Кожевников. Матрицы и СЛУ
.pdf
20
ª®â®à®© cik = ai ²b²k ¤«ï ¢á¥å i 2 f1; 2; : : : ; mg, k 2 f1; 2; : : : ; pg.
’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ¯à®¨§¢¥¤¥-¨¥ AB ®¯à¥¤¥«¥-®, ¥á«¨ ç¨á«® á⮫¡- 殢 ¬ âà¨æë A à ¢-® ç¨á«ã áâப ¬ âà¨æë B. Ž¯¥à æ¨î, ᮯ®áâ ¢-
«пойго г¯®а冷з¥--®© ¯ а¥ ¬ ва¨ж A ¨ B ¨å ¯à®¨§¢¥¤¥-¨¥, ¡ã¤¥¬ - §ë¢ âì ®¯¥à 樥© ã¬-®¦¥-¨ï.19
’¥®à¥¬ 3.1. 8 A; A0 2 Mm£n, 8 B; B0 2 Mn£p, 8 C 2 Mp£q,
8 ¸ 2 R ¢ë¯®«-¥-ë à ¢¥-á⢠:20
1) (AB)C = A(BC);
2) A(B + B0) = AB + AB0;
3) (A + A0)B = AB + A0B;
4) ¸(AB) = (¸A)B = A(¸B); 5) (AB)T = BT AT .
B •¥¯®á।á⢥-- ï ¯à®¢¥àª .21 ¤
19•®«¥¥ â®ç-®, ã¬-®¦¥-¨¥ | íâ® ®â®¡à ¦¥-¨¥ ¯à¨ ª®â®à®¬ '(A; B) = AB.
•à¨¢¥¤¥¬ -¥áª®«ìª® ¯à¨¬¥à®¢, ¬®â¨¢¨àãîé¨å â ª®¥ ®¯à¥¤¥«¥-¨¥ ã¬-®¦¥-¨ï ¬ âà¨æ.
1. …᫨ X ¨ Y | ª®®à¤¨- â-ë¥ á⮫¡æë ¢¥ªâ®à®¢ a ¨ b ¢ ®àâ®-®à¬¨à®¢ --®¬ ¡ §¨á¥, ⮠᪠«ïà-®¥ ¯à®¨§¢¥¤¥-¨¥ (a; b) à ¢-® XT Y .
2. •à®¨§¢¥¤¥-¨¥ ¬ âà¨æ ¯¥à¥å®¤ ®â ¡ §¨á e ª e0 ¨ ®â e0 ª e00 | ¬ âà¨æ ¯¥à¥- 室 ®â e ª e00.
3.Œ âà¨æ ª®¬¯®§¨æ¨¨ «¨-¥©-ëå ®â®¡à ¦¥-¨© ¢¥ªâ®à-ëå ¯à®áâà -áâ¢ à ¢- ¯à®¨§¢¥¤¥-¨î ¬ âà¨æ íâ¨å «¨-¥©-ëå ®â®¡à ¦¥-¨©.
4.Œ âà¨ç- ï § ¯¨áì ¡¨«¨-¥©-®© äã-ªæ¨¨ XT BY , £¤¥ X ¨ Y | ª®®à¤¨- â-ë¥
á⮫¡æë ¢¥ªâ®à®¢, |
|
|
B | ¬ âà¨æ |
|
¡¨«¨-¥©-®© äã-ªæ¨¨. ’ ª¦¥ ¢ ¬ âà¨ç-®¬ |
||||||||||||||||||
¢¨¤¥ ¨-®£¤ |
㤮¡-® § ¯¨áë¢ îâáï ª¢ ¤à â¨ç-ë¥ äã-ªæ¨¨, ãà ¢-¥-¨ï |
«£¥¡à ¨- |
|||||||||||||||||||||
ç¥áª¨å ªà¨¢ëå ¨ ¯®¢¥àå-®á⥩ ¢â®à®£® ¯®à浪 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
5. Œ âà¨ç- ï § ¯¨áì AX = b á¨áâ¥¬ë «¨-¥©-ëå ãà ¢-¥-¨© | á¬. x5. |
|
||||||||||||||||||||||
|
20‘¢®©á⢮ 1) | |
|
|
áá®æ¨ ⨢-®áâì ã¬-®¦¥-¨ï, ᢮©á⢠|
2) ¨ 3) | ¤¨áâਡã- |
||||||||||||||||||
⨢-®á⨠ã¬-®¦¥-¨ï ¯® á«®¦¥-¨î. |
|
|
•ãáâì A = (aij), A0 = (aij0 ), B = (bjk), |
||||||||||||||||||||
|
21•à®¢¥à¨¬, - ¯à¨¬¥à, 1), 3) ¨ 5). |
||||||||||||||||||||||
C = (ckl). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1) •ãáâì AB = (dik), (AB)C = (fil), BC = (gjl), A(BC) = (hil). |
’®£¤ fil = |
||||||||||||||||||||||
3) |
p |
|
|
|
p |
n |
|
|
|
n |
|
p |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|||
P |
|
|
|
P P |
|
|
P P |
|
P |
|
|
|
|
|
|||||||||
= |
|
dikckl = |
k=1 j=1 |
aijbjkckl = |
j=1 k=1 |
aijbjkckl = |
j=1 |
aijgjl = hil. |
|
|
|||||||||||||
|
k=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
AB + A0B = |
||||||||||||
|
•ãáâì |
AB = (dik) |
, |
A + A0 = (fij) |
, |
(A + A0)B = (gik) |
, |
A0B = (dik0 ) |
, |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
P |
|
|
jP |
|
= (hik). ’®£¤ gik = |
n |
fijbjk |
= |
|
n |
(aij + aij0 )bjk = |
|
n |
aijbjk + |
n |
