P3_10_13
.pdf
2013-2014 уч. год, №3, 10 кл. Физика. |
|
|
|
|
||||||
Закон сохранения энергии в тепловых процессах |
|
|
||||||||
|
|
|
Q1 2 |
|
3 Q2 3 A1 2 |
3 Q2 3 A1 2 |
R R . |
|||
c1 2 |
|
|
|
|
4 |
|
4 |
|
||
v T2 T1 |
|
|||||||||
|
|
|
v T2 T1 |
|
1 |
|
2 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 Q2 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача 6. Моль идеально- |
|||
P |
|
|
|
|
|
го одноатомного газа совер- |
||||
P1 |
1 |
|
|
|
2 |
шает замкнутый цикл, состо- |
||||
|
|
|
|
|
ящий из двух изобар и двух |
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
изохор (рис. 13). Работа газа |
|||
|
|
|
|
|
|
|
за |
цикл |
Aцикл 200 Дж . |
|
P4 |
|
|
|
|
|
|
Максимальная |
и минималь- |
||
|
|
|
|
|
3 |
ная температуры газа в цикле |
||||
|
4 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
отличаются на |
T 120 K , |
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
V |
отношение давлений на изо- |
|||
0 |
|
V1 |
|
|
|
V2 |
барах равно 2. |
Найти отно- |
||
|
|
Рис.13 |
шение объѐмов газа на изо- |
|||||||
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
хорах и КПД цикла. |
|||
Решение. Начнем с определения состояний газа, в которых его |
||||||||||
температура максимальна и минимальна. Пусть температура газа в |
||||||||||
состоянии, соответствующем точке 4 на графике процесса (рис. 13) |
||||||||||
равна T4 . На изохоре 4 – 1 температура газа повышается до темпера- |
||||||||||
туры T1 . На изобаре 1 – 2 она продолжает повышаться и достигает |
||||||||||
величины T2 . На участке цикла 2 – 3 – 4 температура газа будет по- |
||||||||||
стоянно уменьшаться. Следовательно, температура газа имеет мак- |
||||||||||
симальную величину в точке 2, а минимальную – в точке 4. Тогда |
||||||||||
можно записать: T2 |
T4 T . |
|
и V2 |
|
|
|||||
Согласно обозначениям на рисунке V1 |
минимальный и |
|||||||||
максимальный объѐмы, занимаемые газом в циклическом процессе; |
||||||||||
P1 и P4 |
|
максимальное и минимальное давления газа в этом про- |
||||||||
цессе. Для работы |
Aцикл |
, совершѐнной газом за цикл, |
можем запи- |
|||||||
сать Aцикл |
P1 P4 |
|
V2 |
V1 PV1 2 PV4 1 |
PV4 2 PV1 1 . |
|||||
С учѐтом уравнений состояния идеального газа для точек 1, 2, 3 и |
||||||||||
4 на графике цикла |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
PV1 1 vRT1 , PV1 2 vRT2 , PV4 2 vRT3 , PV4 1 vRT4 . |
|||||||||
выражение для работы газа перепишем в виде |
|
|
||||||||
|
|
|
|
Aцикл vR T2 T4 T3 T1 . |
|
|
||||
Для изохоры 4 – 1 с учѐтом условия задачи P1 |
2P4 получаем: |
|||||||||
T1 2T4 . Аналогично, для изохоры 2 |
– 3 |
имеем: T3 0,5T2 . Тогда |
||||||||
выражение для работы газа за цикл можно переписать в виде: |
||||||||||
2013, ЗФТШ МФТИ, Кузьмичѐв Сергей Дмитриевич
21
2013-2014 уч. год, №3, 10 кл. Физика.
