Кожевников. Матрицы и СЛУ
.pdf
10
B ‚ᥠ¯¥à¥ç¨á«¥--ë¥ á¢®©á⢠«¥£ª® ¢ë⥪ îâ ¨§ ᮮ⢥âáâ¢ãî-
й¨е б¢®©бв¢ ¤«п з¨б¥« | в ª ª ª ®¯¥а ж¨¨ б«®¦¥-¨п ¨ г¬-®¦¥-¨п - з¨б«® ¢л¯®«-повбп "¯®ª®¬¯®-¥-в-®". ¤
‘«¥¤á⢨¥. 8 A; B 2 Mm£n, 8 ¸; ¹ 2 R ¢ë¯®«-¥-®:
1) 0 ¢ A = ¸ ¢ O = O;
2) ¡(¸A) = (¡¸)A = ¸(¡A); 3) (¸ ¡ ¹)A = ¸A ¡ ¹A;
4) ¸(A ¡ B) = ¸A ¡ ¸B.
‹¨-¥©- ï ª®¬¡¨- æ¨ï ¨ «¨-¥©- ï ®¡®«®çª
Ž¯à¥¤¥«¥-¨¥. •ãáâì A1; A2; : : : ; Ak 2 Mm£n, ¸1; ¸2; : : : ; ¸k 2 R.
|
iP |
|
‘㬬 |
=1k |
¸iAi - §ë¢ ¥âáï «¨-¥©-®© ª®¬¡¨- 樥© ¬ âà¨æ A1; A2; : : : |
: : : ; Ak á ª®íää¨æ¨¥-â ¬¨ ¸1; ¸2; : : : ; ¸k.
P
k
0, â® £®¢®àïâ, çâ® «¨-¥©- ï ª®¬¡¨- æ¨ï -¥âਢ¨
…᫨ å®âï ¡ë ®¤¨- ¨§ ª®íää¨æ¨¥-⮢ ¢ á㬬¥ i=1 ¸iAi -¥ à ¢¥- «ì- ï. Ÿá-®, çâ®
âਢ¨ «ì- ï «¨-¥©- ï ª®¬¡¨- æ¨ï à ¢- -ã«¥¢®© ¬ âà¨æ¥. …᫨ ¬ âà¨æ B 2 Mm£n à ¢- «¨-¥©-®© ª®¬¡¨- 樨 ¬ âà¨æ8 A1; A2;
: : : ; Ak, £®¢®àïâ, çâ® ¬ âà¨æ B à ᪫ ¤ë¢ ¥âáï ¯® A1; A2; : : : ; Ak, ¨«¨ «¨-¥©-® ¢ëà ¦ ¥âáï ç¥à¥§ A1; A2; : : : ; Ak.
Ž¯à¥¤¥«¥-¨¥. •ãáâì A | á¨á⥬ ¬ âà¨æ ¨§ Mm£n. Œ-®¦¥á⢮ ¬ âà¨æ ¨§ Mm£n, ª®â®àë¥ «¨-¥©-® ¢ëà ¦ îâáï ç¥à¥§ -¥áª®«ìª® (ª®-¥ç-®¥ ç¨á«®) ¬ âà¨æ ¨§ A, - §ë¢ ¥âáï «¨-¥©-®© ®¡®«®çª®© á¨á-
⥬ë A.
‹¨-¥©- ï ®¡®«®çª 9 á¨á⥬ë A ®¡®§- ç ¥âáï hAi. ‚ ç áâ-®áâ¨,
hA1; A2; : : : ; Aki | «¨-¥©- ï ®¡®«®çª |
ª®-¥ç-®© á¨áâ¥¬ë ¬ âà¨æ A1; |
||
A2; : : : ; Ak. |
|
|
|
¯®«ãç¨âáï ¬ âà¨æ , -¥ § ¢¨áïé ï ®â ¯®à浪 |
¢ë¯®«-¥-¨ï ®¯¥à 権 á«®¦P¥-¨ï ¨ |
||
8‘¢®©á⢠¨§ ¯à¥¤«®¦¥-¨ï 1.1 ¯®§¢®«ïîâ ã⢥ত âì, çâ® ¢ á㬬¥ |
k ¸iAi |
||
|
|
|
i=1 |
ã¬-®¦¥-¨ï - ç¨á«®.
9‚ â¥à¬¨- å «¨-¥©-®© «£¥¡àë hAi | íâ® - ¨¬¥-ì襥 ¯®¤¯à®áâà -á⢮ ¢¥ª- â®à-®£® ¯à®áâà -á⢠, ᮤ¥à¦ 饥 ¢á¥ ¢¥ªâ®àë ¨§ A. ”®à¬ «ì-® ¬®¦-® § ¯¨-
11
ˆâ ª, ¯® ®¯à¥¤¥«¥-¨î B 2 hAi , B «¨-¥©-® ¢ëà ¦ ¥âáï ç¥à¥§ -¥áª®«ìª® á⮫¡æ®¢ ¨§ A. “á«®¢¨¬áï áç¨â âì, çâ® h?i = O. Ÿá-®,
çâ® ¤«ï «î¡®£® ¬-®¦¥á⢠A ½ Mm£n ¢ë¯®«-¥-® A ½ hAi. ’ ª¦¥ ¯®-ïâ-®, çâ® ¤«ï «î¡®© á¨áâ¥¬ë ¬ âà¨æ A ¢ë¯®«-¥-® O 2 hAi.