aij0 bjk = |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j=1 |
|
|
j=1 |
|
|
|
|
j=1 |
|
|
=1 |
|
||
= dik + dik0 |
= hik. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
21 |
• áᬮâਬ -¥ª®â®àë¥ ¬ âà¨æë, ã¬-®¦¥-¨¥ - |
|
ª®â®àë¥ ¢ë£«ï- |
|||||
¤¨â ®á®¡¥--® ¯à®áâ®. |
|
|
|
|
|
|
|
“¬-®¦¥-¨¥ «î¡®© ¬ âà¨æë á¯à ¢ ¨«¨ á«¥¢ |
- |
-ã«¥¢ãî ¬ â- |
|||||
à¨æã (¯®¤å®¤ï饣® à §¬¥à |
) ®ç¥¢¨¤-® ¯à¨¢®¤¨â ª -ã«¥¢®© ¬ âà¨æ¥ |
||||||
ᮮ⢥âáâ¢ãî饣® à §¬¥à . |
|
A = (aij) |
|
2 |
Mm£n á«¥¢ |
|
|
•à¨ ã¬-®¦¥-¨¨ ¬ âà¨æë |
|
- |
|||||
diag(¸1; ¸2; : : : ; ¸m) i-ï áâà®çª |
ã¬-®¦ ¥âáï - |
¸i, |
¯à¨ ã¬-®¦¥- |
||||
-¨¨ - diag(¹1; ¹2; : : : ; ¹n) á¯à ¢ j-© á⮫¡¥æ ã¬-®¦ ¥âáï - |
¹j.22 |
||||||
’ ª, ã¬-®¦¥-¨¥ ¬ âà¨æë á«¥¢ |
¨«¨ á¯à ¢ |
- |
᪠«ïà-ãî ¬ âà¨æã |
||||
diag(¸; ¸; : : : ; ¸) à ¢-®á¨«ì-® ã¬-®¦¥-¨î - |
¸, ¢ ç áâ-®áâ¨, EmA = |
||||||
= AEn = A.23 |
|
|
|
|
|
|
|
Š ª á«¥¤ã¥â ¨§ ¯ã-ªâ 1) ⥮६ë 3.1, ¯à®¨§¢¥¤¥-¨¥ -¥áª®«ìª¨å |
||||||||||
¬ âà¨æ (¥á«¨ íâ® ¯à®¨§¢¥¤¥-¨¥ ¢®§¬®¦-® ¢ë¯®«-¨âì) A1A2 |
: : : Ak -¥ |
|||||||||
§ ¢¨á¨â ®â à ááâ -®¢ª¨ ᪮¡®ª.24 |
|
|
|
|
||||||
ɇǬ A |
2 |
M |
n |
, â® ¬®¦-® ®¯à¥¤¥«¨âì s-î á⥯¥-ì ¬ âà¨æë ¤«ï |
||||||
|
|
n£ s |
= AA : : : A. ’ ª¦¥ ¯®«®¦¨¬ A |
0 |
= E. •¥âàã¤-® |
|||||
- âãà «ì-ëå s: A |
|
|||||||||
¢¨¤¥âì, çâ® ¤«ï 楫ëå|-¥ {z |
|
} |
s; t ¢¥à-ë à ¢¥-á⢠|
A = |
||||||
|
||||||||||
|
|
|
|
s ¡ãª¢ A |
|
|
|
|
||
®âà¨æ ⥫ì-ëå |
s+t |
|
=AsAt, Ast = (As)t.
•¢¥-á⢮ AB = BA ¤«ï ¬ âà¨æ, ¢®®¡é¥ £®¢®àï, -¥ ¢ë¯®«-¥-®.
• ¯à¨¬¥à, ¯à®¨§¢¥¤¥-¨¥ AB ¬®¦¥â ¡ëâì ®¯à¥¤¥«¥-®, BA | -¥â. ‚ á«ãç ¥ A 2 Mm£n, B 2 Mn£m, m =6 n, ®¡ ¯à®¨§¢¥¤¥-¨ï AB ¨ BA
®¯а¥¤¥«¥-л, -® п¢«повбп ¬ ва¨ж ¬¨ а §-ле а §¬¥а®¢. „ ¦¥ ¥б«¨ |
|||||||||||||
A ¨ B | ª¢ ¤à â-ë¥ ¬ âà¨æë ¯®à浪 |
n (⮣¤ ®¡ |
¯à®¨§¢¥¤¥-¨ï |
|||||||||||
AB ¨ BA ®¯а¥¤¥«¥-л ¨ п¢«повбп ª¢ ¤а в-л¬¨ ¬ ва¨ж ¬¨ ¯®ап¤ª |
|||||||||||||
n), ¢®§¬®¦-® AB -¥ à ¢-® BA, - ¯à¨¬¥à: |
|
|
µ0 0¶: |
||||||||||
|
µ0 0¶µ0 1¶ = µ0 0¶ |
; -® µ0 1¶µ0 0¶ = |
|||||||||||
|
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
|
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
ˆ§ ¯à¨¢¥¤¥--®£® ¯à¨¬¥à |
¢¨¤¨¬ â ª¦¥, çâ® ¯à®¨§¢¥¤¥-¨¥ ¤¢ãå -¥- |
||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||
5) •ãáâì AB = (dik), (AB)T |
= (fki), AT = (gji), BT |
= (hkj), BT AT = (tki). |
|||||||||||
|
|
|
jP |
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
’®£¤ fki = dik = |
n |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|||
=1 |
aijbjk = |
j=1 |
gjihkj = tki. |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
22 |
Ž¡é ï á¨âã æ¨ï ¢¨¤- ¢ ¯à¥¤«®¦¥-¨¨ 3.2. |
