Кинематика
.pdf
2013-2014 уч. год, №2, 9 кл. Физика. Кинематика
Пусть при t |
тело упало на землю, тогда: y 0, x l . Уравнения |
||||||||
системы (20) дают: |
l v cos , |
0 v sin |
g 2 |
. Откуда нахо- |
|||||
|
|||||||||
|
|
|
|
0 |
|
0 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
дим |
2v sin |
|
l |
v 2 sin 2 |
|
|
|
|
|
0 |
, |
0 |
. |
(Здесь использовано равенство |
|||||
g |
g |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
2sin cos sin 2 .) |
|
|
|
|
|
||||
Из полученного выражения для l |
легко определить угол , при ко- |
||||||||
тором дальность полѐта тела будет максимальной. Действительно, величина l как функция от принимает максимальное значение в том
случае, когда sin 2 1. Это возможно, если 2 90o , т. е. 45o. Модуль скорости тела в момент падения на землю определим с по-
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
мощью теоремы Пифагора: v vx |
2 |
vy |
2 . В соответствии с системой |
||||||||
уравнений |
(19) |
в этот |
момент |
(при |
|
t ) имеем: |
vx v0 cos , |
||||
vy v0sin g v0sin . Следовательно, |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||
v |
|
v 2cos2 v |
2sin2 v |
(так как cos2 sin2 1 ). |
|||||||
|
0 |
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
Направление скорости тела в момент падения составляет угол с направлением оси Ox . Этот угол отсчитывается по часовой стрелке от направления оси Ox .
Пусть при t 1 тело достигло максимальной высоты. В этот момент vy 0, y H . Соответствующие уравнения систем (19) и (20) дают:
0 v |
sin g |
, |
H v sin |
|
|
g 12 |
. |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||||||
0 |
1 |
|
0 |
2 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Отсюда последовательно находим: 1 |
v sin |
, H |
v 2 sin2 |
|
|
|||||
|
0 |
|
0 |
|
. |
|||||
|
g |
2g |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Видим, что 2 1.
Уравнение траектории получим, исключив из системы (20) время t :
y(x) |
|
g |
x2 |
tg x . График траектории тела представляет |
|
|
|
||||
2v |
2 cos2 |
||||
|
|
|
|||
0 |
|
|
|
||
собой участок параболы, ветви которой направлены вниз.
2013, ЗФТШ МФТИ, Чугунов Алексей Юрьевич
21
2013-2014 уч. год, №2, 9 кл. Физика. Кинематика |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
§7. Примеры решения задач |
|
|
|||||
|
Задача 1. Два маленьких стальных шарика брошены одновременно |
||||||||||||
из одной и той же точки с поверхности земли с начальными скоростями |
|||||||||||||
v 5 м/c |
и |
v |
|
8 м/c , |
направленными |
под углами |
80o |
и |
|||||
01 |
|
|
|
02 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 20o |
к горизонту соответственно. Чему равно расстояние между |
||||||||||||
шариками, спустя время t |
1 c после броска? |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
Траектории шариков лежат в одной вертикальной плоскости. Сопро- |
||||||||||||
тивлением воздуха пренебречь. |
|
|
|
|
|
||||||||
|
Решение. Шарики движутся в поле тяже- |
|
|
||||||||||
сти Земли с постоянным ускорением |
g (со- |
|
|
||||||||||
противлением воздуха пренебрегаем). |
|
|
|
|
|||||||||
|
Выберем систему координат так, как пока- |
|
|
||||||||||
зано на рис. 20, начало отсчѐта поместим в |
|
|
|||||||||||
точку бросания. Для радиус-векторов шари- |
|
|
|||||||||||
ков r (t) |
и r (t) |
имеем: |
r (t) r |
v |
gt2 |
, |
|
|
|||||
|
1 |
|
2 |
|
|
|
1 |
01 |
01 |
2 |
Рис. 20 |
|
|
