Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный физико-технический университет (МФТИ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Трухан. Динамика твердого тела

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

03.06.2015

Размер:

733.35 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 53 4 5 > Следующая >>>

ApO2 + BqO2 +CrO2 = 4Aω2 = 2T = const,

A2 pO2 + B2qO2 +C2rO2 = 6A2ω2 = KO2 = const.

Подставим полученные выражения для p и r во второе уравнение (3.11):

dq	−2	4 pO	2 −3q2	= 0.
3 dt		4 2			(3.12)

Проинтегрировав (3.12), найдем в зависимости от времени

q = 2 23 th 2 t 2 ,

а затем p и r :

p =		2ω		, r =		ω			.
	ch	t			ch		t

		2	2			2		2

Определим углы Эйлера и угловую скорость прецессии ψ по

(3.7), (3.8) и (3.9)

cosθ =	2		1			,	tg ϕ =				1						,
cosθ =	3 ch			t		,	tg ϕ =			3sh				t			,
			2		2						2			2		(3.13)
																(3.13)
		2T −Cr 2								2	6ω ch						t
	ψ =							KO =		2	6ω ch					2			.
																2
		KO		2 −C 2 r 2										t
														t		−1
										3 ch				2
Из последнего соотношения найдем										3 ch				2
Из последнего соотношения найдем
ψ =ψO +		2	2ωt + 2					2ω t				dt						.
ψ =ψO +		2	2ωt + 2					2ω t					t					.
			3					3	∫0 3 ch				t		−1
			3					3	∫0 3 ch		2			2	−1
											2			2

Анализ зависимости углов Эйлера от времени показывает, что углы Эйлера


θ		2		1
	= arccos							,
	= arccos	3				t		,
		3				t
			ch			2
			1	2		2
	ϕ = arctg		1				,
	ϕ = arctg	3 sh			t		,
					t
				2		2
				2		2

иψ (см. (3.13) не являются периодическими функциями.

3.3.Случай Лагранжа. Это случай движения симметричного тела в поле тяжести, когда центр масс лежит на оси симметрии, не совпадая с неподвижной точкой.

При движении симметричного твердого тела с одной неподвижной точкой в случае Лагранжа интегрирование системы уравнений движения может быть доведено до квадратур. Однако качественное исследование этого движения может быть проведено с помощью интегралов движения. Так как движение реализуется в поле тяжести, то имеет место интеграл энергии

1	A(p2 +q2 )+	1	Cr 2	+ pl cosθ = hO ,	(3.14)
2		2

где l - расстояние центра тяжести от неподвижной точки. Поскольку M z = 0, то


K		=		ψ	= const.	(3.15)
K		=	K	ψ	= const.	(3.15)
	z			O ψ

Третий интеграл получается из последнего уравения (3.4):

Cr = 0 → r = const. (3.16)

Через углы Эйлера и их производные эти первые интегралы могут быть представлены в виде

A(ψ2 sin2 θ +θ2 )+ 2 pl cosθ = h = const,

23
Aψ sin2 θ +Cr cosθ = Kz	= const,		)	(3.17)
(	O	−Cr2		.
ψ cosθ + ϕ = r = const. h = h

Интегралы движения (3.15) и (3.16) легко получаются и с помощью функции Лагранжа

L = 12 (Ap2 + Bq2 +Cr2 )−Π =

=	A	(θ2	+ψ 2 sin2 θ)+	(3.18)
	2

+C2 (ϕ+ψ cosθ)2 − mgl cosθ.

Всамом деле, так как координаты ψ и ϕ циклические, то

∂L

= 0,

= 0 и

= 0,

= 0, откуда

∂ψ

∂ϕ

∂ψ

dt ∂ϕ

вытекают законы сохранения

∂∂ψL = Aψ sin2 θ +C(ϕ+ψ cosθ)cosθ = const, ∂∂ϕL = C(ϕ+ψ cosθ)= Cr = const.

Задача 3.2. Тонкий однородный диск веса P и радиуса R насажен жестко R на невесомый стержень длины

Рис. 3.2

l =	3	R, один конец которого
	2

шарнирно закреплен. В начальный момент диску сообщают собственное вращение с угловой скоростью

ϕ = 4	g	и отпускают ось без
	R

толчка. Найти минимальное и максимальное значения угла

нутации θ

при движении диска,

если в начальный момент

θO = 30D,

θO = 0,

ψO = 0.

Найти

также

зависимость

угловой

скорости

прецессии

угловой

скорости

собственного вращения ϕ

от угла нутации θ.