|
|
|
|
||||||||
23 |
Žâáî¤ |
¯®-ïâ¥- á¬ëá« â¥à¬¨-®¢ "᪠«ïà- ï" ¨ "¥¤¨-¨ç- ï". |
|
||||||||||
24 |
”®à¬ «ì-®¥ ¤®ª § ⥫ìá⢮ í⮣® ä ªâ |
¬®¦-® ¯à®¢¥á⨠⠪ ¦¥, ª ª ¨ ¢ |
|||||||||||
á«ãç ¥ ¯à®¨§¢¥¤¥-¨ï ®â®¡à ¦¥-¨© (á¬. ¯à¨«®¦¥-¨¥). |
|
|
|
||||||||||
22
-ã«¥¢ëå ¬ âà¨æ ¬®¦¥â ®ª § âìáï -ã«¥¢®© ¬ âà¨æ¥©. |
|
ƒ®¢®àïâ, çâ® ¬ âà¨æë A ¨ B ¯¥à¥áâ -®¢®ç-ë, ¥á«¨ AB = BA. |
|
n |
n |
Xi |
|
Œ®¦-® ®¯à¥¤¥«¨âì §- ç¥-¨¥ ¬-®£®ç«¥- f(x) = |
aixi ®â ª¢ ¤- |
|
=0 |
X
à â-®© ¬ âà¨æë A: ¯®«®¦¨¬ f(A) = aiAi. •¥âàã¤-® ¯®¢¥à¨âì,
i=0
çâ® ¤«ï ¬-®£®ç«¥-®¢ f, g, h â ª¨å, çâ® h(x) = f(x)g(x), ¢¥à-® h(A) = = f(A)g(A) = g(A)f(A). ‚ ç áâ-®áâ¨, ¬ âà¨æ A ¯¥à¥áâ -®¢®ç- á
«î¡ë¬ ¬-®£®ç«¥-®¬ ®â -¥¥. |
|
|
|
|
ˆ-®£¤ ¬ âà¨æë ¥áâ¥á⢥--® à §¡¨¢ îâáï - |
¡«®ª¨. |
|
• ¯à¨- |
|
¬¥à, à áᬮâਬ ¡«®ç-ãî ¬ âà¨æã A = µA21 |
A22¶; £¤¥ Aij 2 |
|||
A11 |
A12 |
|
|
|
2 Mki£lj (k1; k2; l1; l2 | -¥ª®â®àë¥ - âãà «ì-ë¥ ç¨á« ). |
Žª §ë- |
|||
¢ ¥âáï, ¬®¦-® ®áãé¥á⢫ïâì "¡«®ç-®¥" ¯¥à¥¬-®¦¥-¨¥ ¬ âà¨æ á á®- |
||||
£« ᮢ --®© ¡«®ç-®© áâàãªâãன. • ¯à¨¬¥à, ¯à®¨§¢¥¤¥-¨¥ ¡«®ç-ëå |
||||
¬ âà¨æ AB, £¤¥ B | ¡«®ç- ï ¬ âà¨æ B = µB2¶ (B1 |
2 Ml1£p, |
|||
B1 |
|
|
¶. |
|
B2 2 Ml2£p), ¬®¦-® ¢ëç¨á«ïâì25 ª ª AB = µA21B1 |
+ A22B2 |
|||
A11B1 |
+ A12B2 |
|
||
Ž¡à â¨¬ë¥ ¬ âà¨æë. Ž¡à â- ï ¬ âà¨æ
„«ï -¥ª®â®àëå ª¢ ¤à â-ëå ¬ âà¨æ 㤠¥âáï ®¯à¥¤¥«¨âì ®¯¥à æ¨î ®¡à é¥-¨ï.26
Ž¯à¥¤¥«¥-¨¥. Œ âà¨æ B 2 Mn£n - §ë¢ ¥âáï ®¡à â-®© ¤«ï ¬ â- à¨æë A 2 Mn£n, ¥á«¨ BA = AB = E.
Ž¯à¥¤¥«¥-¨¥. Œ âà¨æ A 2 Mn£n - §ë¢ ¥âáï ®¡à ⨬®©, ¥á«¨ ¤«ï -¥¥ áãé¥áâ¢ã¥â ®¡à â- ï ¬ âà¨æ .
25‚ ®¡é¥¬ á«ãç ¥, ¯ãáâì A = (Aij), i = 1; 2; : : : ; m, j = 1; 2; : : : n, £¤¥ Aij |
¬ âà¨æ à §¬¥à |
ri £ sj |
, |
B = (Bjk) |
, |
j = 1; 2; : : : ; n |
, |
k |
= 1; 2; : : : p, £¤¥ B |
jk |
| ¬ â- |
||
|
|
|
|
n |
|
|
||||||
à¨æ à §¬¥à sj £ tk. ’®£¤ |
|
|
|
|
jP |
|
|
|
||||
AB = (Cik), £¤¥ Cik = |
=1 |
AijBjk. „®ª § ⥫ìá⢮ |
||||||||||
¯à®¢®¤¨âáï -¥¯®á।á⢥--®© ¯à®¢¥àª®©.
26•¨¦¥ ¬ë 㢨¤¨¬, çâ® -¥¢®§¬®¦-®áâì ®¡à â¨âì ¬ âà¨æã íª¢¨¢ «¥-â- ¥¥ ¢ë஦¤¥--®á⨠(x 4) ¨«¨ à ¢¥-áâ¢ã -ã«î ®¯à¥¤¥«¨â¥«ï (x 6).
23
Œ®¦-® ¯®¯à®¡®¢ âì ®á« ¡¨âì ãá«®¢¨¥ ®¡à ⨬®áâ¨: ᪠¦¥¬, çâ® ¬ âà¨æ B 2 Mn£n ï¥âáï «¥¢®© ®¡à â-®© ¤«ï ¬ âà¨æë A 2
2 Mn£n, ¥á«¨ BA = E; ª¢ ¤à â-ë¥ ¬ âà¨æë, ¨¬¥î騥 «¥¢ãî ®¡- à â-ãî, - §®¢¥¬ ®¡à ⨬묨 á«¥¢ . €- «®£¨ç-® ®¯à¥¤¥«¨¬ ®¡à - â¨¬ë¥ á¯à ¢ ¬ âà¨æë. Ž¤- ª® -¨¦¥ ¡ã¤¥â ¤®ª § -® (á¬. ⥮६ã 4.3), çâ® ¤«ï ®¡à ⨬®á⨠ª¢ ¤à â-®© ¬ âà¨æë ¤®áâ â®ç-® ¯®âॡ®- ¢ âì, çâ®¡ë ®- ¡ë« ®¡à ⨬ á«¥¢ ¨«¨ á¯à ¢ .27
•à¥¤«®¦¥-¨¥ 3.1. „«ï ®¡à ⨬®© ¬ âà¨æë A 2 Mn£n áãé¥áâ- ¢ã¥â ¥¤¨-á⢥-- ï «¥¢ ï ®¡à â- ï ¬ âà¨æ ¨ ¥¤¨-á⢥-- ï ¯à - ¢ ï ®¡à â- ï ¬ âà¨æ , ¯à¨ç¥¬ ®-¨ à ¢-ë.
