Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный физико-технический университет (МФТИ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

M1_10_14

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

03.06.2015

Размер:

688.23 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 33

2014-2015 уч. год, №1, 10 кл. Математика. Алгебраические уравнения и неравенства

§9. Уравнение вида f x g x

В ОДЗ обе части неотрицательны, и возведение в квадрат даёт рав-

носильное в ОДЗ уравнение f x g x . Поэтому

			f x 0,	g x 0,
	f x		f x 0,	g x 0,
	f x	g x			(УРК2)
			f x g x .	f x g x .

Пример 18. Найдите сумму квадратов всех корней уравнения

x2 3x 4x 10.

4x 10 0,

x2 3x 4x 10 x2 3x 4x 10

2x 5,
				7 3 x 5 x	2	25
	2	7x 10	0 x	7 3 x 5 x		25
x	2
x				2
				2

Ответ. 25.

При таком способе решения достаточно проверить неотрицательность одной из функций – можно выбрать более простую функцию.

Рекомендация. При решении уравнений ОДЗ пишем, но не находим, т. к. решение неравенств, определяющих ОДЗ, часто требует даже больше усилий, чем решение самого уравнения. Поэтому не надо тратить на это время.

1.Если при решении уравнения использовались только равносильные преобразования, то найденные корни достаточно подставить в ОДЗ. Если они принадлежат ОДЗ, то являются решениями уравнения.

2.Если при решении уравнения не следить за равносильностью преобразований, то после нахождения корней надо сделать проверку. Можно сначала подставить их в ОДЗ – если они не принадлежат ОДЗ, то не являются решениями уравнения, но, если принадлежат ОДЗ, то это ещё не значит, что они являются решениями уравнения – их надо теперь подставить в само уравнение.

2014, ЗФТШ МФТИ, Колесникова София Ильинична

2014-2015 уч. год, №1, 10 кл. Математика. Алгебраические уравнения и неравенства

Это была рекомендация, полезная при решении большинства уравнений, но, конечно, бывают исключения, когда изучение ОДЗ сразу приводит к решению.

§10. Уравнение вида ax b cx d

Это уравнение можно решать стандартным способом. Но иногда ответить на поставленный вопрос помогает график. Уметь строить эс-

кизы левой и правой частей уравнения ax b cx d очень полез-

но. Графическая интерпретация решения такого уравнения помогает быстро решить некоторые задачи ЕГЭ.

Пример 19. Какое утверждение

1)уравнение имеет два корня одного знака (оба корня или положительны, или отрицательны);

2)уравнение имеет только один корень, и он отрицателен.

3)уравнение имеет два корня разных знаков;

4)уравнение имеет только один корень, и он положителен;

верно по отношению к корням уравнения x 4 3 x 1 ?


-	-		x

Рис. 8

Для ответа на поставленный вопрос не обязательно решать уравнение. Часто достаточно аккуратно начертить эскизы левой и правой частей.

На оси надо отметить точки пересечений полупараболы и прямой с осями координат. Из рисунка ясно, что пересечение графиков происходит на отрицательной полуоси – это обеспечивается тем, что прямая пересекает ось Ox правее, а ось Oy выше полупараболы.

Ответ. 2.

2014, ЗФТШ МФТИ, Колесникова София Ильинична

2014-2015 уч. год, №1, 10 кл. Математика. Алгебраические уравнения и неравенства

§11. Возвратные уравнения

Уравнение вида

ax4 bx3 cx2 bx a 0

называется возвратным.

Чтобы его решить, надо вынести за скобку x2 . Тогда выражение в

скобке

приведётся

квадратному

уравнению

относительно

bx a 0 x

bx c

a x

2 2

b x

c 0.

При этом,

1 2

c 2 0

0 a x

b x

1 2

c 2 0

0 a x

b x

Пример 20. Решите уравнение t4 8t3

6t2 8t 1 0 .

