Задавальник ФМХФ-1курс

2.

ˆ¢ -®¢ ƒ.…. ‹¥ªæ¨¨ ¯® ¬ ⥬ â¨ç¥áª®¬ã

- «¨§ã. —. 1. { Œ.: Œ”’ˆ,

2004, 2011.

3.

•¥â஢¨ç €.ž. ‹¥ªæ¨¨ ¯® ¬ ⥬ â¨ç¥áª®¬ã - «¨§ã. —. 2. Œ-®£®-

¬¥à-ë© - «¨§. ˆ-â¥£à «ë ¨ àï¤ë. { Œ.: Œ”’ˆ, 2012.

4.

’¥à-Šà¨ª®à®¢ €.Œ., ˜ ¡ã-¨- Œ.ˆ. Šãàá ¬ ⥬ â¨ç¥áª®£® - «¨§ . {

Œ.: Œ”’ˆ, 2003{2007.

5.

Ÿª®¢«¥¢ ƒ.•. ‹¥ªæ¨¨ ¯® ¬ ⥬ â¨ç¥áª®¬ã - «¨§ã. —. 1. { Œ.: ”¨§-

¬ ⫨â, 2001, 2004.

„®¯®«-¨â¥«ì- ï

Šã¤àï¢æ¥¢ ‹.„.

6.

Šãàá ¬ ⥬ â¨ç¥áª®£®

- «¨§ . { 5-¥ ¨§¤. { Œ.:

„à®ä , 2003.

7.

Šã¤àï¢æ¥¢ ‹.„. Šà ⪨© ªãàá ¬ ⥬ â¨ç¥áª®£® - «¨§ . ’. 1. { Œ.:

• 㪠, 2002.

8.

•¨ª®«ì᪨© ‘.Œ. Šãàá ¬ ⥬ â¨ç¥áª®£®

- «¨§ . ’. 1. { Œ.: • 㪠,

2000.

9.

ˆ«ì¨- ‚.€., •®§-ïª •.ƒ. Žá-®¢ë ¬ ⥬ â¨ç¥áª®£® - «¨§ . ’. 1, 2. {

Œ.: • 㪠{”¨§¬ ⫨â, 1998.

10.

”¨åâ¥-£®«ìæ ƒ.Œ.

Šãàá ¤¨ää¥à¥-æ¨ «ì-®£® ¨ ¨-â¥£à «ì-®£® ¨áç¨á-

«¥-¨ï. { 8-¥ ¨§¤. { Œ.: ”¨§¬ ⫨â, 2007.

11.

‡®à¨ç ‚.€. Œ ⥬ â¨ç¥áª¨© - «¨§. ’. 1. { Œ.: • 㪠, 1981.

’.2.*

„®ª ¦¨â¥, çâ® á«¥¤ãî騥 ã⢥ত¥-¨ï à ¢-®á¨«ì-ë:

) ¬-®¦¥á⢮ M § ¬ª-ãâ®;

¡) ¤®¯®«-¥-¨¥ Rn nM ¬-®¦¥á⢠M ¤® ¢á¥£® ¯à®áâà -á⢠Rn

®âªàë⮥ ¬-®¦¥á⢮;

¢) ¬-®¦¥á⢮ M ᮤ¥à¦¨â ¢á¥ ᢮¨ ¯à¥¤¥«ì-ë¥ â®çª¨;

£) ¬-®¦¥á⢮ M ᮤ¥à¦¨â ¢á¥ ᢮¨ £à -¨ç-ë¥ â®çª¨;

’.3.*

¤) ¬-®¦¥á⢮ M ᮤ¥à¦¨â ¢á¥ ᢮¨ â®çª¨ ¯à¨ª®á-®¢¥-¨ï.