B •ãáâì B | -¥ª®â®à ï «¥¢ ï ®¡à â- ï ¬ âà¨æ ¤«ï A, C | -¥- ª®â®à ï ¯à ¢ ï ®¡à â- ï ¬ âà¨æ ¤«ï A. ’®£¤ B = BE = B(AC) = = (BA)C = EC = C. ˆâ ª, ª ¦¤ ï «¥¢ ï ®¡à â- ï ¬ âà¨æ ᮢ¯ - ¤ ¥â á C, ¨, §- ç¨â, ®- ¥¤¨-á⢥-- . €- «®£¨ç-®, ¯à ¢ ï ®¡à â- ï ¬ âà¨æ ¥¤¨-á⢥-- . ¤
’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ¤«ï ®¡à ⨬®© ¬ âà¨æë A áãé¥áâ¢ã¥â ¥¤¨-áâ-
¢¥-- ï ®¡à â- ï ¬ âà¨æ (®- ¦¥ ¥¤¨-á⢥-- ï «¥¢ ï ®¡à â- ï ¨ ¥¤¨-á⢥-- ï ¯à ¢ ï ®¡à â- ï) | ¡ã¤¥¬ ®¡®§- ç âì ¥¥ A¡1.
’¥®à¥¬ 3.2. •ãáâì A; B 2 Mn£n | ®¡à â¨¬ë¥ ¬ âà¨æë. ’®£¤ 1) A¡1 ®¡à ⨬ , ¯à¨ç¥¬ (A¡1)¡1 = A;
2) AB ®¡à ⨬ , ¯à¨ç¥¬ (AB)¡1 = B¡1A¡1;
3) AT ®¡à ⨬ , ¯à¨ç¥¬ (AT )¡1 = (A¡1)T .
B •¥¯®á।á⢥--® ¯à®¢¥àï¥âáï, çâ® ¬ âà¨æë A, B¡1A¡1, (A¡1)T п¢«повбп ®¡а в-л¬¨ ¤«п ¬ ва¨ж A¡1, AB, AT ᮮ⢥âáâ- ¢¥--®.28 ¤
27€- «®£¨ç-®¥ ã⢥ত¥-¨¥ ¢¥à-® ¤«ï ®¡à ⨬®á⨠«¨-¥©-ëå ®â®¡à ¦¥-¨© ª®-¥ç-®¬¥à-ëå ¢¥ªâ®à-ëå ¯à®áâà -á⢠(¢¢¨¤ã ᮮ⢥âá⢨ï ã¬-®¦¥-¨ï ¬ âà¨æ ¨ «¨-¥©-ëå ®â®¡à ¦¥-¨©), -® -¥¢¥à-®¥ ¤«ï ¯à®¨§¢®«ì-ëå ®â®¡à ¦¥-¨© | á¬. ¯à¨«®¦¥-¨¥.
28•à®¢¥à¨¬, - ¯à¨¬¥à, 2) ¨ 3).
2) (B¡1A¡1)(AB) = B¡1(A¡1A)B = B¡1EB = B¡1B = E: €- «®£¨ç-® ¯à®¢¥- àï¥âáï, çâ® (AB)(B¡1A¡1) = E.
3) (A¡1)T AT = (AA¡1)T = ET = E: €- «®£¨ç-® AT (A¡1)T = E.
24
‘«¥¤á⢨¥. …᫨ |
A1; A2; : : : ; Ak 2 Mn£n | ®¡à â¨¬ë¥ ¬1 |
âà¨æë, |
|
|
|||
|
1 |
: : : |
|
â® A1A2 : : : Ak ®¡à ⨬ , ¯à¨ç¥¬ (A1A2 : : : Ak)¡1 = Ak¡ |
Ak¡¡1 |
||
: : : A1¡1. |
|
|
|
…᫨ A 2 Mn£n | ®¡à ⨬ ï ¬ âà¨æ , â® ¬®¦-® ®¯à¥¤¥«¨âì As ¨ ¤«ï -¥¯®«®¦¨â¥«ì-ëå 楫ëå s: ¯®«®¦¨¬ A0 = En, As = (A¡1)¡s,
¥á«¨ s | 楫®¥ ®âà¨æ ⥫ì-®¥. •¥âàã¤-® ¯à®¢¥à¨âì, çâ® 8 s; t 2 Z ¢¥à-ë à ¢¥-á⢠As+t = AsAt ¨ Ast = (As)t.
“¬-®¦¥-¨¥ ¬ âà¨æ ¨ à -£
•à¥¤«®¦¥-¨¥ 3.2. •ãáâì A 2 Mm£n, B 2 Mn£p. ’®£¤
1)ª ¦¤ë© á⮫¡¥æ ¬ âà¨æë AB «¨-¥©-® ¢ëà ¦ ¥âáï ç¥à¥§ á⮫¡æë ¬ âà¨æë A;
2)ª ¦¤ ï áâப ¬ âà¨æë AB «¨-¥©-® ¢ëà ¦ ¥âáï ç¥à¥§ áâப¨ ¬ âà¨æë B.
B1) •ãáâì B = (bjk), ¨ (a²1 : : : a²n), (c²1 : : : c²p) | á⮫¡æ®¢ë¥
§¯¨á¨ ¬ âà¨æ A ¨ C = AB. ’®£¤ ¯® ®¯à¥¤¥«¥-¨î ã¬-®¦¥-¨ï ¬ â- à¨æ c²k = Pn a²jbjk, â® ¥áâì k-© á⮫¡¥æ ¬ âà¨æë C à ¢¥- «¨-¥©-®©
j=1
ª®¬¡¨- 樨 á⮫¡æ®¢ A á ª®íää¨æ¨¥-â ¬¨ ¨§ k-£® á⮫¡æ ¬ âà¨æë
B.