|
|
v gt2 . |
|
|
|
|
|||||||
r (t) r |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2 |
02 |
|
02 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Искомое расстояние l |
равно модулю разности радиус-векторов ша- |
|||||||||||
риков в момент времени t 1 c . Так как шарики были брошены из од- |
|||||||||||||
ной и той же точки, то r |
r 3, следовательно: |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
01 |
|
02 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l r1(t) r2(t) v01 v02 t. |
|
|
|||||
(Остальные слагаемые при вычитании радиус-векторов уничтожились.) |
|||||||||||||
|
В свою очередь по теореме косинусов (см. рис. 20): |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v |
|
v |
|
|
|
|
v |
2 v |
2 2v |
v |
cos( |
|
2 |
). |
||||
|
|
|
|
01 |
02 |
|
01 |
|
02 |
01 |
02 |
1 |
|
|
|
|||||||
|
Подставляя в это равенство числовые значения входящих в него ве- |
|||||||||||||||||||||
личин, получим |
|
v01 v02 |
|
|
7 м/c. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
Тогда искомое расстояние |
между шариками в момент времени |
||||||||||||||||||||
t |
|
1 |
c будет равно l 7 |
м |
|
1 |
c |
7 |
м 2,3м. |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
c |
3 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Задача 2. Два тела брошены вертикально вверх с поверхности |
|||||||||||||||||||||
земли из одной точки вслед друг за другом с интервалом времени , с
одинаковыми начальными скоростями v0 . Пренебрегая сопротивлением воздуха, определить, через сколько времени они «встретятся»? Про-
комментируйте решение для v0 g 2 .
2013, ЗФТШ МФТИ, Чугунов Алексей Юрьевич
22
2013-2014 уч. год, №2, 9 кл. Физика. Кинематика |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Решение. Направим ось Oy вертикально вверх, начало отсчѐта по- |
|||||||||||||||||||
местим в точку бросания. Отсчѐт времени будем вести, начиная с мо- |
|||||||||||||||||||
мента бросания |
первого тела. Начальные условия |
движения |
тел: |
||||||||||||||||
1) t0 0, y01 |
0, vy01 v0 ; |
2) t0 |
|
, y02 |
0, vy02 |
v0 . Проекции ускорений |
|||||||||||||
тел при отсутствии сопротивления воздуха равны: ay1 ay 2 g . Урав- |
|||||||||||||||||||
нения движения тел в проекциях на ось Oy с учѐтом начальных усло- |
|||||||||||||||||||
вий имеют вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
y (t) v t |
gt 2 |
, |
y (t) v (t ) |
g(t )2 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
|
2 |
|
2 |
0 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
(Заметим, что y2 0 при |
0 t . ) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Для наглядности изобразим графики этих функций на одном черте- |
|||||||||||||||||||
же (рис. 21). Из чертежа видно, что «встре- |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
ча» произойдѐт в некоторый момент вре- |
|
y |
|
|
|
|
|||||||||||||
мени tx в точке |
A , где пересекаются гра- |
y(t) |
A |
|
|
|
|||||||||||||
фики y1(t) |
|
и |
y2 |
(t). Таким образом, усло- |
|
|
|
|
y2(t) |
||||||||||
вие «встречи»: y1 (tx ) y2 (tx ), |
|
то есть |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
y1(t) |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
gtx2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
v t |
|
|
|
|
|
) |
g(tx )2 |
O |
tx |
2v |
t |
||||||||
x |
|
|
v (t |
x |
|
|
. |
|
|
g |
0 |
|
|||||||
0 |
|
|
|
|
2 |
