мы находим рекуррентное соотношение

2(k + 1)2pk+1 = [n(n + 1) k(k + 1)]pk:

Таким образом, при целом n цепочка обрывается на k = n, и решение оказывается конечным полино-

мом, который (с точностью до множителя) совпадает с Pn( ). Если же n не является неотрицательным це-

лым числом, то в разложении присутствуют все степени x. В пределе больших k мы имеем pk+1 = (1=2)pk.

Отсюда следует, что радиус сходимости этого ряда равен 2, и, более того, он приводит к простому полюсу

при x = 2, то есть = 1. Таким образом, мы дока-

зали, что полиномами Лежандра исчерпываются решения уравнения (8.5), регулярные как в точке = 1,

так и в точке = 1.

Как следует из уравнения (8.5), полиномы Лежандра являются собственными функциями оператора

который является самосопряженным на классе функций, заданных на интервале 1 < < 1 и остающихся

ограниченными на этом интервале, включая конечные точки. Самосопряженность оператора (8.15), то есть свойство (16.32), смотри раздел 16 D, легко проверяется интегрированием по частям. Поэтому полиномы Лежандра удовлетворяют условиям ортогональности (16.36):

Z 1

1

если n 6= l. Впрочем, соотношение (8.16) можно про-

верить и непосредственно после подстановки выражения (8.6) и многократного интегрирования по частям. Точно также может быть найдено и условие нормировки

Общее соотношение (16.39) означает, что полиномы Лежандра, как полная система собственных функций оператора (8.15), конечных на интервале ( 1; +1),

удовлетворяют соотношению

k=0

Это соотношение можно непосредственно доказать, если воспользоваться результатом задачи к настоящему разделу, в которой найдено значение суммы (8.18) при конечном числе слагаемых, когда k пробегает от

0 до n. Считая n 1 и пользуясь асимптотическим выражением (8.13), мы находим

где x = cos , y = cos '. При n ! 1 первое слагаемое в фигурных скобках в (8.19) сходится к -функции

(смотри задачу к разделу 2), а второе стремится к нулю из-за нарастания осцилляций косинуса. В результате в пределе n ! 1 мы получаем соотношение

(8.18).

Возвратимся теперь к уравнению (8.3). Его решениями, регулярными в точках = 0; являются так на-

зываемые присоединенные полиномы Лежандра, которые определяются следующим образом

Pnm(cos ) = 2n1n! sinm (d cos )n+m (cos2 1)n:

При m = 0 мы возвращаемся к полиномам Лежандра

(8.6). Присоединенные полиномы Лежандра обладают свойствами, во многом аналогичными свойствам полиномов Лежандра. Мы не будем обсуждать здесь эти свойства, которые можно найти в специальной литературе.

18

Найти уравнение на функцию R(r), фигурирующую в выражении (8.2).

Найти значение P2n(0).

Вывести соотношения (8.8,8.9), исходя из определения (8.6).

Проверить выполнение уравнения (8.5) для по-

линомов Лежандра, исходя из формулы дифференцирования (8.9) и используя рекуррентное соотношение (8.8).

Получить выражение (8.13) из (8.12).

Доказать соотношение

n

X

(2k + 1)Pk(x)Pk(y)

k=0

= (n + 1)Pn(x)Pn+1(y) Pn+1(x)Pn(y): y x

Указание: действовать по индукции с учетом рекуррентного соотношения (8.8).

Найти R0 d P2n(cos ), R0 d cos P2n+1(cos ).

Найти R 11 dx x2Pn 1(x)Pn+1(x).

Найти разложение в ряд по полиномам Лежандра Pn(x) монома xk.

9.ПОЛИНОМЫ ЭРМИТА

Полиномы Эрмита естественно возникают в зада- че о квантовом осцилляторе, которая является одной из базисных задач квантовой механики. Одномерная квантовая частица, движущаяся в квадратичном потенциале (это и есть осциллятор), описывается следующим стационарным уравнением Шр¼дингера

где первый член кинетическая энергия, второй членпотенциальная энергия, а E энергия частицы. После подстановки = exp( x2=2)u уравнение (9.1) сво-

дится к виду

которое мы и исследуем в дальнейшем. Отметим, что оператор в (9.2) относится к типу Штурма-Лиувилля (2.6).

Уравнение (9.2) инвариантно относительно замены x ! x и потому имеет четные и нечетные решения.

Четное решение может быть разложено в ряд по четным степеням x:

1

X

u = akx2k:

k=0

Рис. 3: Несколько первых полиномов Эрмита.

Подставляя это выражение в уравнение (9.2) и приравнивая коэффициенты при степенях x, мы находим

рекуррентное соотношение

2k n

ak+1 = (k + 1)(2k + 1)ak;

которое позволяет последовательно вычислять коэффициенты разложения u в ряд по x. При больших

k мы находим ak+1 ak=k, что дает асимптотику u / exp(x2) на больших x. Единственным исключе-

нием являются четные n, тогда ряд по x обрывается на k = n=2, и мы имеем дело с конечным полино-

мом. Аналогичным образом можно показать, что ряд по нечетным степеням x, представляющий нечетное

решение уравнения (9.2), обрывается, если n нечетно.