’à -ᯮ-¨à®¢ -¨¥
Ž¯à¥¤¥«¥-¨¥. •ãáâì ¤ - ¬ âà¨æ |
|
A 2 Mm£n, A = (aij). Œ â- |
||||||||||||||
à¨æ (bij) 2 Mn£m |
- §ë¢ ¥âáï âà -ᯮ-¨à®¢ --®© ª ¬ âà¨æ¥ A, |
|||||||||||||||
¥á«¨ bij = aji ¤«ï ¢á¥å i = 1; 2; : : : ; m, j = 1; 2; : : : ; n. |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
Œ âà¨æã, âà -ᯮ-¨à®¢ --ãî ª A, ¡ã¤¥¬ ®¡®§- ç âì AT . |
|
|||||||||||||
|
|
Ž¯¥а ж¨о, б®¯®бв ¢«пойго ª ¦¤®© ¬ ва¨ж¥ A ¬ âà¨æã AT , ¡ã- |
||||||||||||||
¤¥¬ - §ë¢ âì |
âà -ᯮ-¨à®¢ -¨¥¬.10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
•¥âàã¤-® ¯à¥¤áâ ¢¨âì âà -ᯮ-¨à®¢ -¨¥ - £«ï¤-®: í⮠ᨬ¬¥â- |
||||||||||||||
à¨ï ®â-®á¨â¥«ì-® £« ¢-®© ¤¨ £®- «¨. ‘⮫¡æë ¬ âà¨æë AT | íâ® |
||||||||||||||||
âà -ᯮ-¨à®¢ --ë¥ áâப¨ ¬ âà¨æë |
|
, â® ¥áâì ¥á«¨ |
|
0a2 ² |
1 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a1 ² |
C, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
A = |
B . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ba |
C |
|
|
|
|
a1T² |
a2T² |
: : : amT ² |
|
|
|
|
|
|
|
B m ²C |
||
â® AT = |
.11 |
|
|
|
|
|
|
@ A |
||||||||
•à¥ |
|
¡ |
|
¢ |
|
, |
|
|
¢ë¯®«-¥-®: 12 |
|
||||||
|
|
|
¤«®¦¥-¨¥ 1.2. |
8 A; B 2 Mm£n |
|
8 ¸ 2 R |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
1) (AT )T = A; |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
2) (A + B)T = AT + BT |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
3) (¸A)T = ¸AT . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
B •¥¯®á।á⢥-- ï ¯à®¢¥àª .13 |
¤ |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
; A2; : : : ; Ak 2 A; ¸1; ¸2; : : : ; ¸k 2 R): |
|
|
|||||||||||
á âì hAi = (i=1 |
¸iAi k 2 N; A1 |
|
|
|||||||||||||
10 |
|
|
P |
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ƒ®¢®àï ¡®«¥¥ â®ç-¯®, âà -ᯮ-¨à®¢ -¨¥ | íâ® ®â®¡à ¦¥-¨¥ (®ç¥¢¨¤-®, ¡¨¥ª- |
||||||||||||||
⨢-®¥) ' : Mm£n ! Mn£m, ¯à¨ ª®â®à®¬ '(A) = AT . |
|
|
|
|
|
|||||||||||
11 |
•® íâ®¬ã ¯à ¢¨«ã 㤮¡-® ¢ë¯¨áë¢ âì ¬ âà¨æã, âà -ᯮ-¨à®¢ --ãî ª ¤ -- |
|||||||||||||||
-®©. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
12 |
‘¢®©á⢠2) ¨ 3) ®§- ç îâ, çâ® ®¯¥à æ¨ï âà -ᯮ-¨à®¢ -¨ï «¨-¥©- . |
|
||||||||||||||
13 |
‘¢®©бв¢® 1) ®з¥¢¨¤-®. „«п 2) ¨ 3) ¯а¨¢¥¤¥¬ б®®в¢¥вбв¢гойго ¯а®¢¥аªг: |
|||||||||||||||
2) •ãáâì |
A = (aij), B = (bij), AT = (cij), BT = (dij), |
A + B = S = (sij), |
||||||||||||||
ST = (rij). ’®£¤ |
rij = sji = aji + bji = cij + dij, çâ® ¨ âॡã¥âáï. |
|
|
|||||||||||||
12
‡ ¤ ç¨ ¨ ã¯à ¦-¥-¨ï |
|
|
|
|
|
0 |
|
¡61. |
|
1. |
‚ëç¨á«¨â¥ A + 3BT , £¤¥ A = |
2 |
¡5 |
|
1 |
, B = |
2 |
||
|
µ |
4 |
2 |
0 |
¶ |
|
1 |
7 |
|
|
|
|
¡ |
¡ |
|
|
@ |
|
A |
2. |
“ª ¦¨â¥ -¥ª®â®àãî á¨á⥬㠨§ ç¥âëà¥å ¬ âà¨æ A1, A2, A3, |
||||||||
|
A4 2 M2£2 â ªãî, çâ® hA1; A2; A3; A4i = M2£2. |
|
|
|
|||||
3.„®ª ¦¨â¥, çâ® ¬-®¦¥á⢮ áâப f(x1; x2; x3; x4) j x1 + x2 + x3 + + x4 = 0g ᮢ¯ ¤ ¥â á «¨-¥©-®© ®¡®«®çª®© áâப (¡1; 1; 0; 0);
(¡1; 0; 1; 0); (¡1; 0; 0; 1).
4.•ãáâì A | ¯à®¨§¢®«ì- ï á¨á⥬ á⮫¡æ®¢ ¨§ Mn£1. „®ª - ¦¨â¥, çâ® hhAii = hAi.
5. Š¢ ¤à â- ï ¬ âà¨æ A - §ë¢ ¥âáï ᨬ¬¥âà¨ç¥áª®©, ¥á«¨
AT = A, ¨ ª®á®á¨¬¬¥âà¨ç¥áª®©, ¥á«¨ AT = ¡A. „®ª ¦¨â¥,
çâ® «î¡ ï ª¢ ¤à â- ï ¬ âà¨æ ¯à¥¤áâ ¢«ï¥âáï ¥¤¨-á⢥--ë¬ ®¡à §®¬ ¢ ¢¨¤¥ á㬬ë B + C, £¤¥ B | ᨬ¬¥âà¨ç¥áª ï, C |
ª®á®á¨¬¬¥âà¨ç¥áª ï ¬ âà¨æë.
