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Кожевников. Матрицы и СЛУ

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50

’¥®à¥¬ 6.4 (¯à®¨§¢¥¤¥-¨¥ ®¯à¥¤¥«¨â¥«¥©). 8 A; B 2 Mn£n

¢ë¯®«-¥-® jABj = jAj ¢ jBj.

B 1) …᫨ jAj = 0, â® ¯® ⥮६¥ 6.3 rg A < n ) (¯® ¯à¥¤«®¦¥-¨î 3.3) rg(AB) < n ) (¯® ⥮६¥ 6.3) jABj = 0.

2) …᫨ jAj =6 0, â® A ¬®¦-® ¯à¥¤áâ ¢¨âì ¢ ¢¨¤¥ ¯à®¨§¢¥¤¥-¨ï

-¥áª®«ìª¨å í«¥¬¥-â à-ëå ¬ âà¨æ (⥮६ 4.3): A = S1S2 : : : Sk. ’®£¤ ¨§ «¥¬¬ë á«¥¤ã¥â, çâ® jAj = jS1j ¢ jS2 : : : Skj = jS1j ¢ jS2j ¢ jS3 : : :

:: : Skj = : : : = jS1j ¢ jS2j ¢ jS3j ¢ : : : ¢ jSkj. ’ ª¦¥ jABj = jS1S2 : : : SkBj = = jS1j ¢ jS2 : : : SkBj = jS1j ¢ jS2j ¢ jS3 : : : SkBj = : : : = jS1j ¢ jS2j ¢ jS3j ¢ : : :

:: : ¢ jSkj ¢ jBj = jAj ¢ jBj. ¤

‘«¥¤á⢨¥. …᫨ A | -¥¢ë஦¤¥-- ï ¬ âà¨æ ¯®à浪 n, â®

jA¡1j = jAj¡1.

B AA¡1 = E ) jAjjA¡1j = 1. ¤

’¥®à¥¬ 6.5 (âà -ᯮ-¨à®¢ -¨¥ ®¯à¥¤¥«¨â¥«ï). 8 A 2 Mn£n

¢ë¯®«-¥-® jAT j = jAj.

B 1) …᫨ jAj = 0, â® rg A < n ) rg(AT ) < n ) jAT j = 0.

2) •¥âàã¤-® ¢¨¤¥âì (á¬. ¯à¥¤«®¦¥-¨¥ 4.1), çâ® à ¢¥-á⢮ jST j = = jSj ¢¥à-® ¤«ï í«¥¬¥-â à-®© ¬ âà¨æë S. …᫨ jAj 6= 0, â® A ¬®¦-®

¯à¥¤áâ ¢¨âì ¢ ¢¨¤¥ ¯à®¨§¢¥¤¥-¨ï -¥áª®«ìª¨å í«¥¬¥-â à-ëå ¬ âà¨æ:

S

: : : S

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T j

A

=

S

S

 

: : : S

= S

S

2j

: : :

S

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j

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A =TS1T 2

 

kT

 

j T j

1

 

2

T kj

j 1j ¢ j

 

j

 

kj j

 

 

= jSk S1 : : : S1 j = jSk j ¢ jS1j : : : jS1 j = jSkj ¢ jS1j ¢ : : : ¢ jS1j. ¤

 

‘«¥¤á⢨¥.

Ž¯à¥¤¥«¨â¥«ì -¨¦-¥âà¥ã£®«ì-®©

 

¬ âà¨æë

à ¢¥-

¯à®¨§¢¥¤¥-¨î ¤¨ £®- «ì-ëå í«¥¬¥-⮢.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B ‘«¥¤ã¥â ¨§ ⥮६ë 6.1. ¤

•а¥¤л¤гй п в¥®а¥¬ гбв - ¢«¨¢ ¥в "а ¢-®¯а ¢¨¥" ¬¥¦¤г бва®- ª ¬¨ ¨ бв®«¡ж ¬¨, зв® ¯®§¢®«п¥в ¢® ¬-®£¨е ¤®ª § --ле гв¢¥а¦¤¥- -¨пе бва®ª¨ § ¬¥-¨вм - бв®«¡жл. Ž¡к¥¤¨-¨¬ ¯®«гз¥--л¥ а¥§г«м- в вл ¢ б«¥¤гойго в¥®а¥¬г.

’¥®à¥¬ 6.6. •ਠ¢ë¯®«-¥-¨¨ í«¥¬¥-â à-®£® ¯à¥®¡à §®¢ -¨ï áâப ¨ á⮫¡æ®¢

I ⨯ | ®¯à¥¤¥«¨â¥«ì ¬¥-ï¥â §- ª;

51

II ⨯ (ã¬-®¦¥-¨¥ áâப¨ ¨«¨ á⮫¡æ - ¸) | ®¯à¥¤¥«¨â¥«ì ã¬-®¦ ¥âáï - ¸;

III⨯ | ®¯à¥¤¥«¨â¥«ì -¥ ¨§¬¥-ï¥âáï.

B ‘«¥¤ã¥â ¨§ ⥮६ 6.5, 6.2 ¨ ¯à¥¤«®¦¥-¨© 6.1, 6.2. ¤

”®à¬ã« , - «®£¨ç- ï (4), ¬®¦¥â ¡ëâì § ¯¨á - ¨ ¤«ï «î¡®£® á⮫¡æ ¨«¨ áâப¨.

’¥®à¥¬ 6.7 (à §«®¦¥-¨¥ ¯® «î¡®¬ã á⮫¡æã ¨«¨ áâப¥).