Уравнение является возвратным. Вынесем за скобку t 2 , а затем оставшееся выражение в скобке группировкой сведется к квадратному трёхчлену:

			2		2	8t 6						8					1		0			t	2	1		8t				8	6 0
		t		t
		t		t									t			t		2						t	2					t
													t			t								t						t
	2					1								1										1 2								1
t				2							8 t						8		0			t						8 t						8	0
t				2		t	2				8 t			t			8		0			t						8 t					t	8	0
						t								t										t									t
																				t2		2 2							t 1 0,
								1												t2		2 2					2		t 1 0,

				t						4 2					2
				t						4 2					2
									t												2	2 2 2 t 1 0
									t											t		2 2 2 t 1 0

t 2 2 7 42 ,

t 2 2 7 4 2

Ответ. 2 2 7 42 , 2 2 7 42 .

2014, ЗФТШ МФТИ, Колесникова София Ильинична

2014-2015 уч. год, №1, 10 кл. Математика. Алгебраические уравнения и неравенства

§12. Задачи с параметром

Пример 21. Найдите все значения параметра a , при каждом из которых уравнение x2 6 x a 6 0 имеет ровно два различных решения.

Первый способ – решение «в лоб»

Чтобы уравнение x2 6 x a 6 0 имело ровно два различных

решения, необходимо и достаточно, чтобы уравнение t2 6t a 6 0 t x , имело одно положительное решение. Это возможно, если

1. Или дискриминант = 0 и единственный корень положителен:

D		9 a 6 3 a 0 a 3,
	4	9 a 6 3 a 0 a 3,


		x 3,
		x 3,
t 3 x 3

2. Или дискриминант положителен, но корни имеют разные знаки (тогда отрицательный корень нам не подходит):

D		3 a 0,			y

	4				a 6.
y y			2	6 a 0.
	1
Ответ: 3 6; .					x
Второй способ – решение с помощью графика.
Перепишем уравнение по-другому, отправив сво-
бодный член направо:					Рис. 9

t2 6t a 6 0 t2 6t a 6 t t 6 a 6.

Это очень удобно, потому что легко строить эскиз графика оставшегося квадратного трёхчлена, не думая о дискриминанте.

Теперь построим график функции y t t 6 – рис. 9.

Видно, что положительное решение единственно, если или a 6 yверш y 3 9 a 3 , или a 6 0 .

Ответ: 3 6; .

С помощью эскизов графиков можно рассматривать некоторые типы уравнений и неравенств. Приведём примеры таких задач.

2014, ЗФТШ МФТИ, Колесникова София Ильинична

2014-2015 уч. год, №1, 10 кл. Математика.
Алгебраические уравнения и неравенства
Задача 1. Найдите все значения параметра a , при каждом из кото-
рых уравнение x2 f 2 a x g a 0 имеет един-						y
ственное положительное решение.
	Перепишем	уравнение	в	другом	виде:
x f 2 a x g a . Построим эскиз левой части –						x
рис. 10.
Видно, что условию задачи удовлетворяют все						Рис. 10
положительные значения правой части., т. е. g a 0 .
Задача 2. Найдите все значения параметра a , при каждом из кото-
рых уравнение x2 f 2 a x g a 0 имеет два отрицательных ре-
шения.
Перепишем уравнение в другом виде: x f 2 a x g a . По-
строим эскиз левой части – рис.10. Видно, что условию задачи удовле-
творяют те значения		g a , которые лежат между значениями левой
части в вершине и числом 0, т. е.

f	2	a
			g a 0
		2

f	2	a	2
			g a 0 .


		2

Задача 3. Найдите все значения параметра a , при каждом из кото-

рых неравенство x2 f 2

a x g a 0 имеет единственное положи-

тельное решение.

Перепишем

неравенство

другом

виде:

x f 2 a x g a . Построим эскиз левой части –

рис. Видно, что условию задачи выполнено только

тогда,

когда

g a

равно значению левой части в

g a

вершине, т. е.

Рис. 11

2014, ЗФТШ МФТИ, Колесникова София Ильинична

2014-2015 уч. год, №1, 10 кл. Математика. Алгебраические уравнения и неравенства

Литература

1.С. И. Колесникова «Математика. Интенсивный курс подготовки к Единому Государственному экзамену». Москва, Айрис – Пресс (можно скачать из Интернета).

2.«Математика. Решение сложных задач Единого Государственного экзамена» (рубрика «Домашний репетитор»), Москва, Айрис – Пресс (можно скачать из Интернета).