0 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Решая это уравнение относительно tx , |
|
Рис. 21 |
|
|
|
||||||||||||||
находим: |
|
t |
x |
v0 |
. |
Проанализируем полученное |
выражение |
при |
|||||||||||
|
|
|
|
g |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
v0 g / 2 . Известно (см. Пример 7), что время полѐта тела, брошенно- |
|||||||||||||||||||
го вертикально, равно 2v0 / g . Поэтому, если v0 g / 2, то 2v0 / g . |
|||||||||||||||||||
Это означает, что сначала упадѐт на землю первое тело, а только затем |
|||||||||||||||||||
будет брошено вверх второе. Иными словами, тела «встретятся» в точ- |
|||||||||||||||||||
ке бросания. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Задача 3. Мальчик, находясь на плоском склоне горы с углом |
|||||||||||||||||||
наклона 30o , |
бросает камень в сторону подъѐма горы, сообщив ему |
||||||||||||||||||
начальную скорость v0 , направленную под углом 60o к горизонту. |
|||||||||||||||||||
На каком расстоянии от мальчика упадѐт камень? Сопротивлением воз- |
|||||||||||||||||||
духа пренебречь. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2013, ЗФТШ МФТИ, Чугунов Алексей Юрьевич
23
2013-2014 уч. год, №2, 9 кл. Физика. Кинематика
Решение. Выберем систему отсчѐта так, как показано на рис. 22, поместив начало отсчѐта O в точку бросания. В этой системе отсчѐта начальная скорость камня составляет с осью Ox угол 30 .
Начальные условия: |
x0 0, |
y0 0, |
v0x |
v0 cos , v0y |
v0 sin . Проек- |
||||||||||||||||
ции ускорения камня в отсутствие |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
сопротивления воздуха равны (см. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
рис. 22): |
ax g sin , ay g cos . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Здесь мы учли, что угол между векто- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ром g и перпендикуляром к поверх- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
ности горы равен углу наклона горы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
30o |
(почему?), |
кроме |
того, |
по |
|
|
|
|
Рис. 22 |
||||||||||||
условию задачи . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Запишем уравнения системы (14) с учѐтом начальных условий: |
|||||||||||||||||||||
x(t) v cos t g sin |
t2 |
, |
|
y(t) v sin t g cos |
t2 |
. |
|
|
|
||||||||||||
|
0 |
|
2 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Время полѐта камня найдѐм из последнего уравнения, зная, что |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
y( ) 0, |
cos |
3 |
, sin |
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
А именно |
2 v0 |
. (Значение 0 мы отбросили, т. к. оно не связа- |
|||
|
|
|
|
||
|
3 g |
||||
|
|
|
|||
но с вопросом задачи).
Подставляя найденное значение в уравнение для x(t) , определим искомое расстояние (иными словами, дальность полѐта):
l x( ) 2 v02 . 3 g
Задача 4. Массивная платформа движется с постоянной скоростью V0 по горизонтальному полу. С заднего края платформы производится удар по мячу. Модуль начальной скорости мяча относительно платформы равен u 2V0 , причѐм вектор u составляет угол 60o с гори-
зонтом (рис. 23). На какую максимальную высоту над полом поднимется мяч? На каком расстоянии от края платформы будет находиться мяч в момент приземления. Высотой платформы и сопротивлением воздуха пренебречь. Все скорости лежат в одной вертикальной плоскости. (ФЗФТШ при МФТИ, 2009.)