„«ï ¬ âà¨æë A = (aij) 2 Mn£n ¢ë¯®«-¥-ë à ¢¥-á⢠:

1) jAj = Pn (¡1)i+jaijjAijj ¤«ï ª ¦¤®£® j = 1; 2; : : : ; n;

i=1

2) jAj = Pn (¡1)i+jaijjAijj ¤«ï ª ¦¤®£® i = 1; 2; : : : ; n:

j=1

B 1) •ਬ¥-¨¬ j ¡ 1 í«¥¬¥-â à-ëå ¯à¥®¡à §®¢ -¨© á⮫¡æ®¢ I ⨯ , ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì-® ¯®¬¥-ï¢ á⮫¡æë á -®¬¥à ¬¨ j ¨ j ¡ 1, j ¡ 1 ¨ j ¡ 2, ¨ â. ¤., 2 ¨ 1. ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, j-© á⮫¡¥æ ¯¥à¥¬¥á⨫áï - ¬¥áâ® 1-£®; ¯à¨ í⮬ ®¯à¥¤¥«¨â¥«ì ã¬-®¦¨«áï - (¡1)1. ’¥¯¥àì

-ã¦-®¥ à ¢¥-á⢮ á«¥¤ã¥â ¨§ ä®à¬ã«ë (4).

2) ‚®á¯®«ì§ã¥¬áï ⥮६®© 6.5. ’à -ᯮ-¨à㥬 ¬ âà¨æã (¯à¨

н⮬ б®®в¢¥вбв¢гой¨¥ ¤®¯®«-¨в¥«м-л¥ ¯®¤¬ ва¨жл ⮦¥ ва -б¯®- -¨аговбп) ¨ ¯а¨¬¥-¨¬ а ¢¥-бв¢®, ¤®ª § --®¥ ¢ ¯¥а¢®¬ ¯г-ªв¥. ¤

Ÿ¢-®¥ à §«®¦¥-¨¥ ®¯à¥¤¥«¨â¥«ï

•ãáâì (i1; i2; : : : ; in) | ¯¥à¥áâ -®¢ª ç¨á¥« a1 < a2 < : : : < an

(â. ¥. ç¨á« a1; a2; : : : ; an, § ¯¨á --ë¥ ¢ -¥ª®â®à®¬ ¯®à浪¥). —¥- १ S(a1; a2; : : : ; an) ®¡®§- 稬 ¬-®¦¥á⢮ ¢á¥å ¯¥à¥áâ -®¢®ª ç¨á¥«

a1; a2; : : : ; an.

•㤥¬ £®¢®à¨âì, çâ® ¯ à ik, il, £¤¥ 1 6 k < l 6 n, ï- ¥âáï ¨-¢¥àᨥ©, ¥á«¨ ik > il. ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ª ¦¤®© ¯¥à¥áâ -®¢ª¥ (i1; i2; : : : ; in) ᮮ⢥âáâ¢ã¥â -¥ª®â®à®¥ ç¨á«® ¨-¢¥àᨩ; ®¡®§- 稬 ¥£® N(i1; i2; : : : ; in). …᫨ N(i1; i2; : : : ; in) | ç¥â-®¥ ç¨á«®, â® ¯¥à¥áâ -

-®¢ª (i1; i2; : : : ; in) - §ë¢ ¥âáï ç¥â-®©, ¢ ¯à®â¨¢-®¬ á«ãç ¥ | -¥- ç¥â-®©.

52

’¥®à¥¬ 6.8. „«ï ¬ âà¨æë A =

(aij) 2 Mn£n ¢ë¯®«-¥-® à -

¢¥-á⢮

 

 

 

jAj =

(¡1)N(i1;i2;:::;in)ai11ai22 : : : ainn:

(5)

;:::;i )

2

 

 

(i1;i2X n

 

 

S(1;2;:::;n)

 

 

B •ਬ¥-¨¬ ¨-¤ãªæ¨î ¯® n. • §

¨-¤ãªæ¨¨ âਢ¨ «ì- .

 

•¥à¥áâ -®¢ª¨ (i1; i2; : : : ; in) ¨§ S(1; 2; : : : ; n), ¤«ï ª®â®àëå i1 à ¢-® 䨪á¨à®¢ --®¬ã i 2 f1; 2; : : : ; ng, ¨¬¥îâ ¢¨¤ (i; i2; : : : ; in), £¤¥ (i2; : : :

: : : ; in) | ¯¥à¥áâ -®¢ª ¨§ S(1; 2; : : : ; i ¡1; i + 1; : : : ; n). ‡ ¬¥â¨¬, çâ®

N(i; i2; : : : ; in) = N(i2; : : : ; in) + i ¡ 1, â ª ª ª i1 = i ¢å®¤¨â ஢-® ¢

i ¡ 1 ¨-¢¥àᨩ. Žâáî¤ á㬬 ¢ ¯à ¢®© ç á⨠(5) à ¢-

n

 

(¡1)N(i;i2;:::;in)ai1ai22 : : : ainn =

n

 

 

ai1Si1; £¤¥

i=1

;:::;i )

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X

(i;i2Xn

 

 

X

 

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Si1 =

 

 

(¡1)N(i2;:::;in)+1ai22 : : : ainn =

 

 

(i2

;:::;i )

2

 

 

 

Xn

 

 

S(1;:::;i¡1;i+1;:::;n)

 

= (¡1)i+1

 

(¡1)N(i2;:::;in)ai22 : : : ainn:

 

 

 

(i2

;:::;i

 

 

 

 

Xn)2

 

 

 

S(1;2;:::;i¡1;i+1;:::;n)

 

Š ª ¢¨¤¨¬, á㬬

Si1 à ¢- (¯® ¯à¥¤¯®«®¦¥-¨î ¨-¤ãªæ¨¨)

(¡1)i+1jAi1j (¢ ¯®¤¬ âà¨æ¥ Ai1 бва®ª¨ -г¬¥аговбп з¨б« ¬¨ 1; 2; : : :

: : : ; i ¡ 1; i + 1; : : : ; n, á⮫¡æë | ç¨á« ¬¨ 2; 3; : : : ; n), ¯®í⮬ã (5) á«¥¤ã¥â ¨§ (4). ¤

”®à¬ã«ë á ¨á¯®«ì§®¢ -¨¥¬ ®¯à¥¤¥«¨â¥«ï

®¡®§- -

„«ï ¬ âà¨æë

 

¨ á⮫¡æ

 

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A 2 Mn£n

 

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B .