x 2. ‹¨-¥©- ï § ¢¨á¨¬®áâì ¨ à -£
‹¨-¥©- ï § ¢¨á¨¬®áâì
‚í⮬ ¨ á«¥¤ãî饬 ¯ã-ªâ å à¥çì ¯®©¤¥â ® «¨-¥©-®© § ¢¨á¨¬®áâ¨
¨à -£¥ ¤«п б¨бв¥¬ ¢¥ªв®а®¢-бв®«¡ж®¢. ‚б¥ ®¯а¥¤¥«¥-¨п ¨ гв¢¥а¦- ¤¥-¨п ¡¥§ ¨§¬¥-¥-¨© ¯¥а¥-®бпвбп - б¨бв¥¬л ¢¥ªв®а®¢-бва®ª.14
3) •ãáâì A = (aij), ¸A = B = (bij), BT = (cij), AT = (dij). ’®£¤ |
cij = bji = |
= ¸aji = ¸dij. |
|
14‚ᥠ®áâ ¥âáï ¢ ᨫ¥ ¨ ¤«ï ¬ âà¨æ 䨪á¨à®¢ --®£® à §¬¥à , ¨ ¢®®¡é¥ ¤«ï á¨á- |
|
⥬ í«¥¬¥-⮢ ¯à®¨§¢®«ì-®£® ¢¥ªâ®à-®£® ¯à®áâà -á⢠. „«ï ¢¥ªâ®à®¢ £¥®¬¥â- |
|
à¨ç¥áª®£® ¢¥ªâ®à-®£® ¯à®áâà -á⢠¯®-ï⨥ «¨-¥©-®© § ¢¨á¨¬®á⨠¨¬¥¥â á«¥- |
|
¤ãî騩 á¬ëá«: á¨á⥬ ¨§ ¤¢ãå ¢¥ªâ®à®¢ a1; a2 «¨-¥©-® § ¢¨á¨¬ |
, a1 ¨ a2 |
ª®««¨-¥ à-ë; á¨á⥬ ¨§ âà¥å ¢¥ªâ®à®¢ a1; a2; a3 «¨-¥©-® § ¢¨á¨¬ |
, a1; a2; a3 |
ª®¬¯« - à-ë. |
|
13
Ž¯à¥¤¥«¥-¨¥. ‘¨á⥬ á⮫¡æ®¢ A1; A2; : : : ; Ak ¨§ Mm£1 - §ë¢ - ¥âáï «¨-¥©-® § ¢¨á¨¬®©, ¥á«¨ -¥ª®â®à ï ¨å -¥âਢ¨ «ì- ï «¨-¥©- ï ª®¬¡¨- æ¨ï à ¢- O, ¨ «¨-¥©-® -¥§ ¢¨á¨¬®© ¢ ¯à®â¨¢-®¬ á«ãç ¥.
•®« £ îâ, çâ® ¯ãáâ ï á¨á⥬ ¢¥ªâ®à®¢-á⮫¡æ®¢ «¨-¥©-® -¥§ - ¢¨á¨¬ | ä®à¬ «ì-® í⮠ᮣ« áã¥âáï á ®¯à¥¤¥«¥-¨¥¬.
•à¥¤«®¦¥-¨¥ 2.1. ‘¨á⥬ |
á⮫¡æ®¢ A1; |
A2; : : : ; Ak 2 Mm£1 |
|||||||
(k > 2) «¨-¥©-® § ¢¨á¨¬ |
, á।¨ á⮫¡æ®¢ A1; A2; : : : ; Ak - ©¤¥âáï |
||||||||
á⮫¡¥æ, ª®â®àë© «¨-¥©-® ¢ëà ¦ ¥âáï ç¥à¥§ ®áâ «ì-ë¥. |
|||||||||
¦¥¬, ¸k = 0. ’®£P |
|
|
|
à ¢¥-á⢮ - |
|
¸k ¨ ¯¥à¥-¥á¥¬ Ak ¢ |
|||
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
B ) •ãáâì i=1 ¸iAi |
= O, ¨ -¥ ¢á¥ ª®íää¨æ¨¥-âë à ¢-ë 0, ᪠- |
||||||||
6 |
¤ |
¯®¤¥«¨¬ |
|
¡ |
|
|
|
||
|
|
|
|
iP |
|
|
|
||
: : : ; k ¡ 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k¡1 |
|
|
¸i |
|
¤àã£ãî ç áâì; ¯®«ã稬 Ak = |
=1 ¹iAi, £¤¥ ¹i |
= ¡ |
¸k |
, i = 1; 2; : : : |
|||||
( •ãáâì, ᪠¦¥¬, Ak à ᪫ ¤ë¢ ¥âáï ¯® á⮫¡æ ¬ A1; A2; : : : ; |
|||||||||
ª®¬¡¨- æ¨ï,P |
O ¤ |
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
k¡1 |
|
|
k¡1 |
|
|
|
|
|
Ak¡1: Ak = i=1 ¹iAi. ’®£¤ |
i=1 ¹iAi¡Ak | -¥âਢ¨ «ì- ï «¨-¥©- ï |
||||||||
|
à ¢- ï . |
|
|
|
|
|
|
|
|
•à¥¤«®¦¥-¨¥ 2.2. 1) …᫨ ¢ á¨á⥬¥ A1; A2; : : : ; Ak 2 Mm£1 -¥- ª®â®à ï ¯®¤á¨á⥬ «¨-¥©-® § ¢¨á¨¬ , â® ¨ ¢áï á¨á⥬ «¨-¥©-® § ¢¨á¨¬ .
ᨬ2). •®¤á¨á⥬ «¨-¥©-® -¥§ ¢¨á¨¬®© á¨áâ¥¬ë «¨-¥©-® -¥§ ¢¨-
B 1) •ãáâì, ᪠¦¥¬, ¤«ï á¨á⥬ë á⮫¡æ®¢ A1; A2; : : : ; Ak ¥¥
¯®¤á¨á⥬ A1; A2; : : : ; As (s 6 k) «¨-¥©-® § ¢¨á¨¬ , |
¨ -¥ª®â®- |
||
s |
iP |
|
|
à ï -¥âਢ¨ «ì- ï «¨-¥©- ï ª®¬¡¨- æ¨ï |
=1s |
¹iAi à ¢- |
O. ’®£¤ |
P ¹iAi + 0 ¢ Am+1 + : : : + 0 ¢ Ak | -¥âਢ¨ «ì- ï «¨-¥©- ï ª®¬¡¨-
i=1
-æ¨ï, à ¢- ï O.