Закон сохранения энергии в тепловых процессах
Aцикл vR 0,5T2 T4 . С учѐтом соотношения T2 T4 T для тем- |
|||||||||||
ператур T2 и T4 находим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
T2 2 T |
2Aцикл |
191,9 K, T4 |
T |
2Aцикл |
71,9 K. |
||||||
|
vR |
||||||||||
|
vR |
|
|
|
|
|
|
|
|||
При расчѐте учтено, что v 1 моль . |
|
|
|
|
|
||||||
На изобаре 1 – 2 выполняется соотношение V1 / T1 V2 / T2 , отку- |
|||||||||||
да для отношения объѐмов на изохорах находим |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
2Aцикл |
|
||||
|
|
|
|
|
2 T |
vR |
|
|
|||
V1 T1 |
2T4 |
|
|
|
0,75. |
||||||
|
|||||||||||
|
2 T |
|
|
||||||||
V2 |
T2 |
T2 |
2Aцикл |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
vR |
|
|
|
|
|
При расчете учтено, что v 1 моль .
Для подсчѐта КПД цикла необходимо знать количество подведѐнной к газу теплоты. Газ получает теплоту на изохоре 4 – 1 и на изобаре 1 – 2, а на участках 2 – 3 и 3 – 4 теплоту отдаѐт. Для полного количества теплоты Qпол , полученного v молями одноатомного газа в цикле, имеем
Q4 1 vcV T1 T4 v 32 R T1 T4 ,
Q1 2 vcV T2 T1 A1 2
v 32 R T2 T1 vR T2 T1 v 52 R T2 T1 ,
Qпол Q4 1 Q1 2 v 12 R 3 T1 T4 5 T2 T1 .
С учѐтом выражений для температур получаем
Qпол v 12 R 3 2T4 T4 5 T2 0,75T2 1892,9 Дж.
Окончательно, для КПД цикла η находим
Aцикл 0,106 или 10,6%.
Qпол
Контрольные вопросы
1.Укажите обязательные части (элементы) любой тепловой машины и поясните их назначение.
2.С порцией идеального одноатомного газа проделывают два опыта. В первом опыте происходит изобарическое расширение газа. При этом температура газа увеличивается на 30 К и он совершает
2013, ЗФТШ МФТИ, Кузьмичѐв Сергей Дмитриевич
22
2013-2014 уч. год, №3, 10 кл. Физика.
Закон сохранения энергии в тепловых процессах
работу величиной A . Во втором опыте происходит адиабатическое расширение газа. Определите изменение температуры газа в адиабатическом процессе, если известно, что совершѐнная им работа также равна A .
Вобоих случаях начальное состояние газа одинаковое. Ответ поясните.
3.В изохорном процессе давление
азота увеличилось на 25%. Как и во |
P |
|
сколько раз изменилась при этом его |
1 |
3 |
внутренняя энергия? |
|
|
|
|
|
4. Циклический процесс состоит из |
|
|
адиабаты, изохоры и изобары (см. рис. |
|
|
14). На каких участках газ получает |
|
|
теплоту, а на каких отдает? |
|
|
5. При адиабатическом сжатии 8 г |
|
2 |
гелия над ним совершили работу |
|
V |
80 Дж . На сколько при этом умень- |
|
|
|
|
|
шились его внутренняя энергия и тем- |
|
Рис.14 |
пература? |
|
|
6.Сравните количества теплоты, необходимые для изобарного нагревания на T градусов одинаковых масс гелия и азота. Ответ обоснуйте. Гелий считать идеальным одноатомным газом, азот – двухатомным.
7.Рассматривая воздух как идеальный газ, показать, что при нагревании воздуха, находящегося в комнате, внутренняя энергия не изменяется, если только внешнее давление остаѐтся постоянным.
8.Некоторая порция идеального газа находится в начальном состоянии с температурой T0 и объѐмом V0 . С газом проделывают два
опыта: в первом опыте газ из начального состояния изотермически расширяют до объѐма V1 V0 V , сообщая ему некоторое количество теплоты Q1 ; во втором опыте газ изотермически сжимают до объѐма V2 V0 V , отбирая у него количество тепла Q2 . Сравните Q1 и Q2 . Начальные состояния газа в первом и втором опытах оди-
наковые.
Задачи
1. В герметичном сосуде объѐмом V 10 л содержится идеаль-
ный одноатомный газ при давлении P 105 Па . Какое количество
1
теплоты необходимо сообщить газу, чтобы давление в сосуде увеличилось в 2 раза?