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C

 

 

 

 

 

 

 

B nC

 

- á⮫¡¥æ t.

稬 ¬ âà¨æã, ¯®«ãç¥--ãî ¨§ A § ¬¥-®© k@-£® A

 

 

 

 

 

 

á⮫¡æ

 

 

53

‡ ¬¥â¨¬, çâ® ¯® ⥮६¥ 6.7 á㬬 Pn (¡1)i+ktijAikj à ¢- ®¯à¥¤¥-

i=1

«¨â¥«î jAk(t)j.

•।«®¦¥-¨¥ 6.3 (¯à ¢¨«® Šà ¬¥à ). •ãáâì A 2 Mn£n | -¥-

 

 

 

 

 

x1

1

 

 

 

¢ë஦¤¥-- ï ¬ âà¨æ , ¨ á⮫¡¥æ

 

0x2

 

 

 

 

 

 

 

X = B .

C

ï¥âáï (¥¤¨-áâ-

 

 

 

 

 

Bx

C

 

 

 

 

 

 

 

 

B nC

 

AX = b. ’®£¤

¢¥--ë¬) à¥è¥-¨¥¬ á¨áâ¥¬ë «¨-¥©-ëå

ãà ¢-¥-¨©

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A

 

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k = 1; 2; : : : ; n).47

 

 

 

 

 

 

 

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„®¬-®¦¨¬ i-¥ ãà ¢-¥-¨¥ á¨á⥬ë - (

 

1)i+k A

, ¨ á«®¦¨¬

 

 

 

 

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jn ikj

 

¢á¥ ¯®«ã稢訥áï ãà ¢-¥-¨ï. •®«ã稬 ãà ¢-¥-¨¥ j=1 cjxj = d, £¤¥

 

n

 

 

 

n

 

 

 

P

 

P P

cj = (¡1)i+kjAikjaij = jAk(a²j)j, d = (¡1)i+kjAikjbi = jAk(b)j. i=1 i=1

•ਠj 6= k ¬ âà¨æ Ak(a²j) ¨¬¥¥â ¤¢ à ¢-ëå á⮫¡æ (j-© ¨ k-©), ¯®í⮬ã cj = jAk(a²j)j = 0. •®áª®«ìªã Ak(a²k) = A, ¨¬¥¥¬ jAjxk =

= jAk(b)j. ¤

•।«®¦¥-¨¥ 6.4 (ä®à¬ã« ®¡à â-®© ¬ âà¨æë). •ãáâì A =

= (a )

M

| -¥¢ë஦¤¥-- ï ¬ âà¨æ , A¡1 = (x

ij

). ’®£¤

ij

2 i+jn£n

 

 

 

 

xij =

(¡1) jAjij

 

(¤«ï

i = 1; 2; : : : ; n, j = 1; 2; : : : ; n).

 

 

 

 

jAj

 

 

 

 

B ˆ§ à ¢¥-áâ¢

AA¡1 = E á«¥¤ã¥â, çâ® á⮫¡¥æ x²j

®¡à â-®©

¬ âà¨æë ï¥âáï à¥è¥-¨¥¬ á¨á⥬ë Ax²j = ej, £¤¥ ¢ á⮫¡æ¥ ej ¢á¥

í«¥¬¥-âë, §

¨áª«îç¥-¨¥¬ ¥¤¨-¨æë - j-¬ ¬¥á⥠| -㫨. •® ¯à -

¢¨«ã Šà ¬¥à

x

 

=

jAi(ej)j

. • ᪫ ¤ë¢ ï j

A

(e )

j

¯® i-¬ã á⮫¡æã,

 

 

ij

 

j

A

j

i

j

 

 

 

 

 

 

i+j

jAjij. ¤

 

 

 

 

¯®«ãç ¥¬, çâ® jAi(ej)j = (¡1)

 

 

 

 

47•à ¢¨«® Šà ¬¥à ¯®ª §ë¢ ¥â, 祬ã à ¢-ë ª®íä䍿¨¥-âë ¢ à §«®¦¥-¨¨ ¯® ¢¥ªâ®à ¯® ¡ §¨áã ¢ â¥à¬¨- å ®à¨¥-â¨à®¢ --ëå ®¡ê¥¬®¢.

54

‡ ¤ ç¨ ¨ ã¯à ¦-¥-¨ï

1. ‚ëç¨á«¨â¥ ®¯à¥¤¥«¨â¥«ì ¬ âà¨æë ¯®à浪

n:

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¯2 1 2 : : :

 

2

 

 

 

 

 

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¯2 2 1 : : :

 

2¯

 

 

 

 

¯0 1 2 : : :

0¯

 

 

 

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1 2 2 : : :

 

2

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2 1 0 : : :

0

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: : : : : : : : : :

 

 

 

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2 1¯

 

 

 

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¯0 0 : : :

1 2¯

 

 

 

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2. „ -ë ¬ âà¨æë

A

 

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Mm m

,

B

 

¯

 

 

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,

C

 

 

 

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2

Mn

£

 

2

Mm n. „®ª ¦¨â¥,

 

 

 

 

 

 

2

£

 

 

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£

¯

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B

çâ® ®¯à¥¤¥«¨â¥«ì ¡«®ç-®© ¬ âà¨æë á "㣫®¬ -ã«¥©"

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

C

à ¢¥- jAj ¢ jBj.