„®ª ¦¨â¥, çâ®

@M ¬-®-

) § ¬ëª -¨¥ M ¬-®¦¥á⢠M ½ Rn ¨ £à -¨æ

¦¥á⢠M § ¬ª-ãâë¥ ¬-®¦¥á⢠,

¡) ¬-®¦¥á⢮ ¢á¥å ¢-ãâà¥--¨å â®ç¥ª ¬-®¦¥áâ¢

M ¥áâì

®âªàë⮥ ¬-®¦¥á⢮.

f8g - ©¤¨â¥:

’.4. „«ï ¬-®¦¥á⢠M ½ R, M = ([0; 1] \ Q)

) ¢á¥ £à -¨ç-ë¥ â®çª¨;

[

¡) ¢á¥ ¯à¥¤¥«ì-ë¥ â®çª¨;

¢) ¢á¥ â®çª¨ ¯à¨ª®á-®¢¥-¨ï;

£) ¢á¥ ¨§®«¨à®¢ --ë¥ â®çª¨;

¤) ¢á¥ ¢-ãâà¥--¨¥ â®çª¨;

¥) @(@M).

Ÿ¢«ï¥âáï «¨ ¬-®¦¥á⢮ M ®âªàëâë¬ ¨«¨ § ¬ª-ãâë¬?

‘3, x1: 15; 18; 28; 37*; 39(6).

•) •à¥¤¥« ¨ -¥¯à¥àë¢-®áâì

‘3, x2: 37(2, 8); 46(1); 48(6*, 9, 10); 51; 54; 62(7); 71**.

’.5. ˆáá«¥¤®¢ âì áãé¥á⢮¢ -¨¥ ¯à¥¤¥«

¢ â®çª¥ O(0; 0) á«¥¤ãîé¨å

äã-ªæ¨©:

sin

px4 + y

xp+ y

) f(x;y) =

3 jxj3

+ jyj5

f(x;y) =

1 ¡ cos 3

jxj3+jyj5

¢)

xp

4 ;

¡)

p

4

4

;

3

3

f(x;y) =

2y

x4 + y2

.

騥 äã-ªæ¨¨:

) f(x;y) =

8

y2

sin 3x;

x 6= 0;

x

<y3;

x = 0;

>

j j j j

2

2

: 3 x3y + y5

2

2

;

¡)*f(x;y) =

<

+ 2y;

x

+ y

= 0;

;

8 s x + y

+ y

6= 0

¢) äã-ªæ¨î>f0(;x;y) = (2x2 y2

x

1)

x2

+ y2

xy

x

y + 1

¨áá«¥¤®¢ âì -

¤¨ää¥à¥-æ¨àã¥

p

E(1; 1).

:

¡

¡

¡

¡

¡

¬®áâì ¢ â®çª¥

ƒ) ”®à¬ã« ’¥©«®à

‘3, x4: 65(2); 70(2); 79(1)*.

II. • ¢-®¬¥à- ï -¥¯à¥àë¢-®áâì

‘1, x12: 2(1, 2); 3(3); 4(3, 4); 7; 17; 21*; 23; 25.

C3, x2: 77(3)*.

§ ¬ª-ã⮬ «ãç¥ I =

’.8. ) •ãáâì äã-ªæ¨ï f ¤¨ää¥à¥-æ¨à㥬

-

). „®ª § âì á«¥¤ãî騥 ã⢥ত¥-¨ï:

= [a; +1®£à -¨ç¥- -

I, â® f à ¢-®¬¥à-® -¥¯à¥àë¢-

- I;

1) ¥á«¨ f0

2) ¥á«¨ f0

-¥¯à¥àë¢- -

¬-®¦¥á⢥ I ¨ ¨¬¥¥â ª®-¥ç-ë© ¯à¥¤¥«

¯à¨ x

+

, â® f à ¢-®¬¥à-® -¥¯à¥àë¢- -

I;

!-¥®1

3)*¥á«¨ f0

£à -¨ç¥- -

I, â® f ¬®¦¥â ¡ëâì,

¬®¦¥â ¨ -¥

) f(x;y) = x sin

1

f(x;y) = p

ln(1 + x2);

;

¡)

x

x

¢)*f(x;y) = x exp(sin2 x);

sin x2

£)

f(x;y) =

p

.

x

‘¢®¤- ï â ¡«¨æ

§ ¤ ç ¯¥à¢®£® § ¤ -¨ï

à §¤.