2. В цилиндре под поршнем находится гелий v 0,5 моль при температуре T1 300 К . Во сколько раз увеличится объѐм газа в
2013, ЗФТШ МФТИ, Кузьмичѐв Сергей Дмитриевич
23
2013-2014 уч. год, №3, 10 кл. Физика.
Закон сохранения энергии в тепловых процессах
изобарном процессе при сообщении ему количества теплоты Q 625 Дж ? Какая работа будет при этом совершена газом?
3. В двух теплоизолированных сосудах, соединѐнных тонкой
трубкой с краном, находится гелий в количествах v1 2 моль и v2 3 моль при температурах T1 300 K и T2 400 K , соответ-
ственно. Какой станет температура после открывания крана и установления теплового равновесия? Теплообменом газа со стенками трубки и крана пренебречь.
4.Идеальный одноатомный газ в количестве v 1 моль , находящийся при температуре T0 300 K , сначала нагревают при постоянном давлении, сообщая количество теплоты Q1 1000 Дж , а затем охлаждают при постоянном объѐме, отбирая количество теплоты Q2 600 Дж . Определите конечную температуру T газа.
5.Газообразный гелий из
начального состояния 1 расширя- |
P |
|||
ется в процессе 1 – 2 (см. рис. 15), |
2 |
|||
в котором давление P изменяет- |
|
|||
ся |
прямо пропорционально его |
|
||
объѐму V , совершая в нѐм работу |
1 |
|||
A1 2 200 Дж . Затем газ расши- |
||||
3 |
||||
ряется в процессе 2 – 3 с постоян- |
||||
|
||||
ной |
теплоѐмкостью, совершая |
V |
||
работу |
A2 3 1000 Дж . В ко- |
|||
0 |
||||
нечном состоянии 3 температура |
||||
гелия |
равна его температуре в |
Рис.15 |
||
|
||||
начальном состоянии 1. а) Найдите количество теплоты, подведѐнное к газу в процессе 2 – 3. б) Найдите молярную теплоѐмкость газа в процессе 2 – 3, выразив еѐ через универсальную газовую постоянную R . (Олимпиада «Физтех2010»).
6. В вертикально расположенном цилиндрическом сосуде под поршнем находится моль гелия при температуре T1 300 К . На поршень поставили гирю массой в 2,5 раза больше массы поршня. 1) Во сколько раз изменится температура гелия после установления нового положения равновесия при отсутствии теплообмена газа с окружающей средой? 2) Какое количество теплоты необходимо отвести от гелия в изобарическом процессе (при наличии теплообмена), чтобы вернуть газ в состояние с первоначальной температурой T1? Наружным давлением, трением поршня о стенку сосуда, теплоѐмкостью цилиндра и поршня пренебречь. (Олимпиада «Физтех-2005»).
2013, ЗФТШ МФТИ, Кузьмичѐв Сергей Дмитриевич
24
2013-2014 уч. год, №3, 10 кл. Физика.
Закон сохранения энергии в тепловых процессах
7. |
В идеальной тепловой машине рабочее тело за цикл получает |
||
от нагревателя Q1 1000 Дж теплоты |
и совершает |
работу |
|
A 300 Дж . Определите КПД машины и температуру T1 |
нагрева- |
||
теля, если температура холодильника T2 280 K . |
|
||
8. |
Тепловая машина работает по циклу, |
состоящему из процесса |
|
изотермического расширения 1 – 2, процесса изохорного охлаждения 2-3 и процесса адиабатического сжатия 3 – 1. Рабочее вещество
– v молей идеального одноатомного газа. В процессе расширения к |
|
газу подводят количество теплоты Q . В процессе, где тепло от газа |
|
отводится, давление газа уменьшается в |
3 раза. Во всѐм цикле |
1 – 2 – 3 – 1 машина совершает работу |
A . Найдите минимальную |
температуру газа в цикле. (Олимпиада «ФИЗТЕХ-2007»).
2013, ЗФТШ МФТИ, Кузьмичѐв Сергей Дмитриевич
25