3.Š ª ¨§¬¥-¨âáï ®¯à¥¤¥«¨â¥«ì ¬ âà¨æë A 2 Mn£n, ¥á«¨ ) ¯¥à¥- áâ ¢¨âì ¥¥ áâப¨ ¢ ®¡à â-®¬ ¯®à浪¥; ¡) "®âà §¨âì" ¬ âà¨æã ᨬ¬¥âà¨ç-® ®â-®á¨â¥«ì-® ¥¥ æ¥-âà ?

4. ) ‚ëà §¨â¥ j ¡ Aj ç¥à¥§ jAj (¢ § ¢¨á¨¬®á⨠®â ¯®à浪 n ¬ â-

à¨æë A). ¡) „®ª ¦¨â¥, çâ® ª®á®á¨¬¬¥âà¨ç¥áª ï ¬ âà¨æ -¥- ç¥â-®£® ¯®à浪 ¢á¥£¤ ¢ë஦¤¥-- ï.

5.„®ª ¦¨â¥, çâ® (¯à¨ n > 2) ¢ ï¢-®¬ à §«®¦¥-¨¨ ®¯à¥¤¥«¨â¥«ï ª®«¨ç¥á⢠᫠£ ¥¬ëå á® §- ª®¬ "+" ¨ á® §- ª®¬ "¡" à ¢-ë.

6.•ãáâì ¢á¥ í«¥¬¥-âë ª¢ ¤à â-®© ¬ âà¨æ A | æ¥«ë¥ ç¨á« ,

¯à¨ç¥¬ ¢á¥ í«¥¬¥-âë - £« ¢-®© ¤¨ £®- «¨ -¥ç¥â-ë¥, ¢-¥ £« ¢-®© ¤¨ £®- «¨ ç¥â-ë¥. „®ª ¦¨â¥, çâ® ¬ âà¨æ A -¥¢ë-

஦¤¥-- ï.

7.„ - ®¡à ⨬ ï ¬ âà¨æ A, ¢á¥ í«¥¬¥-âë ª®â®à®© | æ¥«ë¥ ç¨á« . „®ª ¦¨â¥, çâ® ¢á¥ í«¥¬¥-âë ¬ âà¨æë A¡1 | æ¥«ë¥ ç¨á« , jAj = §1.

55

•ਫ®¦¥-¨¥

‹®£¨ª

‚ «®£¨з¥бª¨е а бб㦤¥-¨пе ¨-®£¤ ¤«п ªа вª®бв¨ ¨б¯®«м§говбп б«¥¤гой¨¥ §- ª¨.

) | §- ª á«¥¤á⢨ï (¨¬¯«¨ª 樨); - ¯à¨¬¥à, § ¯¨áì A ) B ®§- ç ¥â, çâ® ¨§ ã⢥ত¥-¨ï A á«¥¤ã¥â ã⢥ত¥-¨¥ B.

, | §- ª íª¢¨¢ «¥-â-®á⨠(à ¢-®á¨«ì-®áâ¨), - ¯à¨¬¥à, § ¯¨áì A , B ®§- ç ¥â, çâ® ã⢥ত¥-¨¥ A ¢¥à-® ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ ¢¥à-® ã⢥ত¥-¨¥ B.

8 | ª¢ -â®à ¢á¥®¡é-®áâ¨; ®- § ¬¥-ï¥â á«®¢ "¤«ï «î¡®£®", "¯à¨

«î¡ëå" ¨ â.¤.

9 | ª¢ -â®à áãé¥á⢮¢ -¨ï; ®- § ¬¥-ï¥â á«®¢® "áãé¥áâ¢ã¥â".

ˆ-®£¤ ¬ë ¡ã¤¥¬ ¯®«ì§®¢ âìáï ¯à¨-樯®¬ ¬ ⥬ â¨ç¥áª®© ¨-- ¤ãªæ¨¨, ª®â®àë© § ª«îç ¥âáï ¢ á«¥¤ãî饬.

•ãáâì ¨¬¥¥âáï ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì-®áâì ã⢥ত¥-¨© T1, T2, T3, . . . ,

¯à® ª®â®àãî ¨§¢¥áâ-®, çâ®

1) T1 ¢¥à-® (¡ § ¨-¤ãªæ¨¨);

2)¨§ ⮣®, çâ® Tn ¢¥à-®, ¢ë⥪ ¥â, çâ® Tn+1 ¢¥à-® (¤«ï n =

=1; 2; 3; : : :) (¯¥à¥å®¤ ¨«¨ è £ ¨-¤ãªæ¨¨).

’®£¤ ¢áï ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì-®áâì á®á⮨⠨§ ¢¥à-ëå ã⢥ত¥-¨©. ‚®§¬®¦- ¢ ਠæ¨ï ãá«®¢¨ï 2): ¨§ ¯à¥¤¯®«®¦¥-¨ï, çâ® ã⢥à¦-

¤¥-¨ï T1, T2, . . . , Tn ¢¥à-ë, ¢ë⥪ ¥â, çâ® Tn+1 ¢¥à-® (¤«ï n =

= 1; 2; 3; : : :).