2)•â® ¯¥à¥ä®à¬ã«¨à®¢ª ã⢥ত¥-¨ï 1). ¤
‘«¥¤á⢨¥. 1) ‘¨á⥬ á⮫¡æ®¢ ¨§ Mm£1, ᮤ¥à¦ é ï O, ï- ¥âáï «¨-¥©-® § ¢¨á¨¬®©.
14
2) ‘¨á⥬ á⮫¡æ®¢ ¨§ Mm£1, ᮤ¥à¦ é ï ¤¢ ®¤¨- ª®¢ëå á⮫¡æ , ï¥âáï «¨-¥©-® § ¢¨á¨¬®©.
•à¥¤«®¦¥-¨¥ 2.3. …᫨ á¨á⥬ A1; A2; : : : ; Ak 2 Mm£1 «¨-¥©-® -¥§ ¢¨á¨¬ ¨ B = Pk ¸iAi; â® ª®íää¨æ¨¥-âë ¸1; ¸2; : : : ; ¸k ®¯à¥¤¥- «повбп ®¤-®§- з-®i.=1
B•à¥¤¯®«®¦¨¬, çâ® B à §«®¦¥- ¯® á⮫¡æ ¬ A1; A2; : : : ; Ak ¥é¥
ªª¨¬-⮠ᯮᮡ®¬: B = Pk ¹iAi. ‚ëç¨â ï ¨§ ®¤-®£® à §«®¦¥-¨ï
i=1
¤à㣮¥, ¯®«ãç ¥¬ iP=1k (¸i ¡ ¹i)Ai = O. ’ ª ª ª A1; A2; : : : ; Ak | «¨- -¥©-® -¥§ ¢¨á¨¬ ï á¨á⥬ , â® «¥¢ ï ç áâì ¯®á«¥¤-¥£® à ¢¥-á⢠| âਢ¨ «ì- ï «¨-¥©- ï ª®¬¡¨- æ¨ï, ®âªã¤ ¸i = ¹i, i = 1; 2; : : : ; k. ¤
Ž¯à¥¤¥«¥-¨¥. •ãáâì A | á¨á⥬ ¢¥ªâ®à®¢-á⮫¡æ®¢ ¨§ Mm£1. Š®-¥ç-ãî ¯®¤á¨á⥬ã A1; A2; : : : ; Ar á¨á⥬ë A ¡ã¤¥¬ - §ë¢ âì ¡ §¨á-®© ¤«ï A, ¥á«¨ ®- «¨-¥©-® -¥§ ¢¨á¨¬ , ¨ «î¡®© á⮫¡¥æ ¨§
A ¯à¨- ¤«¥¦¨â hA1; A2; : : : ; Ari.
•¨¦¥ ¤ ¤¨¬ ®¯¨á -¨¥ ¡ §¨á-ëå15 ¯®¤á¨á⥬ ¤«ï ¯à®¨§¢®«ì-ëå |
|||||
á¨á⥬ ¢¥ªâ®à®¢-á⮫¡æ®¢, |
¯®ª |
㪠¦¥¬ ¯à¨¬¥à ¡ §¨á-®© ¯®¤á¨á- |
|||
â¥¬ë ¢ Mm£1 |
. ‚ ¬-®¦¥á⢥ Mm£1 à áᬮâਬ á¨á⥬ã á⮫¡æ®¢ |
||||
001 |
|
011 |
|
001 |
- -¬ ¬¥á⥠|
1 |
|
0 |
|
0 |
|
e1 = B.C, |
e2 |
= B.C, : : : ; |
em = |
B.C (ã á⮫¡æ ei |
i |
B0C |
|
B0C |
|
B1C |
|
B C |
|
B C |
|
B C |
|
@ A |
|
@ A |
|
@ A |
|
¥¤¨-¨æ , |
®áâ «ì-ë¥ í«¥¬¥-âë à ¢-ë -ã«î). |
|
|||
•à¥¤«®¦¥-¨¥ 2.4. ‘¨á⥬ á⮫¡æ®¢ e1; : : : ; em ï¥âáï ¡ §¨á- |
|||||
-®© ¯®¤á¨á⥬®©16 ¢ Mm£1. |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
15•à¥¤« £ ¥¬ë© â¥à¬¨- "¡ §¨á- ï ¯®¤á¨á⥬ " - 室¨âáï ¢ ᮣ« ᨨ á ®¡é¥¯- |
|||||
à¨-ïâë¬ ®¯à¥¤¥«¥-¨¥¬ ¡ §¨á |
¢ «¨-¥©-®© «£¥¡à¥: ¤¥©á⢨⥫ì-®, 㯮à冷ç¥-- |
||||
- ï ¡ §¨á- ï ¯®¤á¨á⥬ ¢ á¨á⥬¥ |
mA |
| íâ® ¡ §¨á ¯®¤¯à®áâà -á⢠|
. „«ï |
||
«¨-¥©-®£® ®â®¡à ¦¥-¨ï ' : R |
n |
! R |
|
hAi |
|
|
, § ¤ --®¬ ¬ âà¨æ¥© A, ¡ §¨á- ï á¨á⥬ |
||||
á⮫¡æ®¢ ¬ âà¨æë A | íâ® ¡ §¨á ¢ Im '. |
|
||||
16“¯®à冷ç¥--ãî á¨á⥬ã á⮫¡æ®¢ e1; : : : ; em - §ë¢ îâ áâ -¤ àâ-ë¬ ¡ §¨- ᮬ ¢ Rm = Mm£1.