3.Журнал «Потенциал» №№1 –2 за 2005 г – статьи С. И. Колесниковой «Иррациональные уравнения» и «Иррациональные неравенства».

4.С. И. Колесникова «Иррациональные уравнения. ЕГЭ. Математика», Москва, 2010, ООО «Азбука».

5.С. И. Колесникова «Иррациональные неравенства. ЕГЭ. Математика», Москва, 2010, ООО «Азбука».

6.С. И. Колесникова «Уравнения и неравенства, содержащие модули. ЕГЭ. Математика», Москва, 2010, ООО «Азбука»

7.С. И. Колесникова «Рациональные уравнения и неравенства. ЕГЭ. Математика», Москва, 2010, ООО «Азбука».

Контрольные вопросы

Решите неравенства 1 – 2

1(2). x 3 x 3 2 x 8 0.x 2 3 x 5

2(2).	2x 12	1	5	.
	x 4
			x 1

Решить уравнения 3 – 8 3(2). x2 4 x 1 0 .

4(2). x 3 2 x 3 30 .

5(2). 3x2 6x 3 5x 1.

6(3). 5x 3 7x 4 2x 1.

2014, ЗФТШ МФТИ, Колесникова София Ильинична

2014-2015 уч. год, №1, 10 кл. Математика. Алгебраические уравнения и неравенства

7(2).	x2 5x 9	x 6	.

8(2).	Решите уравнение 3a 1 x 4 5x 1 при всех значениях

параметра a.

Решите неравенства 9 – 11

9(3).

x 2

x 3

10(2).

x 3 x 3.

11(2). x2

5x 3

x 2.

Задачи

Решите уравнения 1 – 3

1(2).

x3 3x2 4x 11

x3 2x2 12x 2

2(2).

2x3 2x2 3x 3 x 1.

3(3).

x2 3xy y 2 1

2x2 5xy 3y 2

0 .

4(2). Найдите наименьшее значение функции y

3x2 5 3x2

на отрезке 0;3 .

5*(2). Найдите все целочисленные решения уравнения x2 5y 2 34z 2 2xy 10xz 22yz 0 .

Решите системы уравнений


		4 y		2	4xy 2x		2	16	x 2 y,
		4 y			4xy 2x			16	x 2 y,
6(5).
y2 2xy 16 0.

	2		4x 2 y			1	0,
x			4x 2 y			1	0,
7(3).								.
	2		2x 6 y			14 0
y			2x 6 y			14 0

8(3). Найти все значения параметра a , при каждом из которых уравнение ax2 a 1 x 1 0 имеет единственное решение.

2014, ЗФТШ МФТИ, Колесникова София Ильинична

2014-2015 уч. год, №1, 10 кл. Математика. Алгебраические уравнения и неравенства

9(4). Найти все значения параметра a , при каждом из которых уравнение a 1 x 2 x2 4x 1 a 0 имеет

а) ровно два различных корня; б) ровно три различных корня.

10(2). Найти все значения параметра a , при каждом из которых уравнение x a2 1,5a 1 x 1 a3 0 не имеет решений.

11(3). Найти все значения параметра a , при каждом из которых уравнение x2 x a3 1 0 имеет один положительный корень.

2014, ЗФТШ МФТИ, Колесникова София Ильинична

<<< < Предыдущая 1 23 / 33

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
03.06.2015303.94 Кб8Lektsii_zubova_1.pdf
#
03.06.2015319.88 Кб7Lektsii_zubova_2.pdf
#
03.06.2015450.28 Кб8Leonidov.pdf
#
03.06.2015550.54 Кб5LM1117.pdf
#
03.06.201520.96 Mб124M.A.Leontovich-термодинамика и стат физика.pdf
#
03.06.2015688.23 Кб82M1_10_14.pdf
#
03.06.2015504.99 Кб129M1_11_2012.pdf
#
03.06.2015581.89 Кб52M1_8_14.pdf
#
03.06.2015849.06 Кб74M3_10_14.pdf
#
03.06.2015603.08 Кб56M3_8_14.pdf
#
03.06.2015364.31 Кб65M3_8_2010.pdf