Œ-®¦¥áâ¢

Œ-®¦¥á⢮ | í⮠ᮢ®ªã¯-®áâì -¥ª®â®àëå ®¡ê¥ªâ®¢, í⨠®¡ê- ¥ªâë - §ë¢ îâáï í«¥¬¥-â ¬¨ ¤ --®£® ¬-®¦¥á⢠.

•à¨-ïâë á«¥¤ãî騥 ®¡®§- ç¥-¨ï:

‚ª«îç¥-¨¥ a 2 A ®§- ç ¥â, çâ® í«¥¬¥-â a ¯à¨- ¤«¥¦¨â ¬-®- ¦¥áâ¢ã A; a 2= A | í«¥¬¥-â a -¥ ¯à¨- ¤«¥¦¨â ¬-®¦¥áâ¢ã A.

56

Œ-®¦¥á⢠, ᮤ¥à¦ 騥 å®âï ¡ë ®¤¨- í«¥¬¥-â, - §ë¢ îâáï -¥- ¯ãáâ묨; ¯ãá⮥ ¬-®¦¥á⢮ (â® ¥áâì ¬-®¦¥á⢮, -¥ ᮤ¥à¦ 饥 í«¥- ¬¥-⮢) ®¡®§- ç ¥âáï ?.

…᫨ ¢ ¬-®¦¥á⢥ ¡¥áª®-¥ç-®¥ ç¨á«® í«¥¬¥-⮢, â® ¬-®¦¥á⢮ - §ë¢ ¥âáï ¡¥áª®-¥ç-ë¬, ¢ ¯à®â¨¢-®¬ á«ãç ¥ ®-® - §ë¢ ¥âáï ª®-¥ç- -ë¬. Š®-¥ç-®¥ ¬-®¦¥á⢮ ¬®¦¥â § ¤ ¢ âìáï ¯¥à¥ç¨á«¥-¨¥¬ ᢮¨å í«¥¬¥-⮢, ᪠¦¥¬, A = fa1; a2; : : : ; ang.

•à¨-ïâë ®¡®§- ç¥-¨ï N, Z, Q, R ᮮ⢥âá⢥--® ¤«ï ¬-®¦¥áâ¢

- âãà «ì-ëå, 楫ëå, à æ¨®- «ì-ëå ¨ ¢¥é¥á⢥--ëå (¤¥©á⢨⥫ì- -ëå) ç¨á¥«.

ƒ®¢®àïâ, çâ® ¬-®¦¥á⢮ B ï¥âáï ¯®¤¬-®¦¥á⢮¬ ¬-®¦¥á⢠A (¨-®£¤ £®¢®àïâ, çâ® B ¢«®¦¥-® ¢ A), ¥á«¨ x 2 B ) x 2 A. Ž¡®§- ç¥-¨¥: B ½ A ¨«¨ B µ A. ‡ ¬¥â¨¬, çâ® ? µ A ¤«ï «î- ¡®£® ¬-®¦¥á⢠A. Œ-®¦¥á⢠A ¨ B - §ë¢ îâáï à ¢-묨, ¥á«¨ ®¤-®¢à¥¬¥--® B µ A ¨ A µ B. •®¤¬-®¦¥á⢮ ¬®¦-® ¢ë¤¥«¨âì -¥ª®â®àë¬ ãá«®¢¨¥¬. „«ï ¯®¤¬-®¦¥áâ¢ í«¥¬¥-⮢ ¬-®¦¥á⢠A,

㤮¢«¥â¢®àïîé¨å ãá«®¢¨î X, ¯à¨¬¥¬ ®¡®§- ç¥-¨¥ fa 2 A j Xg. • -

¯à¨¬¥à, ¯®¤¬-®¦¥á⢮ ç¥â-ëå (楫ëå) ç¨á¥« ¬®¦-® § ¤ âì § ¯¨áìî fn 2 Zj 9k 2 Zn = 2kg ¨«¨ ¡®«¥¥ ª®à®âª® f2k j k 2 Zg.

• ¤ ¬-®¦¥бв¢ ¬¨ ®¯а¥¤¥«повбп б«¥¤гой¨¥ ®¯¥а ж¨¨. Ž¡к¥¤¨-¥-¨¥ ¬-®¦¥бв¢ A ¨ B | íâ® ¬-®¦¥á⢮ í«¥¬¥-⮢ x, ¤«ï

ª®â®àëå ¨¬¥¥â ¬¥áâ® å®âï ¡ë ®¤-® ¨§ ¤¢ãå ¢ª«îç¥-¨©: x 2 A, x 2 2 B. Ž¡®§- ç¥-¨¥: A SB. Œ®¦-® ®¯à¥¤¥«¨âì ®¡ê¥¤¨-¥-¨¥ S Ai

i2I

(i ¯à®¡¥£ ¥â ¬-®¦¥á⢮ ¨-¤¥ªá®¢ I) ª ª ¬-®¦¥á⢮ í«¥¬¥-⮢, ¯à¨-

- ¤«¥¦ é¨å å®âï ¡ë ®¤-®¬ã ¨§ ¬-®¦¥á⢠Ai, i 2 I.