2013, ЗФТШ МФТИ, Чугунов Алексей Юрьевич
24
2013-2014 уч. год, №2, 9 кл. Физика. Кинематика |
|
||||
Решение. |
Для описания |
дви- |
|
|
|
жения мяча и платформы введѐм |
|
y |
|||
u |
g |
||||
систему отсчѐта, связанную с по- |
|||||
|
|
||||
лом. Ось Ox |
направим горизон- |
|
|
||
тально в направлении удара, а ось |
|
||||
|
0 |
||||
|
|
|
|
V |
|
Oy вертикально вверх (рис. 23). |
/ / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / |
||||
x |
O |
||||
|
|
|
|
||
Движение |
мяча происходит с |
|
Рис. 23 |
||
|
|
|
|
||
постоянным |
ускорением |
a , |
|
|
|
причѐм ax = 0, ay g , где g величина ускорения свободного падения. |
|||||
Проекции начальной скорости v0 |
мяча на оси Ox и Oy равны: |
||||
|
v0,x V0, x ux V0 2V0 cos60 |
V0 V0 0, |
|||
|
v0,y V0, y uy |
0 2V0 sin 60 |
3V0 . |
||
Равенство нулю горизонтальной скорости мяча означает, что его |
|||||
движение происходит только по вертикали, и он упадѐт в точке удара. |
|||||
Максимальную высоту подъѐма ymax и время полѐта мяча найдѐм |
|||||
из законов кинематики равноускоренного движения: |
|||||
v2 |
v2 |
2a |
|
y y |
, |
y y v |
|
ayt2 |
. |
y |
|
||||||||
y |
0, y |
|
0 |
|
0 0, y |
2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Учитывая, что при y = ymax проекция вертикальной скорости обращает-
ся в ноль vy 0 , а в момент приземления мяча |
t = Tполѐта его коор- |
|||||||||||||
дината по оси Oy обращается в ноль |
y = 0 , имеем |
|
||||||||||||
|
v0,2 y |
|
3V02 |
|
2 |
|
|
|
||||||
ymax |
|
|
3V0 |
. |
||||||||||
|
|
, |
|
Tполѐта |
|
|
|
|
||||||
2g |
2g |
|
g |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
За время полѐта мяча платформа сместится на расстояние |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
L = V0Tполѐта |
|
|
2 3V02 |
, |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
g |
|
|
|
|
||||
которое и является искомым расстоянием между мячом и платформой в момент приземления мяча.
2013, ЗФТШ МФТИ, Чугунов Алексей Юрьевич
25
2013-2014 уч. год, №2, 9 кл. Физика. Кинематика
Контрольные вопросы
1. Материальная точка движется по окружности радиусом 1 м . Найдите путь и перемещение точки за время, в течение которого ради-
ус-вектор точки повернулся на 120 (в радианной мере |
2 |
) относи- |
|
3 |
|||
|
|
тельно своего первоначального положения. Начало радиус-вектора совпадает с центром окружности.
|
|
2 . Материальные точки |
A и B движутся вдоль одной координат- |
|||
ной оси |
Ox. При этом координата точки A изменяется по закону |
|||||
x |
A |
1 t2 |
. В то же время относительно точки B координата точки A |
|||
|
|
|
|
|
|
|
описывается уравнением |
x |
|
2t2 4t 3. Найдите по этим данным |
|||
|
|
|
|
отн |
|
|
ускорения точек aA и aB |
и их скорости vA и vB в момент времени |
|||||
t1 c c момента начала движения.
3.Мяч был дважды брошен с поверхности земли вертикально вверх. Во второй раз ему сообщили начальную скорость, в 3 раза большую, чем в первый раз. Во сколько раз выше поднялся мяч над поверхностью земли во второй раз? Мяч в полѐте не вращался. Сопротивлением воздуха пренебречь.
4.Уравнение зависимости проекции на ось Ox скорости движущегося тела от времени имеет вид vx 2 6t . Запишите соответствующее
уравнение проекции rx t на ту же ось перемещения тела, зная, что
rx t x t x0.
м |
|
|
|
|
м |
|
|
|
vx, c |
|
|
|
|
v, c |
|
|
|
9 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
O |
1 |
2 |
3 |
t,c |
O |
4 |
8 |
t,c |
|
Рис. 24 |
|
|
|
Рис. 25 |
|
|
|
2013, ЗФТШ МФТИ, Чугунов Алексей Юрьевич |
|
|
|
|||||
26
2013-2014 уч. год, №2, 9 кл. Физика. Кинематика
5. Тело движется прямолинейно вдоль оси Ox. График зависимости проекции скорости тела на ось Ox от времени представлен на рис. 24. Чему равно ускорение тела в момент времени t 2 c с момента начала движения?