Таким образом, мы приходим к выводу, что уравнение (9.2) имеет решения в виде конечных полиномов при неотрицательных целых n.

Непосредственная проверка, то есть подстановка в уравнение (9.2), показывает, что при неотрицательных целых n полиномиальные решения уравнения

(9.2) сводятся к полиномам Эрмита, которые определяются следующим выражением

Отсюда получаются следующие значения полиномов Эрмита в нуле

H2n(0) = ( 1)n2n(2n 1)!!; H2n+1(0) = 0; (9.4)

где (2n 1)!! (2n 1)(2n 3) : : : . Первые полиномы Эрмита записываются в следующем виде

H0(x) = 1; H1(x) = 2x; H2(x) = 4x2 2: (9.5)

Графики нескольких первых полиномов Эрмита приведены на рисунке 3.

Рассмотрим сумму

1

X

(tn=n!)Hn(x);

n=0

19

которая после подстановки определения (9.3) дает разложение в ряд Тейлора exp[ (x t)2]. С использо-

ванием этого результата мы приходим к соотношению

Таким образом, функция в левой части соотношения (9.6) является производящей функцией полиномов Эрмита. Дифференцируя соотношение (9.6) по x,

мы находим выражение для производной

Далее, беря производную по t от соотношения (9.6) и приравнивая коэффициенты при степенях t, мы полу- чаем

Это рекуррентное соотношение позволяет последовательно вычислять полиномы Эрмита.

Для полиномов Эрмита справедливо интегральное представление

Для доказательства заметим, что представление (9.9) воспроизводит соотношение (9.7), а также удовлетворяет (9.4). Таким образом, мы можем по индукции, переходя от n 1 к n, обосновать представление (9.9).

Представляя подынтегральное выражение в соотношении (9.9) exp[n ln(x + it) t2] и используя для боль-

ших n метод перевала, мы находим (суммируя вклады от двух перевальных точек) выражение

p

Hn(x) 2 (2n=e)n=2 exp(x2=2)

справедливое при n x; 1.

Возвратимся теперь к уравнению (9.1). Функцииn(x) / exp( x2=2)Hn(x) составляют полный набор

решений этого уравнения, стремящиеся к нулю при x ! 1. В силу того, что оператор в левой части

уравнения (9.1) является самосопряженным на этом классе функций, то n являются ортогональными, то

R

åñòü dx n(x) m(x) = 0, если n 6= m. Это означает

Z

dx exp( x2)Hn(x)Hm(x) = 0: (9.11)

Отнормируем теперь функции n(x) так, чтобы этот

Отсюда находим ортонормированный базис

Докажем теперь полноту базиса (9.13). Для этого

Сумма по n представляет собой ряд Тейлора, который собирается в exp[ (y + iq=2)2]. Подставляя этот результат в полученную выше формулу, мы находим

X

n(x) n(y) = exp(x2=2 y2=2)

n

Z +1 dq exp[iq(x y)] = (x y);

1 2

что завершает доказательство полноты.

Таким образом, любую функцию f(x), заданную на действительных x и не слишком быстро стремящуюся к бесконечности при x ! 1, можно разложить в ряд по базису (9.13):

Это разложение можно переписать в терминах полиномов Эрмита

Доказать, что старший член разложения Hn(x) имеет вид 2nxn.

Найти значение интеграла

Z +1

dx exp( x2)H2n(xy):

1

Найти значение интеграла

Z +1

dx exp[ (x y)2]Hn(x):

1

20

Найти значение интеграла

Z +1

dx x exp( x2)H2n 1(xy):

1

Найти значение интеграла

Z +1

dx xn exp( x2)Hn(xy):

1

Примечание: Ответ выражается через полиномы Лежандра.

Найти значение интеграла

Z +1

dx exp( x2) sinh( x)H2n+1(x):

0

Найти значение интеграла

Z +1

dx exp( x2) cosh( x)H2n(x):

0

Доказать соотношение

Hn(x) = exp 1 d22 (2x)n:

4 dx

Указание: просуммировать по n правую часть этого соотношения с весом tn=n! и показать, что

эта сумма сводится к левой части соотношения (9.6).

Доказать соотношение (9.12). Указание: составить комбинацию exp( t2 +2tx s2 +2sx), âûðà-

зить ее через двойную сумму по полиномам Эр-

мита из соотношения (9.6) и проинтегрировать получившееся равенство по x с весом exp( x2).

На этом пути получатся и соотношения ортогональности.

10.ВЫРОЖДЕННАЯ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ

Вырожденная гипергеометрическая функция( ; ; z) (con uent hypergeometric function) возника-

ет во многих задачах математической физики. Она является решением вырожденного гипергеометриче- ского уравнения

где и произвольные параметры. Уравнение (10.1) переписывается в виде u00 + ( =z 1)u0 ( =z)u = 0,