Решение. Интегралы движения (3.14–3.16) в данном

случае

(

)

sin

+ 2mgl cosθ = 2mgl cosθ , (3.19)

θ +θ

mR2ψ sin2 θ + mR2

r cosθ =

3gmR32 ,

(3.20)

ψ cosθ +ϕ = 4

g .

(3.21)

Здесь значения

h =

3mgR

K z =

3gmR 32 ,

r = 4

получены

из

начальных

условий,

A =

mR2

+ml2 = mR2 ,

C =

mR2 . Из (3.19)–(3.21) находим

ψ =

3 − 2cosθ ,

(3.22)

sin2 θ

θ2 =

( 3

−

2cosθ) 3 sin2 θ − 2 3 + 4cosθ =

(3.23)

sin2 θ

= f (θ)

+2sin2 θ −

3 cosθ

(3.24)

sin2 θ

θ = 0, что

Значения

θmin

θmax получим

из

условия

данном случае приводит к равенствам

3 −2cosθ = 0,

		3 cos2 θ −4cosθ +				3 = 0.
Откуда	cosθ =	3 ,	cosθ	2	= 1 .	Исследуя	знак θ при
	1	2		2	3
θ =θ1	и θ =θ2 ,	2			3	что θ1
θ =θ1	и θ =θ2 ,	легко убедиться,				что θ1	соответствует

минимальному, а θ2 максимальному значению угла θ.

Чтобы наглядно проиллюстрировать нутационное и прецессионное движение диска, рассмотрим движение его центра масс. При движении центр масс диска, оставаясь на сфере радиуса l, будет двигаться между двумя параллелями,

соответствующими θmin и θmax . При этом нутационное движение носит колебательный характер, что видно из того,

что θ = ±	f (θ) (знак "+" соответствует возрастанию угла
θ, знак "-" убыванию его) и
	θ	θ
	t12 = θ∫2	− dfθ(θ) =θ∫1	df	θ(θ) =t21,
	1	2
	т.е. время движения от одной параллели к
	другой остается постоянным.
		Угловая скорость прецессии ψ,			как
	видно из (3.22), неотрицательная функция
	θ,	обращающаяся		в нуль только	при
Рис. 3.3	θ =θmin , что соответствует точке возврата

на сферической траектории центра масс. Таким образом, его траектория в этом случае имеет вид сферической циклоиды, изображенной на рисунке 3.3.

§ 4. Применение динамических уравнений Эйлера для определения реакций, возникающих при вращении тела вокруг неподвижной оси

Динамические уравнения Эйлера могут быть использованы для решения первой задачи динамики, когда по заданному движению определяются силы, под действием которых это движение может происходить. Так, например, динамические уравнения Эйлера могут быть применены для определения реакций, возникающих при вращении тела вокруг неподвижной оси.

Рассмотрим уравнения движения тела в форме (1о) и (3.3). В качестве полюса О может быть взята произвольная точка на оси вращения. Внешние силы представим как совокупность активных сил и сил реакций связи: статических, возникающих в опорах покоящегося тела, и динамических, появляющихся при вращении тела вокруг неподвижной оси.

В положении равновесия система активных сил уравновешивается системой статических реакций

R a + R ст = 0, M O a + M O ст = 0. (4.1)

Пусть помимо активных сил, уравновешивающихся системой статических реакций, к телу приложен вращающий

момент MOвр, направленный по оси вращения. Тогда с

учетом равенств (4.1) уравнения движения тела (1о) и (3.3) можно записать в виде

ст +

д =

д,

(4.2)

O =

O a +

O ст +

O вр +

д =

(4.3)

= M O вр + M O д.

Для технических приложений важен вопрос, при каких условиях вращение тела вокруг оси не вызывает

добавочных давлений, т.е. когда система динамических реакций эквивалентна нулю. Найдем эти условия.

Из (4.2) следует, что		д = 0 только	тогда, когда
	R
центр масс лежит на оси вращения. Момент				Oд лежит в
			M

плоскости, перпендикулярной оси вращения, т.к. силы реакции пересекают эту ось. Введем оси системы координат

OXYZ,

жестко связанной с телом,

где ось OZ совпадает с

осью вращения, а оси OX

и OY лежат

плоскости,

перпендикулярной этой оси. В осях OXYZ матрица тензора

инерции имеет вид

− Jxy

− Jxz

J =

− Jxy

J y

− J yz

− Jxz

− J yz

вектор

O = J

= −J xzωe1 − J yzωe2 − J zωe3 ,

= Jε

= −J xzε e1 − J yzε e2 + J z

ε e3 , где

вектор

углового ускорения, а e1, e2 , e3				- орты выбранной системы
осей.
Спроецируем уравнение (4.3) на оси системы OXYZ :
− J	xz	ε + J ω2			= M	д,
	xz			yz		Ox
− J	yz		ε − J ω2		= M	д,	(4.4)
	yz			xz		Oy

J zε = M O вр.