2) „®ª §ë¢ ¥âáï - «®£¨ç-® 1), «¨¡® ᢮¤¨âáï ª 1) âà -ᯮ-¨à®- ¢ -¨¥¬ ¬ âà¨æ ((AB)T = BT AT ). ¤
•à¥¤«®¦¥-¨¥ 3.3. •ãáâì A 2 Mm£n, B 2 Mn£p. |
’®£¤ |
rgv(AB) 6 rgv A ¨ rgh(AB) 6 rgh B. |
|
B „®ª ¦¥¬ -¥à ¢¥-á⢮ ¯à® rgh (à áá㦤¥-¨ï ¯à® rgv |
- «®- |
£¨ç-ë). |
|
•ãáâì c1 ²; c2 ²; : : : ; cm ² | áâப¨ ¬ âà¨æë AB. ’®£¤ rgh(AB) = |
|
= rg(c1 ²; c2 ²; : : : ; cm ²) 6 rg(c1 ²; c2 ²; : : : ; cm ²; b1 ²; b2 ²; : : : ; bn²). ‘®-
£« á-® ¯à¥¤«®¦¥-¨î 3.2, ª ¦¤ ï ¨§ áâப c1 ²; c2 ²; : : : ; cm ² à ¢- «¨-¥©-®© ª®¬¡¨- 樨 áâப b1 ²; b2 ²; : : : ; bn², ¯®í⮬㠨§ ⥮६ë 2.1
¢ë⥪ ¥â, çâ® rg(c1 ²; c2 ²; : : : ; cm ²; b1 ²; b2 ²; : : : ; bn²) = rg(b1 ²; b2 ²; : : :
: : : ; bn²) = rgh B. ¤
25
‘«¥¤ãî饥 ¯à¥¤«®¦¥-¨¥ ¯®ª §ë¢ ¥â, çâ® à -£ -¥ ¬¥-ï¥âáï ¯à¨ ¤®¬-®¦¥-¨¨ - ®¡à ⨬ãî ¬ âà¨æã.
•à¥¤«®¦¥-¨¥ 3.4. •ãáâì B 2 Mm£n | ¯à®¨§¢®«ì- ï ¬ âà¨æ ,
A 2 Mm£m ¨ C 2 Mn£n | ®¡à â¨¬ë¥ ¬ âà¨æë. ’®£¤ rgh(AB) =
= rgh B ¨ rgv(BC) = rgv B.
B •® ¯à¥¤«®¦¥-¨î 3.3 rgh B > rgh(AB) > rgh(A¡1AB) =
= rgh(EB) = rgh B. €- «®£¨ç-®, rgv B > rgv(BC) > rgv(BCC¡1) = = rgh(BE) = rgv B. ¤
‡ ¤ ç¨ ¨ ã¯à ¦-¥-¨ï |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
1 |
|
||||
|
|
2 |
3 |
|
1 |
¶ |
|
2 |
¡ |
|
|
1 |
|
||
|
|
µ |
2 |
0 |
|
|
2 |
|
|
|
|||||
1. |
•®«®¦¨¬ A = |
1 |
, C = |
|
¡1 |
2 |
2 |
|
. ‚ëç¨á- |
||||||
|
¡ |
¡ |
|
@ |
2 |
|
1 |
2 |
A |
||||||
|
«¨â¥ ACAT . |
|
|
|
|
µ0 |
¡1¶, S = |
¡ |
|
|
|||||
2. |
‚ëç¨á«¨â¥ (SAS¡1)100, ¥á«¨ A = |
|
µ1 ¡1¶. |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
0 |
|
|
|
1 |
1 |
|
3.‘㬬 ¢á¥å ¤¨ £®- «ì-ëå í«¥¬¥-⮢ ¬ âà¨æë A - §ë¢ ¥âáï ¥¥ á«¥¤®¬ ¨ ®¡®§- ç ¥âáï tr A. „®ª ¦¨â¥, çâ® ¤«ï «î¡ëå ¬ â-
à¨æ A 2 Mm£n ¨ B 2 Mn£m ¢ë¯®«-¥-® à ¢¥-á⢮ tr(AB) =
= tr(BA).
4.„®ª ¦¨â¥, çâ® ¯à®¨§¢¥¤¥-¨¥ ¤¢ãå ᨬ¬¥âà¨ç¥áª¨å ¬ âà¨æ ï¢- «ï¥âáï ᨬ¬¥âà¨ç¥áª®© ¬ âà¨æ¥© ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ í⨠¬ âà¨æë ¯¥à¥áâ -®¢®ç-ë.
5.„«ï A 2 Mn£n ¯®«®¦¨¬ CA = fX 2 Mn£n j AX = XAg.
) „®ª ¦¨â¥, çâ® CA = Mn£n , A | ᪠«ïà- ï ¬ âà¨æ .
¡) „®ª ¦¨â¥, çâ® ¥á«¨ A = diag(¸1; : : : ; ¸n), £¤¥ ¸1; : : : ; ¸n | ¯®¯ à-® à §«¨ç-ë¥ ç¨á« , â® CA | ¬-®¦¥á⢮ ¢á¥å ¤¨ £®- «ì- -ëå ¬ âà¨æ n £ n.
6. •ãáâì A = diag(¸1; : : : ; ¸n), £¤¥ ¸i | ¯®¯ à-® à §«¨ç-ë¥ ç¨á« .
26
„®ª ¦¨â¥, çâ® «î¡ ï ¤¨ £®- «ì- ï ¬ âà¨æ ¯®à浪 n ï- ¥âáï ¬-®£®ç«¥-®¬ ®â A.29
7. ) „®ª ¦¨â¥, çâ® ¯à®¨§¢¥¤¥-¨¥ ¤¢ãå ¢¥àå-¥âà¥ã£®«ì-ëå ¬ â- à¨æ | ¢¥àå-¥âà¥ã£®«ì- ï ¬ âà¨æ .