§ ¤ ç¨

§ ¤ ç¨

§ ¤ ç¨*

§ ¤ ç¨**

C3 2

9

), ¡), £) (3, 6); 20(12)

’1;

’4

’2; ’3

’2*;

’3*

C3 1

15; 18; 28; 39(6)

37

C3 2

37(2, 8);

46(1);

48(9, 10);

48(6)

71

51; 54; 62(7)

’5

), ¡), ¢)

’6

C3 3

3(6); 18(1); 44(4);

C3 4

4;

8(4);

19(2);

25(2);

27(4);

27(2)

43(3)

C3 3

19(1, 4);

20(1, 3, 6);

21(2)

21(3); 23(1); 12(1, 4, 5)

’7

), ¢)

’7 ¡)

C3 4

65(2); 70(2)

79(1)

C1 12

2(1, 2);

3(3);

4(3, 4);

7;

21

17; 23; 25

C3 2

77(3)

’8

)(1, 2, 4);

’8 ¡);

’8 )(3);

’10

’9

), ¡), £)

’9 ¢)

56+12*+3**

’.1. ˆ§¬¥à¨¬® «¨:

[0; 1] ¢ R1?

) ¬-®¦¥á⢮ à 樮- «ì-ëå â®ç¥ª ®â१ª

¡) ¬-®¦¥á⢮ à 樮- «ì-ëå â®ç¥ª ®â१ª

[0; 1] ®á¨

¡áæ¨áá ¢

R2?

IV. Ž¯à¥¤¥«¥--ë© ¨-â¥£à «

€) ‘¢®©áâ¢

®¯à¥¤¥«¥--®£® ¨-â¥£à « ¨ ¥£® ¢ëç¨á«¥-¨¥

C2, x6:

4(1); 24; 27**; 41; 54(5); 111*; 112(1, 2); 117; 126; 161;

180; 182; 197; 108(1).

C2, x10: 45*; 50(4).

’.2. „®ª § âì, çâ®

¯ b

sin x

dx¯ 6

2

, £¤¥ b > a > 0.

¯Z

x

¯

a

¯a

¯

- ¯®«ã¨-â¥à¢ «¥ (a; b] ¨ ¯à¨ «î-

’.3. •ãáâì äã-ªæ¨ï¯ f ®£à -¨ç¯¥-

¯

¯

¡®¬ "

2

(0; b

¡

¯a) ®-

¨-⯥£à¨à㥬

¯® •¨¬ -ã - ®â१ª¥ [a +

+ "; b]. „®ª § âì, çâ® ¯à¨ «î¡®¬ ¤®®¯à¥¤¥«¥-¨¨ äã-ªæ¨¨ f ¢

â®çª¥ x = a, äã-ªæ¨ï f ¨-⥣à¨à㥬 ¯® •¨¬ -ã -

®â१ª¥

[a; b] ¨ á¯à ¢¥¤«¨¢® à ¢¥-á⢮

b

f(x) dx = "!+0

b

Z

Z f(x) dx:

lim

a

a+"

C2, x11:

69;

85;

88; 94.

C2, x12:

87; 91;

100; 104; 110*; 121; 125; 135; 139; 140; 186; 227.

‘¢®¤- ï â ¡«¨æ

§ ¤ ç ¢â®à®£® § ¤ -¨ï

à §¤.

§ ¤ ç¨

§ ¤ ç¨

§ ¤ ç¨*

§ ¤ ç¨**

C3 7

22

48

’1

), ¡)

C2 6

24;

4(1); 41; 54(5); 112(1, 2);

111

27

27**;

180; 182; 197; 108(1)

161

C2 10

45*

50(4)

45

’2; ’3

C2 7

4(3);

6(8);

34(2);

69(6);

25(6)

72(3); 82(4)

C2 8

2(4); 12(2); 81(5)

88(2)

C2 9

34(1)

C3 10

1(3)

9; 13(2); 21; 27(2)

43

C2 11

69; 85; 88; 94

C2 12

87;

91;

100;

104;

121;

110

125;

135;

139;

140;

186;

227

53+6*+2**

VII. —¨á«®¢ë¥ àï¤ë

€) •ï¤ë á -¥®âà¨æ ⥫ì-묨 ç«¥- ¬¨

C2, x13: 2(1); 5(3); 10*; 12(4); 13(3); 14(4).

C2, x14: 2(6, 7);

10(5);

11(6);

19(8, 15);

21(7, 14);

25(9);

37; 38*;

’.1.