|
|
|
|
|
|
|
15 |
|
ˆ§ à ¢¥-á⢠|
m |
0 |
¸2 |
1 |
m |
, â® |
B |
|
|
|
¸1 |
C ¢¨¤-®, çâ® ¥á«¨ i=1 ¸iei = O |
|
|
|
i=1 ¸iei = B . |
|
|||||
|
|
P |
B¸ |
C |
P |
|
|
¸1 = ¸2 = : : : = ¸m = 0, |
B mC |
|
|
||||
@ e1A; : : : ; em | «¨-¥©-® -¥§ ¢¨á¨¬ ï |
|||||||
|
|
|
¯®í⮬ã |
|
|
|
|
á¨á⥬ . ˆ§ ⮣® ¦¥ à ¢¥-á⢠|
¢¨¤-®, çâ® «î¡®© á⮫¡¥æ ¨§ Mm£1 |
||||||
¬®¦-® à §«®¦¨âì ¯® á⮫¡æ ¬ e1; : : : ; em. ¤ |
|
|
|||||
• -£
Ž¯à¥¤¥«¥-¨¥. –¥«®¥ -¥®âà¨æ ⥫ì-®¥ ç¨á«® r - §ë¢ ¥âáï à -£®¬ -¥¯ãá⮩ (¢®§¬®¦-®, ¡¥áª®-¥ç-®©) á¨á⥬ë A ¢¥ªâ®à®¢-á⮫¡æ®¢ ¨§
Mm£1, ¥á«¨ ¢ A ¬®¦-® ¢ë¡à âì r á⮫¡æ®¢, ïîé¨åáï «¨-¥©-® -¥- § ¢¨á¨¬®© á¨á⥬®©, -® -¥«ì§ï ¢ë¡à âì r + 1 á⮫¡æ®¢, ïîé¨åáï «¨-¥©-® -¥§ ¢¨á¨¬®© á¨á⥬®©.
Ž¡®§- ç¥-¨¥ ¤«ï à -£ :17 rg A. ‚ ç áâ-®áâ¨, rg(A1; A2; : : : ; Ak) | à -£ ª®-¥ç-®© á¨á⥬ë á⮫¡æ®¢ A1; A2; : : : ; Ak.
ˆâ ª, à -£ á¨áâ¥¬ë ¢¥ªâ®à®¢-á⮫¡æ®¢ A | íâ® ¬ ªá¨¬ «ì-®¥
ª®«¨ç¥á⢮ ¢¥ªâ®à®¢-á⮫¡æ®¢, ª®â®à®¥ ¬®¦¥â ¡ëâì ¢ «¨-¥©-® -¥- § ¢¨á¨¬®© ¯®¤á¨á⥬¥ A. ‚ ç áâ-®áâ¨, á¨á⥬ ¨§ ®¤-®£® ¨«¨ -¥-
᪮«ìª¨å -ã«¥¢ëå ¢¥ªâ®à®¢ ¨¬¥¥â à -£ 0. Ÿá-®, çâ® à -£ ®¯à¥¤¥«¥- ¤«ï «î¡®© ª®-¥ç-®© á¨áâ¥¬ë ¢¥ªâ®à®¢-á⮫¡æ®¢ ¨ -¥ ¯à¥¢®á室¨â ª®«¨ç¥á⢠á⮫¡æ®¢ ¢ á¨á⥬¥.18 ‚ á«ãç ¥, ¥á«¨ ¢ á¨á⥬¥ ¨¬¥îâáï -¥áª®«ìª® à ¢-ëå á⮫¡æ®¢, ¬®¦-® ®áâ ¢¨âì ®¤¨- ¨§ -¨å, 㤠«¨¢ "ª®¯¨¨" | à -£ ¯à¨ í⮬ -¥ ¨§¬¥-¨âáï.
•à¥¤«®¦¥-¨¥ 2.5. Š®-¥ç- ï á¨á⥬ A, á®áâ®ïé ï ¨§ k á⮫¡- 殢, «¨-¥©-® -¥§ ¢¨á¨¬ , rg A = k.
B ‘à §ã á«¥¤ã¥â ¨§ ®¯à¥¤¥«¥-¨ï. ¤
17…᫨ A ï¥âáï ¯®¤¯à®áâà -á⢮¬ ¢¥ªâ®à-®£® ¯à®áâà -á⢠, â® à -£ ¯à¨-
-ïâ® - §ë¢ âì à §¬¥à-®áâìî ¯®¤¯à®áâà -á⢠A ¨ ®¡®§- ç âì dim A.
18•¨¦¥ ¬ë 㢨¤¨¬, çâ® ¨ ¤«ï «î¡®© ¡¥áª®-¥ç-®© á¨áâ¥¬ë ¢¥ªâ®à®¢-á⮫¡æ®¢ ¨§ Mm£1 ®¯à¥¤¥«¥- à -£, ¯à¨ç¥¬ íâ®â à -£ -¥ ¯à¥¢®á室¨â m. ‚ ®â«¨ç¨¥ ®â
¯à®áâà -á⢠á⮫¡æ®¢ ¢ëá®âë m, áãé¥áâ¢ãîâ ¢¥ªâ®à-ë¥ ¯à®áâà -á⢠, ᮤ¥à- ¦ 騥 á¨áâ¥¬ë ¢¥ªâ®à®¢ ¡¥áª®-¥ç-®£® à -£ (íâ® ®§- ç ¥â, çâ® ¤«ï «î¡®£® r ¬®¦-® ¢ë¡à âì «¨-¥©-® -¥§ ¢¨á¨¬ãî ¯®¤á¨á⥬㠨§ r ¢¥ªâ®à®¢).
16
•à¥¤«®¦¥-¨¥ 2.6. •ãáâì A1; A2 | ¤¢¥ á¨á⥬ë á⮫¡æ®¢ ¨§ |
|||
B •ãáâì íâ® -¥ â ª, ¨ ¢ ®¡ê¥¤¨-¥-¨¨ - ¡®à®¢ |
S1 ¨ |
2 - è« áì |
|
Mm£1, ¯à¨ç¥¬ rg A1 = r1, rg A2 |
= r2. ’®£¤ rg(A1 |
A2) 6 r1 + r2. |
|
|
|
A |
A |
«¨-¥©-® -¥§ ¢¨á¨¬ ï ¯®¤á¨á⥬ |
¨§ r1 + r2 + 1 á⮫¡æ®¢. •® (¯® |
||
®¯à¥¤¥«¥-¨î à -£ ¨ ¯à¥¤«®¦¥-¨î 2.2) á।¨ íâ¨å á⮫¡æ®¢ -¥ ¡®«¥¥ r1 ¢¥ªâ®à®¢ ¨§ A1, ¨ -¥ ¡®«¥¥ r2 ¢¥ªâ®à®¢ ¨§ A2. •à®â¨¢®à¥ç¨¥. ¤
•à¥¤«®¦¥-¨¥ 2.7. •ãáâì A; B | ¤¢¥ á¨á⥬ë á⮫¡æ®¢ ¨§ Mm£1, ¯à¨ç¥¬ A ½ B ¨ rg B = r. ’®£¤ rg A 6 r.
