Zhadan_lektsii_6_semestr

Теорема15. Пусть функции f(x), g(x) и h(x) дважды непрерывно дифференцируемы и пусть точка x X является решением задачи(161).Предположим также,что x вместо с u Rm и v Rl+ образует точку Каруша-Куна-Таккера, в которой выполнены достаточные условия второго порядка теоремы ***. Тогда можно указать достаточно большое число t¯ > 0 такое,что для всех t > t¯ и всех достаточно близких к [u , v ] начальных точек [u0, v0] для последовательностей {uk} и {uk}, вырабатываемых итеративным процессом (167), имеют место предельные равенства

При этом последовательность {xk} также оказывается сходящейся и

lim xk = x .

k→∞

Сделаем несколько замечаний,касающихся метода модифицированных функций Лагранжа(166), (167).

1.Метод прост в реализации и не требует выпуклости функций f(x) и h(x), хотя сходимость здесь в случае общих невыпуклых задач лишь локальная.

2.Так как значение параметра t конечно,то овражность функции M(x, uk, vk, t) не увеличивается катастрофически с ростом числа итерации,как это происходит в методе внешних штрафных функций.Поэтому решение задач безусловной минимизации(166)в методе модифицированных функций Лагранжа оказывается более простой простой процедурой по сравнению с методом внешних штрафных функций.

3.Для ограничений-неравенств hj(x) ≤ 0,которые являются неактивными в ре-

шении,т.е, hj(x ) < 0 для достаточно больших k выполняется thj(xk) < 0. Согласно второй из формул пересчета это приводит к тому,что на некоторой

итерации соответствующий множитель vkj обнуляется и далее остается равным нулю.Фактически данное ограничение перестает влиять на вычислительный процесс.

4. Минимизацию модифицированной функции Лагранжа(162)по x можно проводить,отбрасывая слогаемые (−vj)2, 1 ≤ j ≤ l.На точки минимума данные слогаемые влияния не оказывают.

81

1.7.Задачи многокритериальной оптимизации

Предположим,что у нас имеется r > 1 критериев f1(x), f2(x), . . . , fr(x),

которые нам хотелось бы проминимизировать одновременно на некотором допустимом множестве X Rn.Формально данная задача может быть записана как

Вектор-функцию f(x) = [f1(x), . . . , fr(x)] принято называть векторным критерием,

а саму задачу (168) задачей многокритериальной минимизации.

Понятно,что в большинстве случаев найти такую точку x X, в которой все критерии f1(x), . . ., fr(x) достигали бы на X своего минимального значения,не представляется возможным.Поэтому приходится изменять само понятие оптимальности для задач вида(168).Сделать надо это таким образом,чтобы отбросить заведомо неприемлемые решения.

Согласно приведенным определениям любая оптимальная по Парето точка является одновременно оптимальной и по Слейтеру,но не наоборот.

Обозначим через F Rr образ задачи (168)в пространстве критериев

F = {f Rr : f = f(x), x X} .

Если допустимое множество X выпукло и все функции f1(x), . . ., fr(x) также выпуклы,то множество F оказывается эффективно выпуклым,что означает выпуклость множества F+ = F +Rr+.На рис. *и**показаны множества F и F+ как в общем случае,так и в случае выпуклых критериев.Пространство Rr, которому принадлежит множество F называется критериальным пространством или пространством оце-

нок, а сами векторы f(x) F называют также векторными оценками допустимого решения x X.

Пусть XS множество точек из X,оптимальных по Слейтеру,и пусть XP мно - жество точек из X,оптимальных по Парето.Этим двум множествам соответствуют

82

пара подмножеств в F, а именно ,FS = f(XS) и FP = f(XP ).Множество FS яв-

ляется множеством значений критериев,оптимальных по Слейтеру . Аналогично ,

f F такой,что f < f .Часто эти неравенства используются в качестве определений оптимальных оценок(по Парето или по Слейтеру).На рис. ***показаны множества

FP и FS. Оба эти множества , находясь вF, принадлежат " юго - западной " границе F+.Имеет место включение FP FS.

Для решения задач многокритериальной оптимизации разработано много подходов и способов.В основном их можно разбить на два главных направления.В рамках одного из этих направлений главное внимание уделяется нахождению одного подходящего решения из множества оптимальных оценок FP или FS.При этом считается,что выбор конкретной оценки осуществляется лицом принимающим решение (ЛПР),у которого на самом деле имеются некоторые"скрытые"предпочтения среди критериев,например,их относительная важность.Руководствуясь данными предпочтениями ЛПР и принимает решение.Формально это описывается наличием некоторого бинарного отношения предпочтения и нахождением решений,которые являются недоминируемыми с точки зрения этих отношений,т.е.неулучшаемыми. Для выявления этих отношений предпочтения могут применяться в частности ин-

терактивные подходы.

Конкретные решения из множества оптимальных оценок могут быть получены также и с применением метода целевой точки или метода главного критерия.Со-

гласно методу целевой точки выделяется некоторая точка в критериальном пространстве,не принадлежащая множеству F+, и ищется точка из F, ближайшая к выделенной точке в заданной метрике.В методе главного критерия все критерии ранжируются по степени важности и далее ищется множество точек,которые доставляют оптимум наиболее важному критерию,далее на найденном множестве ищется его подмножество,доставляющее минимум по второму критерию и т.д.

Другое направление в решении задач многокритериальной оптимизации заключается в предъявлении ЛПР всего множества оптимальных оценок и далее ЛПР сам решает,какая из этих оценок его более устраивает.Имеются разные подходы к нахождению множеств оптимальных оценок или,по крайней мере,их аппроксимации конечным количеством точек.Одним из наиболее простых является подход, основанный на сведении задачи многокритериальной оптимизации к параметрической задаче нелинейного программирования.Осуществляется подобный переход путем скаляризации векторного критерия,т.е.свертывания всех частных критериев в единый критерий.Однако,возможно и непосредственное обобщение рассмотрен-

83

ных ранее методов условной минимизации для решения задач многокритериальной оптимизации.