•¥à¥á¥ç¥-¨¥ ¬-®¦¥á⢠A ¨ B | íâ® ¬-®¦¥á⢮ í«¥¬¥-⮢ x, ¤«ï

ª®â®àëå ¨¬¥îâ ¬¥áâ® ®¡

T

¢ª«îç¥-¨ï: x 2 A, x 2 B. Ž¡®§- ç¥-¨¥:

2 T j 2

g

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T

B = fx 2

A B. ˆ- ç¥ £®¢®àï, A

 

B = fx 2 A j x 2 Bg (¨«¨ A

 

-¥¯¥à¥á¥ª î騥áï. Œ®¦-®T®¯à¥¤¥«¨âì ¯¥à¥á¥ç¥-¨¥ i2I

Ai ª ª ¬-®-

B x

A . ‚ á«ãç ¥ A

B = £®¢®àïâ, çâ® ¬-®¦¥áâ¢

A ¨ B

¦¥á⢮ í«¥¬¥-⮢, ¯à¨- ¤«¥¦ é¨å ª ¦¤®¬ã ¨§ ¬-®¦T

 

Ai

 

i 2 I

 

 

 

 

 

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• §-®áâìî ¬-®¦¥á⢠A ¨ B - §ë¢ ¥âáï ¬-®¦¥á⢮ fx 2 A j x 2= 2= Bg. Ž¡®§- ç¥-¨¥: A n B.

„¥ª àâ®¢ë¬ ¯à®¨§¢¥¤¥-¨¥¬ ¬-®¦¥á⢠A ¨ B - §ë¢ ¥âáï ¬-®- ¦¥á⢮ 㯮à冷ç¥--ëå ¯ à f(a; b) j a 2 A; b 2 Bg. Ž¡®§- ç¥-¨¥: A £ B. €- «®£¨ç-® ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¤¥ª à⮢® ¯à®¨§¢¥¤¥-¨¥ A1 £ A2 £

Ž¡à §®¬ ¯®¤¬-®¦¥áâ¢

57

£: : :£An ª ª ¬-®¦¥á⢮ n-®ª f(a1; a2; : : : ; an) j a1 2 A1; : : : ; an 2 Ang.

…᫨ A1 = A2 = : : : = An = A, â® ¤¥ª à⮢® ¯à®¨§¢¥¤¥-¨¥ A1 £ A2 £ £ : : : £ An ®¡®§- ç ¥âáï â ª¦¥ An.

‡- ª á㬬¨à®¢ -¨ï

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

‘㬬ã a1 + a2 + : : : + an ª®à®âª® ®¡®§- ç îâ ai. ‘㬬ã ç¨á¥«

 

 

 

 

 

 

 

 

i=1

 

 

ai, £¤¥ i ¯à®¡¥£ ¥â ª®-¥ç-®¥ ¬-®¦¥á⢮ ¨-¤¥ªá®¢ IP, ®¡®§- ç îâ

i2I

ai.

Žâ¬¥â¨¬ á«¥¤ãî騥 ᢮©áâ¢

§- ª

á㬬¨à®¢ -¨ï.

P

 

 

(‹¨-¥©-®áâì §- ª

á㬬¨à®¢ -¨ï) „«ï «î¡ëå ç¨á¥« a1; a2; : : :

: : : ; an; b1; b2; : : : ; bn ¢ë¯®«-¥-ë à ¢¥-á⢠:

n

 

 

1)

n

n

 

n

 

n

 

 

 

=1(ai

+ bi) = i=1 ai + i=1 bi; 2)

=1

¸ai = ¸ i=1 ai.

 

 

 

iP

P

 

P

 

iP

 

P

 

 

 

(ˆ§¬¥-¥-¨¥ ¯®à浪

¯à¨ ¤¢®©-®¬ á㬬¨à®¢ -¨¨) „«ï mn ¤¥©áâ-

¢¨â¥«ì-ëå ç¨á¥«

a11; a12; : : : ; a1n; a21; : : : ; a2n; : : : ; am1; : : : ; amn ¢ë-

¯®«-¥-® à ¢¥-á⢮

m

n

=

n m

 

 

 

=1 j=1 aij

=1 i=1 aij.

 

 

 

 

 

 

iP P

jP P

 

 

 

 

B ‡ ¯¨è¥¬ ç¨á«

¢ â ¡«¨æã (¬ âà¨æã). ‚ëç¨á«¨¬ á㬬㠢á¥å

í«¥¬¥-⮢ ¬ âà¨æë, ¯à®á㬬¨à®¢ ¢ í«¥¬¥-âë ¯® á⮫¡æ ¬,

§ ⥬

¯® áâப ¬. •ਠí⮬ ¯®«ã稬 «¥¢ãî ç áâì à ¢¥-á⢠. •à®á㬬¨-

஢ ¢ ¢- ç «¥ ¯® áâப ¬,

§ ⥬ ¯® á⮫¡æ ¬, ¯®«ã稬 ¯à ¢ãî

ç áâì à ¢¥-á⢠. ¤

 

 

 

 

 

 

 

 

•®-ïâ¨ï ®â®¡à ¦¥-¨ï ¨ ¯à¥®¡à §®¢ -¨ï

•ãáâì X ¨ Y | ¯à®¨§¢®«ì-ë¥ ¬-®¦¥á⢠. ƒ®¢®àïâ, çâ® § ¤ -® ®â®¡à ¦¥-¨¥ f ¬-®¦¥á⢠X ¢ ¬-®¦¥á⢮ Y (¨«¨ ®â®¡à ¦¥-¨¥ ¨§ X ¢ Y ), ¥á«¨ ª ¦¤®¬ã í«¥¬¥-âã x 2 X ¯®áâ ¢«¥- ¢ ᮮ⢥âá⢨¥

¬¥-â

y 2 Y

. Ž¡®§- ç¥-¨ï ¤«ï ®â®¡à ¦¥-¨ï:

¥¤¨-á⢥--ë© í«¥ f

 

f : X ! Y ¨«¨ X ! Y .