¡) „®ª ¦¨â¥, çâ® ¥á«¨ A 2 Mn£n | ¢¥àå-¥âà¥ã£®«ì- ï ¬ â-
à¨æ , ã |
ª®â®à®© ¢á¥ í«¥¬¥-âë £« ¢-®© ¤¨ £®- «¨ à ¢-ë 0, â® |
||||||
An = O. |
|
00 |
0 |
1 |
01. |
||
¢) ‚ëç¨á«¨â¥ (E + A)10, ¥á«¨ A = |
|||||||
|
|
|
0 |
1 |
0 |
0 |
|
|
|
B0 |
0 |
0 |
0C |
||
|
|
B |
|
|
|
|
C |
|
|
@ |
0 |
0 |
0 |
1 |
A |
|
|
|
|
||||
8. •ãáâì A 2 Mn£n â ª®¢ , çâ® Am = O. „®ª ¦¨â¥, çâ® ¬ âà¨æ E ¡ A ®¡à ⨬ .
9.„®ª ¦¨â¥, çâ® ¯à¨ m < n ¬ âà¨æ A 2 Mm£n -¥ ¬®¦¥â ¨¬¥âì "«¥¢®© ®¡à â-®©" ¬ âà¨æë (â® ¥áâì -¥ áãé¥áâ¢ã¥â ¬ âà¨æë B 2
2 Mn£m â ª®©, çâ® BA = En).
x 4. •«¥¬¥-â à-ë¥ ¯à¥®¡à §®¢ -¨ï ¨ ¨å ¯à¨¬¥-¥-¨¥
•«¥¬¥-â à-ë¥ ¯à¥®¡à §®¢ -¨ï ¨ í«¥¬¥-â à-ë¥ ¬ âà¨æë
Ž¯à¥¤¥«¨¬ âਠ⨯ í«¥¬¥-â à-ëå ¯à¥®¡à §®¢ -¨©30 áâப ¬ â- à¨æë A 2 Mm£n. (€- «®£¨ç-® ¢¢®¤ïâáï í«¥¬¥-â à-ë¥ ¯à¥®¡à §®-
¢ -¨ï á⮫¡æ®¢.)
I ⨯: áâப¨ ai ² ¨ aj² (i 6= j) ¬¥-повбп ¬¥бв ¬¨ (®бв «м-л¥
áâப¨ ®áâ îâáï ¡¥§ ¨§¬¥-¥-¨ï). Ž¡®§- 稬 íâ® ¯à¥®¡à §®¢ -¨¥ Pij. |
|||
¯à¥®¡à §®¢ -¨¥ D (¸). |
|
6 |
e |
II ⨯: áâப ai ² |
ã¬-®¦ ¥âáï - |
ç¨á«® ¸ = 0. Ž¡®§- 稬 íâ® |
|
ei |
|
|
|
29ˆ-â¥à¥á¥- ¢®¯à®á ®¡ ®¯¨á -¨¨ ¢á¥å ¬ âà¨æ A, ¤«ï ª®â®àëå CA 5) ᮢ¯ ¤ ¥â á ¬-®¦¥á⢮¬ ¬-®£®ç«¥-®¢ ®â A.
30”®à¬ «ì-® £®¢®àï, ª ¦¤®¥ í«¥¬¥-â à-®¥ ¯à¥®¡à §®¢ -¨¥ | íâ® ®â®¡à ¦¥-¨¥
Mm£n ! Mm£n.
|
|
27 |
III ⨯: ª áâப¥ ai ² ¯à¨¡ ¢«ï¥âáï áâப ¸aj² |
(i 6= j, ¸ 2 R) |
|
(¢á¥ áâப¨, ªà®¬¥ i-©, ®áâ îâáï ¡¥§ ¨§¬¥-¥-¨ï). |
Ž¡®§- 稬 íâ® |
|
¯à¥®¡à §®¢ -¨¥ T |
(¸). |
|
eij |
|
|
Ž¯à¥¤¥«¨¬ ª¢ ¤à â-ë¥ í«¥¬¥-â à-ë¥ ¬ âà¨æë ¯®à浪 m âà¥å ⨯®¢ ª ª १ã«ìâ ⠯ਬ¥-¥-¨ï ª ¥¤¨-¨ç-®© ¬ âà¨æ¥ E = Em á®-
®â¢¥âáâ¢ãî饣® í«¥¬¥-â à-®£® ¯à¥®¡à §®¢ -¨ï.
e
I ⨯: Pij = Pij(E): ‡ ¬¥â¨¬, çâ® Pij ®â«¨ç ¥âáï ®â ¥¤¨-¨ç-®©
¬ âà¨æë «¨èì ¢ ç¥âëà¥å í«¥¬¥-â å, à ᯮ«®¦¥--ëå - ¯¥à¥á¥ç¥-¨¨ i-© ¨ j-© áâப á i-¬ ¨ j-¬ á⮫¡æ ¬¨; ᪠¦¥¬, ¤«ï m = 5 ¨¬¥¥¬
|
|
|
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
P14 = B1 0 0 0 0C: |
|
|
|||||||
|
|
00 |
1 |
0 |
0 |
01 |
|
|
|||
|
|
B |
|
0 |
0 |
0 |
|
C |
|
|
|
|
|
B0 |
1C |
|
|
||||||
|
|
B |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
C |
|
|
|
|
|
@ |
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
II ⨯: Di(¸) = Di(¸)(E) = diag(1; 1; : : : ; 1; ¸; 1; : : : ; 1) (¸ - |
i-¬ |
|||||||||
´ |
áâ¥). |
e |
|
|
|
|
Tij(¸) |
|
|
||
III ⨯: |
|
Œ âà¨æ |
®â«¨ç ¥âáï ®â ¥¤¨- |
||||||||
|
|
Tij(¸) = Tij(¸)(E): |
|
|
|
|
|
||||
-¨ç-®© ¬ âà¨æë «¨èì í«¥¬¥-⮬, à ¢-ë¬ ¸, à ᯮ«®¦¥--ë¬ - |
¯¥- |
||||||||||
à¥á¥ç¥-¨¨ i-© áâப¨ ¨ej-£® á⮫¡æ , ᪠¦¥¬, ¤«ï m = 5 ¨¬¥¥¬ |
|
||||||||||
|
|
|
1 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
00 |
1 |
0 |
0 |
|
¸1 |
|
|
||
|
|
|
0 |
0 |
1 |
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
T25(¸) = B0 0 0 1 0C: |
|
|
|||||||
|
|
B |
0 |
0 |
0 |
|
|
C |
|
|
|
|
|
B0 |
|
1C |
|
|
|||||
|
|
B |
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
@ |
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
•à¥¤«®¦¥-¨¥ 4.1. …᫨ S | í«¥¬¥-â à- ï ¬ âà¨æ , â® ST | í«¥¬¥-â à- ï ¬ âà¨æ ⮣® ¦¥ ⨯ , çâ® ¨ S.