6.Мотоциклист и велосипедист одновременно начинают двигаться равноускоренно из состояния покоя. Ускорение мотоциклиста в 2,5 раза больше, чем у велосипедиста. Их траектории прямолинейные. Во сколько раз больше времени понадобится велосипедисту по сравнению
смотоциклистом, чтобы достичь скорости 50 км/ч?
7.Тело движется прямолинейно вдоль оси Ox . Зависимость координаты тела от времени имеет вид: x t 12 6t 0,75t2 . Чему равна
скорость тела через 2 c с момента начала движения?
8. С высокого обрыва свободно падает камень. Какую скорость он будет иметь через 3 c после начала падения? Сопротивлением воздуха
пренебречь.
9. Тело, двигаясь из состояния покоя равноускоренно, приобрело скорость 2 м/с , пройдя путь 10 м . Чему будет равна скорость тела че-
рез следующие 10 м , если ускорение тела останется прежним?
10 . Материальная точка движется прямолинейно. График зависимости скорости точки от времени представлен на рис. 25. Определите по этому графику среднюю путевую скорость движения материальной точки на первой половине пути.
Задачи
1 . По спускающемуся эскалатору бежит вниз пассажир со скоростью v 2 м/c относительно эскалатора. Скорость эскалатора равна u 1 м/c. Количество ступеней эскалатора на спуске N 90 . Сколько ступеней N1 пройдѐт пассажир, спускаясь по эскалатору?
2. Один поезд шѐл половину пути S со скоростью v1 80 км/ч, а
половину пути – со скоростью v 40 км/ч . Другой поезд шѐл поло-
1
вину времени t со скоростью v2 80 км/ч , а половину времени – со
скоростью v 40 км/ч . Какова средняя скорость каждого поезда?
2
3. Шарик, скатываясь с прямолинейного наклонного жѐлоба с нулевой начальной скоростью, за первую секунду движения t1 1 c про-
шѐл путь S1 10 см . Какой путь пройдѐт шарик за первые три секундыt2 3 c с момента начала движения? (МИЭТ).
2013, ЗФТШ МФТИ, Чугунов Алексей Юрьевич
27
2013-2014 уч. год, №2, 9 кл. Физика. Кинематика
4. Камень брошен с высоты h 28 м над поверхностью земли вертикально вверх с начальной скоростью v0 8 м/c . Найти скорость v
падения камня на землю. Сопротивлением воздуха пренебречь.
5. Камень, брошенный вертикально вверх с поверхности земли, упал на землю через τ 3 c . На каком расстоянии l от точки бросания (по горизонтали) упадѐт камень на землю, если его бросить с такой же
начальной скоростью, но под углом 45 к горизонту? Сопротивлением воздуха пренебречь. (МГУ, хим. фак.)
6 . На некоторой высоте над поверхностью земли снаряд разорвался на несколько осколков, полетевших во все стороны с одинаковыми скоростями. Осколок, полетевший вертикально вниз, достиг земли за
время t1. Осколок, полетевший вертикально вверх, упал на землю через время t2 . Сколько времени падали осколки, полетевшие горизонтально? Сопротивление воздуха не учитывать. (МФТИ,1997).
7. Тело брошено с поверхности земли под углом 30 к горизонту со скоростью v0 20 м/c . Пренебрегая сопротивлением воздуха,
определите скорость (модуль и направление) и координаты тела через t 1,5 c после начала движения.
8 . Два мяча брошены одновременно навстречу друг другу вдоль одной вертикальной прямой с одинаковыми скоростями: один вертикально вверх с поверхности земли, другой вертикально вниз – с высоты H . Найти эти скорости, если известно, что к моменту «встречи» мячей
один из них пролетел путь 13 H . Сопротивлением воздуха пренебречь. (МФТИ, 1986).
2013, ЗФТШ МФТИ, Чугунов Алексей Юрьевич
28