B ‘à §ã á«¥¤ã¥â ¨§ ®¯à¥¤¥«¥-¨ï. ¤
•à¥¤ë¤ã饥 ¯à¥¤«®¦¥-¨¥ ¯®ç⨠®ç¥¢¨¤-®: ¥á«¨ ª á¨á⥬¥ á⮫¡- 殢 A ¤®¡ ¢¨âì -¥ª®â®àë¥ á⮫¡æë (à áè¨à¨âì A ¤® á¨á⥬ë B), â®
à -£ -¥ 㬥-ìè¨âáï. Žª §ë¢ ¥âáï, à -£ -¥ ¨§¬¥-¨âáï, ¥á«¨ ª A
¤®¡ ¢«ïâì «¨-¥©-ë¥ ª®¬¡¨- 樨 á⮫¡æ®¢ ¨§ A (¨ - ®¡®à®â, à -£
-¥ ¨§¬¥-¨вбп, ¥б«¨ ¨§ б¨бв¥¬л бв®«¡ж®¢ г¤ «¨вм бв®«¡¥ж, ª®в®ал© а бª« ¤л¢ ¥вбп ¯® ®бв ¢и¨¬бп бв®«¡ж ¬). Ž¡®¡й¥-¨¥ нв®£® д ªв б®бв ¢«п¥в ᮤ¥а¦ -¨¥ б«¥¤гой¥© ®б-®¢-®© в¥®а¥¬л ® а -£ е. „®- ª § в¥«мбв¢г в¥®а¥¬л ¯а¥¤¯®и«¥¬ ¤¢¥ «¥¬¬л (ª®в®ал¥ п¢«повбп з бв-л¬¨ б«гз п¬¨ в¥®а¥¬л).
‹¥¬¬ 1. •ãáâì A | á¨á⥬ ¢¥ªâ®à®¢-á⮫¡æ®¢ ¨§ Mm£1, ¯à¨- 祬 rg A = r. ’®£¤ «î¡ ï «¨-¥©-® -¥§ ¢¨á¨¬ ï ¯®¤á¨á⥬ ¨§ r
á⮫¡æ®¢ ï¥âáï ¡ §¨á-®© ¤«ï A.
B •ãáâì A1; A2; : : : ; Ar | -¥ª®â®à ï «¨-¥©-® -¥§ ¢¨á¨¬ ï ¯®¤- á¨á⥬ ¢ A, A | ¯à®¨§¢®«ì-ë© á⮫¡¥æ ¨§ A. „®áâ â®ç-® ¤®ª § âì,
çâ® A «¨-¥©-® ¢ëà ¦ ¥âáï ç¥à¥§ á⮫¡æë A1; A2; : : : ; Ar.
ˆ§ ®¯à¥¤¥«¥-¨ï à -£ á«¥¤ã¥â, çâ® á¨á⥬ ¨§ r + 1 á⮫¡æ®¢ A;
«¨-¥©-® § ¢¨á¨¬ . ’®£¤ - ©¤ãâáï ç¨á« ¹; ¸1; : : : ; ¢-ë¥ -ã«î ¨ â ª¨¥, çâ® ¹A+ Pr ¸iAi = O. •à¨ í⮬
i=1
¹ 6= 0, ¨- ç¥ á¨á⥬ A1; A2; : : : ; Ar ¡ë« ¡ë «¨-¥©-® § ¢¨á¨¬®©. Žâáî¤ A = ¡ Pr ¸i Ai. ¤
i=1 ¹
‹¥¬¬ 2. •ãáâì A1; A2; : : : ; Ak | ª®-¥ç- ï á¨á⥬ ¢¥ªâ®à®¢-
á⮫¡æ®¢ ¨§ Mm£1, B 2 hA1; A2; : : : ; Aki. ’®£¤ rg(A1; A2; : : : ; Ak) = = rg(A1; A2; : : : ; Ak; B).
17
B •®«®¦¨¬ r = rg(A1; A2; : : : ; Ak) (r 6 k). •à¥¤¯®«®¦¨¬, çâ® ã⢥ত¥-¨¥ -¥¢¥à-®, ¨ ¢ á¨á⥬¥ A1; A2; : : : ; Ak; B - è« áì «¨-¥©-® -¥§ ¢¨á¨¬ ï ¯®¤á¨á⥬ ¨§ r + 1 ¢¥ªâ®à®¢-á⮫¡æ®¢. ’®£¤ ®¤¨- ¨§
íâ¨å r + 1 á⮫¡æ®¢ | íâ® B (â ª ª ª ¢ á¨á⥬¥ A1; A2;: : : ; Ak -¥â «¨-¥©-® -¥§ ¢¨á¨¬®© ¯®¤á¨áâ¥¬ë ¨§ r +1 ¢¥ªâ®à®¢-á⮫¡æ®¢). ˆâ ª,
¯ãáâì ¤«ï ®¯à¥¤¥«¥--®á⨠B; A1; A2; : : : ; Ar | «¨-¥©-® -¥§ ¢¨á¨¬ ï
á¨á⥬ . ˆ§ ¯à¥¤«®¦¥-¨ï 2.2 á«¥¤ã¥â, çâ® á¨á⥬ A1; A2; : : : ; Ar «¨-
-¥©-® -¥§ ¢¨á¨¬ , §- ç¨â, ¯® «¥¬¬¥ 1 ª ¦¤ë© ¨§ ¢¥ªâ®à®¢-á⮫¡æ®¢ A1; A2; : : : ; Ak «¥¦¨â ¢ hA1; A2; : : : ; Ari. •® ãá«®¢¨î B à ¢¥- «¨-
-¥©-®© ª®¬¡¨- 樨 ¢¥ªâ®à®¢-á⮫¡æ®¢ A1; A2; : : : ; Ak: B = Pk ¸iAi.