39*.

ˆáá«¥¤®¢ âì -

á室¨¬®áâì àï¤ë:

1

n

1

n 1

¡n3

³

´´

X

X ³

) n=1 µr3 n3 +

3

sin

n

¶

;

¡)

n=1

1 ¡ ln

nsin(1=n)

;

C2, x17: 5(3); 8(5); 9(11); 12(2, 5); 17(10).

’.2.

C2, x18: 22(1); 32(4, 5); 33(7); 34(6); 36(2); 37(10); 43*; 45*.

ˆáá«¥¤®¢ âì -

¯®â®ç¥ç-ãî ¨ à ¢-®¬¥à-ãî á室¨¬®áâì -

®â-

१ª¥ E = [0; 1] á«¥¤ãî騥 äã-ªæ¨®- «ì-ë¥ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì-

-®áâ¨:

n

n+1,

n 2 N;

) fn(x) = xn ¡ x2n,

’.3.

¡) fn(x) = x ¡ x

n 2 N.

ˆáá«¥¤®¢ âì -

¯®â®ç¥ç-ãî ¨ à ¢-®¬¥à-ãî á室¨¬®áâì -

¬-®-

¦¥á⢠å E1 = (0; ) ¨ E2

= (a; +1) äã-ªæ¨®- «ì-ãî ¯®á«¥¤®¢ -

1

X

⥫ì-®áâì ffn(x)gn1=1 ¨ äã-ªæ¨®- «ì-ë© àï¤

fn(x), ¥á«¨:

n=1

1

sin

xn

) fn(x) = x sin

¡) fn(x) =

x2+n2

(xn)

2

;

1 + ln

2

n ;

¢) fn(x) =

x ln(xn)

n2 .

‘¢®¤- ï â ¡«¨æ

§ ¤ ç âà¥â쥣® § ¤ -¨ï

à §¤.

§ ¤ ç¨

§ ¤ ç¨

§ ¤ ç¨*

13

2(1); 5(3); 12(4); 13(3); 14(4)

10

14

2(6, 7);

10(5);

11(6);

19(8, 15);

38; 39

21(7, 14); 25(9); 37

’1 ), ¡)

’1 ¢)

15

9(2)

3(4); 4(4); 8(4)

8(6); 12(4)

17

5(3); 8(5); 9(11); 12(2, 5); 17(10)

18

22(1)

32(4, 5); 33(7); 34(6); 36(2); 37(10)

43; 45

’2

), ¡);

’3

), ¡), ¢)

19

14

2; 5; 6

20

2(3); 3(1); 5(2); 8(4); 9(5)

21

80

6(5); 9(3); 11(4); 19(4); 25(4); 31(5);

56(1)

52+11*

‡ ¤ -¨ï á®áâ ¢¨«

€.€. •ãà楢, ª.ä.-¬.-., ¤®æ¥-â

“á«.¯¥ç.«. 1,0

’¨à ¦ 1135 íª§.

• -£ ¬ âà¨æë.

’¥®à¥¬

® ¡ §¨á-®¬ ¬¨-®à¥. ’¥®à¥¬

® à -£¥

¬ âà¨æë.

‘¨áâ¥¬ë «¨-¥©-ëå ãà ¢-¥-¨©.

’¥®à¥¬

Šà®-¥ªª¥à {Š ¯¥««¨.

”ã-¤ ¬¥-â «ì- ï á¨á⥬ à¥è¥-¨© ¨ ®¡é¥¥ à¥è¥-¨¥ ®¤-®à®¤-®©

á¨áâ¥¬ë «¨-¥©-ëå ãà ¢-¥-¨©. Ž¡é¥¥ à¥è¥-¨¥ -¥®¤-®à®¤-®© á¨á-

⥬ë. Œ¥â®¤ ƒ ãáá .

€ªá¨®¬ ⨪ «¨-¥©-®£® ¯à®áâà -á⢠. ‹¨-¥©- ï § ¢¨á¨¬®áâì ¨

«¨-¥©- ï -¥§ ¢¨á¨¬®áâì á¨á⥬ í«¥¬¥-⮢ ¢ «¨-¥©-®¬ ¯à®áâà -á⢥.