 

 

X0 ½ X ¯à¨ ®â®¡à ¦¥-¨¨ f : X ! Y - §ë¢ ¥âáï ¬-®¦¥á⢮ ff(x) j x 2 X0g. Ž¡®§- ç¥-¨¥: f(X0). Ž¡à § f(X) ¢á¥£® ¬-®¦¥á⢠X ¯à¨ ®â®¡à ¦¥-¨¨ f : X ! Y - §ë¢ ¥âáï

58

â ª¦¥ ®¡à §®¬ ®â®¡à ¦¥-¨ï f. •®¬¨¬® f(X) ¤«ï ®¡à § ®â®¡à ¦¥- -¨ï ¨á¯®«ì§ã¥âáï ®¡®§- ç¥-¨¥ Im f.

Žâ®¡à ¦¥-¨¥ f : X ! X ¬-®¦¥á⢠X ¢ ᥡï - §ë¢ ¥âáï â ª¦¥ ¯à¥®¡à §®¢ -¨¥¬ ¬-®¦¥á⢠X. •८¡à §®¢ -¨¥ f : X ! X - §ë- ¢ ¥âáï ⮦¤¥á⢥--ë¬ ¯à¥®¡à §®¢ -¨¥¬, ¥á«¨ 8x 2 X f(x) = x. Ž¡®§- ç¥-¨¥: IX.

•ãáâì ¤ -ë -¥ª®â®àë¥ ¬-®¦¥á⢠X, Y , Z ¨ ®â®¡à ¦¥-¨ï f : X ! Y , g : Y ! Z. Žâ®¡à ¦¥-¨¥ h : X ! Z, § ¤ --®¥ 8x 2 X

à ¢¥-á⢮¬ h(x) = g(f(x)), - §ë¢ ¥âáï ª®¬¯®§¨æ¨¥© ®â®¡à ¦¥-¨© g

¨ f ¨«¨ ¯à®¨§¢¥¤¥-¨¥¬ g - f. Š®¬¯®§¨æ¨ï ®¡®§- ç ¥âáï g ± f ¨«¨

gf.

„«ï ¯à®¨§¢¥¤¥-¨ï ®â®¡à ¦¥-¨© ¢ë¯®«-¥-® á«¥¤ãî饥 ᢮©á⢮ áá®æ¨ ⨢-®áâ¨.

•ãáâì ¤ -ë -¥ª®â®àë¥ ¬-®¦¥á⢠X, Y , Z, T ¨ ®â®¡à ¦¥-¨ï

f : X ! Y , g : Y ! Z, h : Z ! T . ’®£¤ h(gf) = (hg)f.

B •®«ì§ãïáì ¬-®£®ªà â-® ®¯à¥¤¥«¥-¨¥¬ ª®¬¯®§¨æ¨¨ ®â®¡à ¦¥-

-¨©, 8x 2 X ¨¬¥¥¬: (h(gf))(x) = h((gf)(x)) = h(g(f(x))). ‘ ¤à㣮© áâ®à®-ë, ((hg)f)(x) = (hg)(f(x)) = h(g(f(x))). ¤

Žâáî¤ ¬®¦-® ¯®«ãç¨âì á«¥¤ãî饥 ®¡®¡é¥-¨¥:

•ãáâì ¤ -ë ¬-®¦¥áâ¢

X1,

X2,

. . . ,

Xn+1

¨ ®â®¡à ¦¥-¨ï

fi : Xi ! Xi+1, i = 1; 2; : : : ; n.

’®£¤

¯à®¨§¢¥¤¥-¨¥ fnf1 : : : f1

®¯à¥¤¥«¥-® ¨ -¥ § ¢¨á¨â ®â ¯®à浪

¢ë¯®«-¥-¨ï ª®¬¯®§¨æ¨© (-¥

§ ¢¨á¨â ®â à ááâ -®¢ª¨ ᪮¡®ª).

 

 

 

 

 

 

B ˆá¯®«ì§ã¥¬ ¨-¤ãªæ¨î ¯® n.

• § :

n

= 3 (á¬.

¯à¥-

¤ë¤ã饥 ã⢥ত¥-¨¥).

•ãáâì

ã⢥ত¥-¨¥

¢¥à-® ¤«ï

ª®¬-

¯®§¨æ¨¨ 3; 4; : : : ; n ¡ 1 ®â®¡à ¦¥-¨©.

 

•ãáâì ¢ ¯à®¨§¢¥¤¥-

-¨¨ fnf1 : : : f1 ‘ª®¡ª¨

à ááâ ¢«¥-ë

¤¢ã¬ ᯮᮡ ¬¨:

g =

= (fnf1 : : : fk+1)(fkf1 : : : f1) ¨ h = (fnf1 : : : fl+1)(flf1 : : : f1)

(¢ ª ¦¤®¬ ¨§ б¯®б®¡®¢ ¬л ®в¬¥в¨«¨ ¯®б«¥¤-оо ®¯¥а ж¨о ª®¬¯®§¨- ж¨¨, ¢ ®бв «м-®¬ ®¯¥а ж¨¨ ¢л¯®«-повбп ¢ ¯а®¨§¢®«м-®¬ ¯®ап¤ª¥).

’ ª ª ª k < n, â® ¢ ᨫ㠯।¯®«®¦¥-¨ï ¨-¤ãªæ¨¨ ®â®¡à ¦¥-

-¨¥ (fkf1 : : : f1) : X1 ! Xk+1 -¥ § ¢¨á¨â ®â ¯®à浪 ¢ë¯®«-¥-

-¨ï ª®¬¯®§¨æ¨¨ (â® ¥áâì ᪮¡ª¨ ¢ í⮬ ¢ëà ¦¥-¨¨ ¬®¦-® à ááâ ¢- «ïâì ª ª 㣮¤-®, ®-® ®â í⮣® -¥ ¨§¬¥-¨âáï). ’ ª®¥ ¦¥ § ¬¥ç -¨¥

59

á¯à ¢¥¤«¨¢® ¨ ¤«ï ®â®¡à ¦¥-¨© (fnf1 : : : fk+1) : Xk+1 ! Xn+1,

(flf1 : : : f1) : X1 ! Xl+1, (fnf1 : : : fl+1) : Xl+1 ! Xn+1.