i=1
•®¤áâ ¢¨¢ ¢ íâ® ¢ëà ¦¥-¨¥ à §«®¦¥-¨ï A1; A2; : : : ; Ak ¯® á⮫¡- æ ¬ A1; A2; : : : ; Ar, ¯®«ã稬, çâ® B à ᪫ ¤ë¢ ¥âáï ¯® ¢¥ªâ®à ¬- á⮫¡æ ¬ A1; A2; : : : ; Ar. •® íâ® ¯à®â¨¢®à¥ç¨â «¨-¥©-®© -¥§ ¢¨á¨- ¬®á⨠á¨á⥬ë B; A1; A2; : : : ; Ar (á¬. ¯à¥¤«®¦¥-¨¥ 2.1). ¤
’¥®à¥¬ 2.1 (®á-®¢- ï ⥮६ ® à -£ å). •ãáâì A ¨ B | ¤¢¥
â ª¨¥ á¨áâ¥¬ë ¢¥ªâ®à®¢-á⮫¡æ®¢ ¨§ Mm£1, çâ® A ½ B. •ãáâì rg A = r. ’®£¤ rg B = r , «î¡®© á⮫¡¥æ ¨§ B ¯à¨- ¤«¥¦¨â hAi.
B ) ‚ á¨á⥬¥ A § 䨪á¨à㥬 -¥ª®â®àãî «¨-¥©-® -¥§ ¢¨á¨-
¬ãî ¯®¤á¨á⥬ã A1; A2; : : : ; Ar ¨§ r ¢¥ªâ®à®¢. ’ ª ª ª A1; A2; : : :
: : : ; Ar 2 B ¨ rg B = r, â® ¯® «¥¬¬¥ 1 (¯à¨¬¥-¥--®© ª á¨á⥬¥ B) «î¡®© á⮫¡¥æ ¨§ B «¥¦¨â ¢ hA1; A2; : : : ; Ari ¨, á«¥¤®¢ ⥫ì-®, ¢ hAi.
( •à¥¤¯®«®¦¨¬, çâ® ã⢥ত¥-¨¥ -¥¢¥à-®, ¨ ¢ á¨á⥬¥ B - - è« áì «¨-¥©-® -¥§ ¢¨á¨¬ ï ¯®¤á¨á⥬ ¨§ r + 1 ¢¥ªâ®à®¢-á⮫¡æ®¢
B1; B2; : : : ; Br+1. Š ¦¤ë© ¨§ -¨å «¨-¥©-® ¢ëà ¦ ¥âáï ç¥à¥§ -¥- ᪮«ìª® (ª®-¥ç-®¥ ç¨á«®) ¢¥ªâ®à®¢-á⮫¡æ®¢ ¨§ A, ¯®í⮬㠬®¦-®
¢ë¡à âì ª®-¥ç-ãî á¨á⥬ã á⮫¡æ®¢ A1; A2; : : : ; Al ¨§ A, ç¥à¥§ ª®- â®àë¥ «¨-¥©-® ¢ëà ¦ ¥âáï ª ¦¤ë© ¨§ ¢¥ªâ®à®¢-á⮫¡æ®¢
:: : ; Br+1. ’®£¤ rg(A1; A2; : : : ; Al; B1; B2; : : : ; Br+1) > rg(B1; B2; : : :
:: : ; Br+1) = r + 1. ‘ ¤à㣮© áâ®à®-ë, ¯à¨¬¥-ïï ¬-®£®ªà â-®
«¥¬¬ã 2, ¨¬¥¥¬: rg(A1; A2; : : : ; Al; B1; B2; : : : ; Br+1) = rg(A1; A2; : : :
:: : ; Al; B1; B2; : : : ; Br) = rg(A1; A2; : : : ; Al; B1; B2; : : : ; Br¡1) = : : : =
= rg(A1; A2; : : : ; Al) 6 rg A = r. •à®â¨¢®à¥ç¨¥. ¤
‘«¥¤á⢨¥ 1 (®¯¨á -¨¥ ¡ §¨á-ëå ¯®¤á¨á⥬). •ãáâì A | á¨á- ⥬ ¢¥ªâ®à®¢-á⮫¡æ®¢ ¨§ rg A = r. ’®£¤ ¡ §¨á-묨
18
¤«ï A п¢«повбп ¢ в®з-®бв¨ «¨-¥©-® -¥§ ¢¨б¨¬л¥ ¯®¤б¨бв¥¬л ¨§ r ¢¥ªâ®à®¢-á⮫¡æ®¢.
‘«¥¤á⢨¥ 2. „«ï «î¡®© á¨á⥬ë A ¢¥ªâ®à®¢-á⮫¡æ®¢ ¨§ Mm£1 ¥¥ à -£ ®¯à¥¤¥«¥-, ¯à¨ç¥¬ rg A 6 m.
B Žç¥¢¨¤-®, rg A 6 rg Mm£1. ‘®£« á-® ¯à¥¤«®¦¥-¨î 2.4, ¢ ¬-®- ¦¥á⢥ Mm£1 ¢á¥å á⮫¡æ®¢ ¢ëá®âë m ¨¬¥¥âáï ¡ §¨á- ï ¯®¤á¨á⥬ ¨§ m á⮫¡æ®¢. Žâáî¤ = m. ¤
‘«¥¤á⢨¥ 3. „«ï «î¡®© á¨áâ¥¬ë ¢¥ªâ®à®¢-á⮫¡æ®¢ A ¨§ Mm£1 ¢ë¯®«-¥-® rg A = rghAi.
• -£ ¬ âà¨æë
Ž¯à¥¤¥«¥-¨¥. ‘⮫¡æ®¢ë¬ (áâà®ç-ë¬) à -£®¬ ¬ âà¨æë - §ë- ¢ ¥âáï à -£ á¨áâ¥¬ë ¥¥ á⮫¡æ®¢ (áâப).