• §¬¥à-®áâì ¨ ¡ §¨á.

•®¤¯à®áâà -á⢠¨ «¨-¥©-ë¥ ®¡®«®çª¨ ¢ «¨-¥©-®¬ ¯à®áâà -á⢥.

‘㬬 ¨ ¯¥à¥á¥ç¥-¨¥ ¯®¤¯à®áâà -áâ¢. •àï¬ ï á㬬 . ”®à¬ã« à §-

¬¥à-®á⨠áã¬¬ë ¯®¤¯à®áâà -áâ¢.

• §«®¦¥-¨¥ ¯® ¡ §¨áã ¢ «¨-¥©-®¬ ¯à®áâà -á⢥.

Š®®à¤¨- â-

-®¥ ¯à¥¤áâ ¢«¥-¨¥ í«¥¬¥-⮢ «¨-¥©-®£® ¯à®áâà -áâ¢

¨ ®¯¥à 権 á

-¨¬¨. ’¥®à¥¬ ®¡ ¨§®¬®à䨧¬¥.

ˆ§¬¥-¥-¨¥ ª®®à¤¨- ⠯ਠ¨§¬¥-¥-¨¨ ¡ §¨á

¢ «¨-¥©-®¬ ¯à®áâ-

à -á⢥. Œ âà¨æ

¯¥à¥å®¤

¨ ¥¥ ᢮©á⢠.

‹¨-¥©-ë¥

®â®¡à ¦¥-¨ï ¨ «¨-¥©-ë¥ ¯à¥®¡à §®¢ -¨ï «¨-¥©-®£®

¯à®áâà -áâ¢

. Ÿ¤à® ¨ ¬-®¦¥á⢮ ®¡à §®¢. Ž¯¥à 樨 - ¤ «¨-¥©-묨

¯à¥®¡à §®¢ -¨ï¬¨. Ž¡à â-®¥ ¯à¥®¡à §®¢ -¨¥.

Œ âà¨æë «¨-¥©-®£® ®â®¡à ¦¥-¨ï ¨ «¨-¥©-®£® ¯à¥®¡à §®¢ -¨ï

¤«ï ª®-¥ç-®¬¥à-ëå ¯à®áâà -áâ¢. Ž¯¥à 樨 - ¤ «¨-¥©-묨 ¯à¥®¡-

à §®¢ -¨ï¬¨ ¢ ª®®à¤¨- â-®© ä®à¬¥. ˆ§¬¥-¥-¨¥ ¬ âà¨æë «¨-¥©-®£®

®â®¡à ¦¥-¨ï ¯à¨ § ¬¥-¥ ¡ §¨á®¢.

ˆ-¢ ਠ-â-ë¥

¯®¤¯à®áâà -áâ¢

«¨-¥©-ëå

¯à¥®¡à §®¢ -¨©.

‘®¡á⢥--ë¥ ¢¥ªâ®àë ¨ ᮡá⢥--ë¥ §- ç¥-¨ï.

‘®¡á⢥--ë¥ ¯®¤-

¯à®áâà -á⢠. ‹¨-¥©- ï

-¥§ ¢¨á¨¬®áâì

ᮡá⢥--ëå

¢¥ªâ®à®¢,

¯à¨- ¤«¥¦ é¨å à §«¨ç-ë¬ á®¡á⢥--ë¬ ¢¥ªâ®à ¬.

• 宦¤¥-¨¥ ᮡá⢥--ëå §- ç¥-¨© ¨ ᮡá⢥--ëå ¢¥ªâ®à®¢ «¨-

-¥©-®£® ¯à¥®¡à §®¢ -¨ï ª®-¥ç-®¬¥à-®£® «¨-¥©-®£® ¯à®áâà -á⢠.

• à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª®¥ ãà ¢-¥-¨¥. …£® ¨-¢ ਠ-â-®áâì. Žæ¥-ª à §-

¬¥à-®á⨠ᮡá⢥--®£® ¯®¤¯à®áâà -á⢠.

“á«®¢¨ï ¤¨ £®- «¨§ã¥-

• • Ž ƒ • € Œ Œ €

(¡ §®¢ë© ã஢¥-ì)