B PijT = Pij; Di(¸)T = Di(¸); Tij(¸)T = Tji(¸). ¤
•а¥¤«®¦¥-¨¥ 4.2. •«¥¬¥-в а-®¥ ¯а¥®¡а §®¢ -¨¥ бва®ª а ¢-®- б¨«м-® г¬-®¦¥-¨о б«¥¢ - б®®в¢¥вбв¢гойго н«¥¬¥-в а-го ¬ ва¨жг.
|
28 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B „«ï ¯à®¨§¢®«ì-®© ¬ âà¨æë A |
2 Mm£n -¥¯®á।á⢥--® |
|||||||||||
¯а®¢¥аповбп (ª ª ¢ ¤®ª § в¥«мбв¢¥ |
|
¯à¥¤«®¦¥-¨ï 3.2) à ¢¥-á⢠|
||||||||||||
P |
(A) = P |
ij |
A, |
D |
(¸)(A) = D (¸)A, T |
(¸)(A) = T |
ij |
(¸)A. |
¤ |
|||||
|
eij |
|
|
ei |
|
i |
eij |
|
|
|
|
|||
•à¥¤«®¦¥-¨¥ 4.3. |
1) •«¥¬¥-â à-®¥ ¯à¥®¡à §®¢ -¨¥ áâப ®¡à - |
|||||||||||||
⨬®, ¯à¨ç¥¬ ®¡à â-®¥ ¯à¥®¡à §®¢ -¨¥ ï¥âáï í«¥¬¥-â à-ë¬ |
||||||||||||||
¯à¥®¡à §®¢ -¨¥¬ áâப. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
2) •«¥¬¥-â à- ï ¬ âà¨æ |
®¡à ⨬ , ¯à¨ç¥¬ ®¡à â- ï ¬ â- |
|||||||||||
à¨æ ï¥âáï í«¥¬¥-â à-®©. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Tij |
B 1) ‹¥£ª® ¯à®¢¥à¨âì, çâ® |
Pij¡1 |
|
= Pij, |
Di(¸)¡1 |
= Di(¸¡1), |
||||||||
(¸)¡1 = Tij(¡¸). |
|
e |
|
e |
e |
|
e |
|||||||
|
e |
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2)ˆ§ 1) ¨ ¯à¥¤«®¦¥-¨ï 4.2 á«¥¤ã¥â,31 çâ® Pij¡1 = Pij, Di(¸)¡1 =
=Di(¸¡1), Tij(¸)¡1 = Tij(¡¸). ¤
Œ¥â®¤ ƒ ãáá
‚ ª ¦¤®© -¥-ã«¥¢®© áâப¥ ¬ âà¨æë ¬®¦-® ¢ë¤¥«¨âì ¯¥à¢ë© -¥-ã«¥¢®© í«¥¬¥-â, ª®â®àë© ¡ã¤¥¬ - §ë¢ âì ¢¥¤ã騬. ’ ª¨¬ ®¡à - §®¬, í«¥¬¥-â aij ¬ âà¨æë A ï¥âáï ¢¥¤ã騬 í«¥¬¥-⮬ -¥-ã«¥¢®©
áâப¨ ai ², ¥á«¨ aij =6 0 ¨ ai1 = ai2 = : : : = ai j¡1 = 0.
Ž¯à¥¤¥«¥-¨¥. ‘ª ¦¥¬, çâ® ¬ âà¨æ A 2 Mm£n áâ㯥-ç â ï (¨«¨ ¨¬¥¥â áâ㯥-ç âë© ¢¨¤), ¥á«¨ ¤«ï -¥ª®â®à®£® r 2 f0; 1; 2; : : : ; mg ¥¥
¯¥à¢ë¥ r áâப -¥-ã«¥¢ë¥, ¯®á«¥¤-¨¥ m¡r áâப -ã«¥¢ë¥, ¨, ªà®¬¥
⮣®, ¢¥¤ã騥 í«¥¬¥-âë a1j1 ; a2j2 ; : : : ; arjr ¯¥à¢ëå r áâப â ª®¢ë,
çâ® j1 < j2 < : : : < jr.
|
0 |
¤ |
x |
y |
z |
t |
1 |
|
• ¯à¨¬¥à, ¬ âà¨æ ¢¨¤ |
00 |
0 |
0 |
¤ |
u |
v |
; £¤¥ §¢¥§¤®çª ¬¨ |
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
¤ |
w |
|
|
|
B0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0C |
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
C |
|
|
@ |
|
|
|
|
|
A |
|
®¡®§- ç¥-ë -¥-ã«¥¢ë¥ ç¨á« | ¢¥¤ã騥 í«¥¬¥-âë áâப, ï¥âáï áâ㯥-ç ⮩. ‡¢¥§¤®çª¨ ¨ í«¥¬¥-âë ¯à ¢¥¥ -¨å ®¡à §ãîâ "áâã- ¯¥-쪨"; ¯®¤ "áâ㯥-ìª ¬¨" ¢á¥ í«¥¬¥-âë à ¢-ë -ã«î.
ˆ§ ®¯à¥¤¥«¥-¨ï ¢¨¤-®, çâ® ¢ áâ㯥-ç ⮩ ¬ âà¨æ¥ ª¢ ¤à â- ï ¯®¤¬ âà¨æ ¯®à浪 r, à ᯮ«®¦¥-- ï - ¯¥à¥á¥ç¥-¨¨ ¯¥à¢ëå r
31•¥âàã¤-® ¯à®¢¥à¨âì ¨ -¥¯®á।á⢥--®.