Ниже в качестве примеров указанных обобщений рассматриваются обобщения методов параметризации целевой функции,метода возможных направлений и метода модифицированной функции Лагранжа.Разумеется все эти обобщения проводятся таким путем,чтобы в частном случае,когда в задаче имеется один критерий,они переходили в известные численные схемы.В этих обобщениях также присутствуют оценки оптимальных значений критериев,но они не зафиксированы,а меняются в ходе вычислительного процесса.Поэтому условно данные обобщения можно назвать

методами подвижной целевой точки.

1.7.1.Обобщение метода параметризации целевой функции

Рассмотрим обобщение этого метода на примере задачи многокритериальной минимизации(168),в которой допустимое множество X задается с помощью ограничений типа неравенства

жеству F+. Вектор η по смыслу полностью аналогичен оценке снизу оптимального значения,которая использовалась в методе параметризации целевой функции с одним критерием.Составим вспомогательную функцию

где B(g) внешняя свертывающая функция.Обозначим через X (η) множество минимумов функции M(x,η ) на всем пространстве Rn при фиксированном значении вектора η, т . е . множество решений задачи

Опишем теперь сам алгоритм метода параметризации целевой функции, обоб -

щенный для решения задачи многокритериальной минимизации.Пусть задан вектор η0 / F+ и направление e R такое,что e > 0r и e 2 = 1.Полагаем k = 1.

Общая k-я итерация.

Шаг1) . Решаем задачу (170) при η = ηk и находим точку xk X (ηk).Если M(xk, ηk) = 0,то останавливаемся.Если нет,то идем на шаг2.

84

где λk = M(xk, ηk).Полагаем k := k + 1 и идем на шаг 1.

Убедимся,что при таком способе пересчете векторов ηk ни один из них не попадет в множество intF+.

Лемма6. Пусть ηk / F+. Тогда ηk+1 / intF+.

Доказательство. Предположим противное,что ηk+1 intF+. Тогда обязательно

= (f(¯x) − ηk+1 + M(xk, ηk)e)+ 2 <

< M(xk, ηk)e 2 = M(xk, ηk) e = M(xk, ηk).

Мы пришли к противоречию с тем,что xk X (ηk). Таким образом ,ηk+1 / intF+. Так как на каждой итерации M(xk, ηk) ≥ 0 и все компоненты вектора e строго положительны,то {ηk} является последовательностью векторов со все увеличивающимися компонентами,расположенными на луче,выходящим из точки η0 / F+ и имеющим направление e.Из-за того,что ни один из векторов ηk не принадлежит

intF+,следует ограниченность этой последовательности сверху и,стало быть,существование предела limk→∞ ηk = η / intF+.Очевидно,что данный предельный вектор η также принадлежит указанному лучу.

Убедимся теперь,что в результате работы алгоритма мы получаются точки оптимальные по Слейтеру.

Теорема16. Пусть последовательность {xk}, порождаемая алгоритмом обоб - щения метода параметризации целевой функции,принадлежит компактному множеству W . Тогда любая ее предельная точка является оптимальной по Слейтеру , а предельный вектор η принадлежит границе множества F+.

Доказательство. Обозначим λ = inf{λ ≥ 0 : η0 + λ e F+}.Какое бы η0 / F+ и направление e ни взять луч {η = η0 + λ e: λ ≥} обязательно пересечет множество F+, поэтому величина λ конечна.Имеет место представление

85

Поскольку согласно лемме6все ηk / intF+, то на основании (172)

k

λs ≤ λ

s=0

для всех k ≥ 0 и следовательно ряд ∞ λk сходится.Отсюда приходим к выводу,

что

k=0

Пусть x предельная точка последовательности {xk}, т . еx. = liml→∞ xkl .Из предельного равенства(173)следует,что

M(x , η ) = 0,

где η = limk→∞ ηk.Поэтому обязательно x X и кроме того ,f(x ) − η ≤ 0r. Но η , как уже отмечалось , не принадлежит множеству intF+. Отсюда приходим к

f ≤ η .Данное неравенство указывает на то,что справедливо включение η intF+. Мы пришли к противоречию.Таким образом, x X, а из неравенства f(x ) ≤ η вытекает,что на самом деле предельный вектор принадлежит границе множества

F+. .

В предложенном обобщении метода параметризации целевой функции выбор кон-

т.е.эта такая точка в критериальном пространстве,каждая компонента которой является минимальным значением соответствующего отдельного критерия на допустимом множестве X.Выберем начальный вектор η0 таким образом,чтобы он лежал строго"юго-западнее"идеальной точки.Другими словами,чтобы он удовлетворя неравенству η0 < fa.Возьмем также"пучок единичных направлений" ep, принадле - жащих внутренности неотрицательного ортанта Rr+ и равномерно накрывающих этот неотрицательный ортант.Тогда,проводя вычисления с каждым из этих направлений(в том числе,используя параллельные вычисления),можно получить достаточно полную конечную аппроксимацию множества F S.Разные лучи будут приводить к разным оптимальным решениям(см.рис***).

Отметим также,что даже если луч,выходящий из точки η0 и имеющий направле -

ние e, пересекает " юго - западную " границу множестваF в точке η = η (e), которая

+

86

не принадлежит множеству оптимальных оценок FS, тем не менее будет найдена оценка,входящая в FS и ближайшая в некотором смысле к точке η .Если точка пересечения η принадлежит FP , то будет найдена оптимальная оценка , совпадающая с η (оба эти случая показаны на рис. ***).

87