‘⮫¡æ®¢ë© ¨ áâà®ç-ë© ¨ à -£ ¬ âà¨æë A ®¡®§- 稬 ᮮ⢥âáâ- ¢¥--® rgv A ¨ rgh A. ˆâ ª, ¤«ï ¬ âà¨æë (1) ¯® ®¯à¥¤¥«¥-¨î rgv A =
= rgfa²1; a²2; : : : ; a²ng, rgh A = rgfa1 ²; a2 ²; : : : ; am ²g. ‚ x 4 ¬ë ¤®ª -
¦¥¬, çâ® áâà®ç-ë© ¨ á⮫¡æ®¢ë© à -£¨ «î¡®© ¬ âà¨æë à ¢-ë, ¯®á«¥ 祣® ᬮ¦¥¬ £®¢®à¨âì ® à -£¥ ¬ âà¨æë rg A (-¥ ãâ®ç-ïï, ª ª®© ¨§
à -£®¢ rgv A ¨ rgh A ¨¬¥¥âáï ¢ ¢¨¤ã).
•à¥¤«®¦¥-¨¥ 2.8. …᫨ A0 | -¥ª®â®à ï ¯®¤¬ âà¨æ ¬ âà¨æë
A, â® rgv A0 6 rgv A ¨ rgh A0 6 rgh A.
B „®áâ â®ç-® ¯®ª § âì, çâ® ¯®á«¥ ¢ëç¥àª¨¢ -¨ï áâப¨ (¨«¨
á⮫¡æ ) à -£¨ rgv ¨ rgh -¥ 㢥«¨ç âáï.
Žç¥¢¨¤-®, çâ® ¯®á«¥ ¢ëç¥àª¨¢ -¨ï áâப¨ rgh -¥ 㢥«¨ç¨âáï. •®á«¥ ¢ëç¥àª¨¢ -¨ï áâப¨ «¨-¥©-® § ¢¨á¨¬ ï ¯®¤á¨á⥬ á⮫¡æ®¢ ®áâ ¥âáï «¨-¥©-® § ¢¨á¨¬®© (¥á«¨ -¥ª®â®à ï -¥âਢ¨ «ì- - ï «¨-¥©- ï ª®¬¡¨- æ¨ï -¥áª®«ìª¨å á⮫¡æ®¢ ¡ë« à ¢- O, â® íâ®
᢮©á⢮ á®åà -¨âáï ¨ ¯®á«¥ ¢ëç¥àª¨¢ -¨ï áâப¨), á«¥¤®¢ ⥫ì-®, rgv -¥ 㢥«¨ç¨¢ ¥âáï. ¤
•à¥¤«®¦¥-¨¥ 2.9. •ãáâì A; B 2 Mm£n. ’®£¤ rgv(A + B) 6
6 rgv A + rgv B (¨ rgh(A + B) 6 rgh A + rgh B).
19
Brgv(A+B) = rg(a²1+b²1; a²2+b²2; : : : ; a²n+b²n) 6 rg(a²1; a²2; : : :
:: : ; a²n; b²1; b²2; : : : ; b²n; a²1+b²1; a²2+b²2; : : : ; a²n+b²n), çâ® à ¢-® (¯®
⥮६¥ 2.1) rg(a²1; a²2; : : : ; a²n; b²1; b²2; : : : ; b²n). •® ¨§ ¯à¥¤«®¦¥-¨ï 2.6 á«¥¤ã¥â, çâ® ¯®á«¥¤-¨© à -£ -¥ ¯à¥¢®á室¨â rg(a²1; a²2; : : : ; a²n)+
+rg(b²1; b²2; : : : ; b²n) = rgv A + rgv B.
•áá㦤¥-¨ï ¤«ï rgh - «®£¨ç-ë. ¤
‡¤ ç¨ ¨ ã¯à ¦-¥-¨ï
1.•ãáâì ¨§¢¥áâ-®, çâ® -¥ª®â®àë© á⮫¡¥æ B à ᪫ ¤ë¢ ¥âáï ¯®
á⮫¡æ ¬ A1, A2, : : : ; Ak ¥¤¨-á⢥--ë¬ ®¡à §®¬. „®ª ¦¨â¥, çâ® á¨á⥬ A1, A2, : : : ; Ak «¨-¥©-® -¥§ ¢¨á¨¬ .
2. •ãáâì A; B 2 Mm£n. Œ®¦¥â «¨ ®ª § âìáï, çâ® rg A = 10,
rg B = 5, rg(A + B) = 3?
3.„®ª ¦¨â¥, çâ® ¬ âà¨æã à -£ r ¬®¦-® ¯à¥¤áâ ¢¨âì ¢ ¢¨¤¥ á㬬ë r ¬ âà¨æ à -£ 1.
4.• ©¤¨â¥ - ¨¡®«ì襥 ª®«¨ç¥á⢮ ¬ âà¨æ, ª®â®à®¥ ¬®¦¥â ¡ëâì ¢ «¨-¥©-® -¥§ ¢¨á¨¬®© ¯®¤á¨á⥬¥ ) ᨬ¬¥âà¨ç¥áª¨å; ¡) ª®- á®á¨¬¬¥âà¨ç¥áª¨å ¬ âà¨æ ¯®à浪 n.
x 3. “¬-®¦¥-¨¥ ¬ âà¨æ
Ž¯à¥¤¥«¥-¨¥, ®á-®¢-ë¥ á¢®©á⢠¨ ¯à¨¬¥àë
Ž¯à¥¤¥«¨¬ ã¬-®¦¥-¨¥ áâப¨ ¤«¨-ë n - |
á⮫¡¥æ ¢ëá®âë n. |
|||||
|
|
|
0b2 |
1 |
|
|
Ž¯à¥¤¥«¥-¨¥. •à®¨§¢¥¤¥-¨¥¬ ¡a1 a2 |
|
|
b1 |
C |
|
|
: : : |
an |
¢B . |
- §ë¢ - |
|||
|
|
|
Bb |
|
C |
|
|
|
|
B |
nC |
|
|
|
|
n |
@ |
|
A |
|
¥âáï ç¨á«® (â® ¥áâì ¬ âà¨æ à §¬¥à 1 £ 1) c = |
iP |
|
|
|
|
|
=1 aibi. |
|
|
|
|||
Ž¯à¥¤¥«¥-¨¥. •à®¨§¢¥¤¥-¨¥¬ ¬ âà¨æë A = (aij) 2 Mm£n - ¬ âà¨æã B = (bjk) 2 Mn£p - §ë¢ ¥âáï ¬ âà¨æ (cik) 2 Mm£p, ¢