29
áâப a1²; a2²; : : : ; ar² ¨ á⮫¡æ®¢ a²j1 ; a²j2 ; : : : ; a²jr , ï¥âáï ¢¥àå- -¥âà¥ã£®«ì-®© á -¥-ã«¥¢ë¬¨ í«¥¬¥-â ¬¨ - ¤¨ £®- «¨.
Ž¯à¥¤¥«¥-¨¥. ‘ª ¦¥¬, çâ® áâ㯥-ç â ï ¬ âà¨æ A 2 Mm£n
¨¬¥¥â ã¯à®é¥--ë© ¢¨¤, ¥á«¨ ¢ -¥© ¢¥¤ã騥 í«¥¬¥-âë a1j1 ; a2j2 ; : : :
: : : ; arjr ¢á¥å -¥-ã«¥¢ëå áâப à ¢-ë 1, ¨ ¤«ï k = 1; 2; : : : r ¢ á⮫¡æ¥ a²jk ¢á¥ í«¥¬¥-âë, § ¨áª«îç¥-¨¥¬ akjk , à ¢-ë 0.
ˆ§ ®¯à¥¤¥«¥-¨ï á«¥¤ã¥â, çâ® ¢ ¬ âà¨æ¥ ã¯à®é¥--®£® ¢¨¤ ª¢ ¤- à â- ï ¯®¤¬ âà¨æ ¯®à浪 r, à ᯮ«®¦¥-- ï - ¯¥à¥á¥ç¥-¨¨ ¯¥à-
¢ëå r áâப a1²; a2²; : : : ; ar² ¨ á⮫¡æ®¢ a²j1 ; a²j2 ; : : : ; a²jr , ï¥âáï ¥¤¨-¨ç-®© ¬ âà¨æ¥© Er.
Ž¯¨è¥¬ ¬¥â®¤ ƒ ãáá ¯à¨¢¥¤¥-¨ï ¬ âà¨æë í«¥¬¥-â à-묨 ¯à¥- ®¡à §®¢ -¨ï¬¨ áâப ª áâ㯥-ç ⮬㠨 ã¯à®é¥--®¬ã ¢¨¤ã. •¨¦¥ ¬ë 㢨¤¨¬ ¬-®£®ç¨á«¥--ë¥ ¯à¨¬¥-¥-¨ï í⮣® ¬¥â®¤ .
€‹ƒŽ•ˆ’Œ ¯à¨¢¥¤¥-¨ï ¬ âà¨æë í«¥¬¥-â à-묨 ¯à¥®¡à §®¢ - -¨ï¬¨ áâப ª áâ㯥-ç ⮬㠢¨¤ã (¯àאַ© 室 ¬¥â®¤ ƒ ãáá ).
…᫨ A | -ã«¥¢ ï ¬ âà¨æ , â® ¯à®æ¥áá ®ª®-ç¥-.
ˆ- ç¥ ¢ë¯®«-¨¬ á«¥¤ãî騩 |
è £ ¯àאַ£® 室 |
¬¥â®¤ ƒ ãáá . |
|
• ©¤¥¬ -¥-ã«¥¢®© á⮫¡¥æ a²j á - ¨¬¥-ì訬 -®¬¥à®¬ j. •¥à¥áâ - |
|||
-®¢ª®© áâப ¨ ã¬-®¦¥-¨¥¬ ¯¥à¢®© áâப¨ - |
¯®¤å®¤ï饥 ç¨á«® ¤®- |
||
¡ì¥¬áï, ç⮡ë í«¥¬¥-â, áâ®ï騩 ¢ ¯¥à¢®© áâப¥ ¨ j-¬ á⮫¡æ¥, áâ « |
|||
à ¢-ë¬ 1. ˆâ ª, ¯à¥¤¯®« £ ¥¬, çâ® a1j = 1. ‚믮«-ïï ¯®á«¥¤®¢ - |
|||
⥫ì-® ¯à¥®¡à §®¢ -¨ï T21(¡a2j), T31(¡a3j), : : : ; Tm1(¡amj), ¯®«ã- |
|||
⥯¥àì ஢-® ®¤¨- -¥-ã«e |
e a1j = 1 |
e |
¢ j-¬ á⮫¡æ¥ |
ç ¥¬, çâ® ¯¥à¢ë¥ j ¡ 1 á⮫¡æ®¢ ®áâ «¨áì -ã«¥¢ë¬¨, |
|||
¥¢®© í«¥¬¥-â |
. ˜ £ § ¢¥àè¥-. |
||
•®á«¥ ¢ë¯®«-¥-¨ï è £ ã ¬ âà¨æë ¬ëá«¥--® ®â¡à áë¢ ¥¬ ¯¥à- ¢ãî áâபã. …᫨ ®áâ ¢è ïáï ¬ âà¨æ -¥-ã«¥¢ ï, ¢ë¯®«-塞 è £ ¤«ï -¥¥.
•à®¤®«¦ ¥¬ â ª ¤ «¥¥, ¯®ª -¥ § ª®-ç âáï áâப¨ ¬ âà¨æë ¨«¨ ¯®ª -¥ ¯®«ã稬 ¯®á«¥ ®ç¥à¥¤-®£® è £ -ã«¥¢ãî ¬ âà¨æã.
‚ १ã«ìâ ⥠¢ë¯®«-¥-¨ï ¢á¥© ¯à®æ¥¤ãàë ¤¥©á⢨⥫ì-® ¯®«ã- 稬 áâ㯥-ç âë© ¢¨¤, â ª ª ª - ª ¦¤®¬ -®¢®¬ è £¥ à ¡®â ¥¬ á ¬ âà¨æ¥©, ã ª®â®à®© -®¬¥à ¯¥à¢®£® -¥-ã«¥¢®£® á⮫¡æ ¡®«ìè¥, 祬 ã ¬ âà¨æë - ¯à¥¤ë¤ã饬 è £¥.
€‹ƒŽ•ˆ’Œ ¯à¨¢¥¤¥-¨ï ¬ âà¨æë í«¥¬¥-â à-묨 ¯à¥®¡à §®¢ - -¨ï¬¨ áâப ª ã¯à®é¥--®¬ã ¢¨¤ã (®¡à â-ë© å®¤ ¬¥â®¤ ƒ ãáá ).