’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ¥á«¨ k = l, â® áà §ã ¯®«ãç ¥¬ g = h. •ãáâì ¤«ï ®¯à¥¤¥«¥--®á⨠k < l.

’®£¤ g = ((fnf1 : : : fl+1)(flf1 : : : fk+1))(fkf1 : : : f1),

h = (fnf1 : : : fl+1)((flf1 : : : fk+1)(fkf1 : : : f1)). ˆ§ ¯à¥¤ë¤ã-

饣® ã⢥ত¥-¨ï, ¯à¨¬¥-¥--®£® ª â६ ®â®¡à ¦¥-¨ï¬ (fkf1 : : :

: : : f1) : X1 ! Xk+1, (flf1 : : : fk+1) : Xk+1 ! Xl+1, (fnf1 : : :

: : : fl+1) : Xl+1 ! Xn+1, ¯®«ãç ¥¬, çâ® g = h. ¤

„®ª § --®¥ ᢮©á⢮ ¯à®¨§¢¥¤¥-¨ï ®â®¡à ¦¥-¨© ¯®§¢®«ï¥â ¤«ï

«î¡®£® n 2 N

ª®à४â-® ®¯à¥¤¥«¨âì

n

-î á⥯¥-ì ¯à¥®¡à §®¢ -¨ï

 

n

 

 

 

 

 

 

f : X ! X ª ª f

 

= ff : : : f. ˆ§ ¯à¥¤ë¤ã饣® ïá-®, çâ® 8 m; n 2 N

 

 

f

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{z

 

}

 

 

 

 

 

n ¡ãª¢ f

 

 

¢¥à-ë à ¢¥-áâ¢

 

 

m+n = fmfn ¨ fmn = (fm)n. „«ï ¯à®¨§¢¥¤¥-¨ï

®â®¡à ¦¥-¨© ஫ì "¥¤¨-¨æë" ¨£à ¥â ⮦¤¥á⢥--®¥ ¯à¥®¡à §®¢ -¨¥. Žâ®¡à ¦¥-¨¥ g : Y ! X - §ë¢ ¥âáï «¥¢ë¬ (¯à ¢ë¬) ®¡à â-ë¬

¤«ï ®â®¡à ¦¥-¨ï f : X ! Y , ¥á«¨ gf = IX (fg = IY ). •¥ ¤«ï ¢á类£® ®â®¡à ¦¥-¨ï f : X ! Y - ©¤¥âáï «¥¢®¥ ®¡à â-®¥ ®â®¡à ¦¥-¨¥. …᫨

®-® - ©¤¥âáï, â® ¡ã¤¥¬ £®¢®à¨âì, çâ® f ®¡à ⨬® á«¥¢ . €- «®£¨ç-®

®¯а¥¤¥«повбп ®в®¡а ¦¥-¨п, ®¡а в¨¬л¥ б¯а ¢ . Žв®¡а ¦¥-¨п, п¢«п- ой¨¥бп ®¤-®¢а¥¬¥--® ®¡а в¨¬л¬¨ б¯а ¢ ¨ б«¥¢ , ¡г¤¥¬ - §л¢ вм

®¡à ⨬묨.

„«ï ®¡à ⨬®£® ®â®¡à ¦¥-¨ï f : X ! Y áãé¥áâ¢ã¥â ¥¤¨-áâ-

¢¥--®¥ «¥¢®¥ ®¡à â-®¥ ®â®¡à ¦¥-¨¥ ¨ ¥¤¨-á⢥--®¥ ¯à ¢®¥ ®¡à â- -®¥ ®â®¡à ¦¥-¨¥, ¯à¨ç¥¬ ®-¨ à ¢-ë.

B •ãáâì g : Y ! X | -¥ª®â®à®¥ «¥¢®¥ ®¡à â-®¥ ®â®¡à ¦¥-¨¥ ¤«ï f, h : Y ! X | -¥ª®â®à®¥ ¯à ¢®¥ ®¡à â-®¥ ®â®¡à ¦¥-¨¥ ¤«ï

f. ’®£¤ g = gIY = g(fh), çâ® à ¢-® (gf)h = IXh = h. ˆâ ª, ª ¦¤®¥ «¥¢®¥ ®¡à â-®¥ ®â®¡à ¦¥-¨¥ g ᮢ¯ ¤ ¥â á h, ¨ §- ç¨â ®-®

¥¤¨-á⢥--®. €- «®£¨ç-®, ª ¦¤®¥ ¯à ¢®¥ ®¡à â-®¥ ®â®¡à ¦¥-¨¥ h ᮢ¯ ¤ ¥â á g, ¨, §- ç¨â, ®-® ¥¤¨-á⢥--®. ¤

„«ï ®¡à ⨬®£® ®â®¡à ¦¥-¨ï f : X ! Y ¥£® ¥¤¨-á⢥--®¥ «¥¢®¥

(®-® ¦¥ ¨ ¥¤¨-á⢥--®¥ ¯à ¢®¥) ®¡à â-®¥ ®â®¡à ¦¥-¨¥ ¡ã¤¥¬ - §ë- ¢ âì ®¡à â-ë¬ ®â®¡à ¦¥-¨¥¬ ¨ ®¡®§- ç âì f¡1.