Третье уравнение из (4.4) – уравнение вращения тела вокруг неподвижной оси – не содержит динамических

реакций. Момент динамических реакций MOд обращается в

нуль, если

− Jxzε + J yzω2 = 0,

− J yzε − Jxzω2 = 0.

(4.5)

Так как определитель системы (4.5) ∆ = −(ε2 +ω4 )≠ 0, то эта система имеет лишь тривиальное решение: Jxz = J yz = 0,

т.е. ось вращения OZ является главной осью для точки O. Таким образом, система динамических реакций эквивалентна

векторному нулю (т.е. Rд = 0 и MOд = 0 ) в том и только в

том случае, когда осью вращения является главная центральная ось. В связи с этим главную центральную ось называют осью свободного вращения.

				Задача			4.1.	Тонкая
	Z	ζM		пластина			массы		m
	D			вращается			с постоянной
		α		угловой			скоростью		ω
				вокруг вертикальной оси

	O		Y	OZ,			лежащей		в
				плоскости				пластины.
X	M			Центр		масс		пластины
		ηM		находится на расстоянии
	ω			a	от	оси		вращения,
ξM				главная		центральная			ось
	E			ζM образует с осью OZ
		Рис. 4.1		угол			α.	Найти
				статические					и

динамические реакции в подшипнике					D и подпятнике				E,
если	главные	центральные	моменты		инерции			пластины
JξM	= A, JηM	= B, EO = b, CD = c.

Решение. Центр масс пластины движется равномерно по окружности в плоскости OXY, поэтому его уравнения движения

mω2 a =Y	д +Y д, 0 = X		д + X	д. (4.6)
E	D		E	D
Так как p = 0, q = −ωsinα,	r =ωcosα,	p = q = r = 0, то

первые два динамических уравнения Эйлера в главных центральных осях имеют вид

		0 = −X	E	дh + X	дh ,
			E	1	D 2	(4.7)
		−(C − B)ω2 sinα cosα =Y				(4.7)
		−(C − B)ω2 sinα cosα =Y				дb −Y дc.
					E	D
Решая совместно (4.6) и (4.7), получаем X Eд = X Dд = 0,
YE д =	1	(mω2ac −(C − B)ω2 sinα cosα),
YE д =	b + c	(mω2ac −(C − B)ω2 sinα cosα),
	b + c
YDд =	1	(mω2ab + (C − B)ω2 sinα cosα).
YDд =	b + c	(mω2ab + (C − B)ω2 sinα cosα).
	b + c

Для определения статических реакций запишем уравнения

равновесия твердого тела:

= 0,

= 0.

В проекциях на оси системы OXYZ это дает

ст + X

ст = 0,

ст +Y ст

= 0,

ст

= mg,

= −Y

ст(b + c)− mga = 0,

= X

ст(b +c)= 0.

Откуда

ст = X

ст

= 0, Y ст =

mga

ст = −

mga

(b + c)

ст = mg.

Анализ

выражений

позволяет

убедиться в том, что динамические реакции образуют векторный нуль при условиях:

1.a = 0 и α = 0 (ось вращения совпадает с осью Mζ );

2.a = 0 и α = π2 (ось вращения совпадает с осью Mη ).

И в том, и в другом случаях осью вращения является главная центральная ось.

§ 5. Регулярная прецессия

Регулярной прецессией называется движение твердого тела с неподвижной точкой O, когда тело

вращается с постоянной по величине угловой скоростью ϕ вокруг оси Oζ , жестко связанной с телом, а эта ось вращается с постоянной угловой скоростью ψ вокруг неподвижной оси OZ, составляя с ней постоянный угол θ.

Условимся называть свободной регулярной прецессией случай, когда это движение реализуется при

M O = 0, и вынужденной регулярной прецессией, если при этом движении M O ≠ 0.

5.1. Регулярная прецессия в случае Эйлера

Если движущееся по инерции тело симметрично, то его движение есть регулярная прецессия.1) Симметрия тела является и необходимым условием того, что в случае Эйлера реализуется регулярная прецессия. В самом деле, пусть движение тела – свободная регулярная прецессия. Тогда последнее динамическое уравнение Эйлера можно записать в виде

(A − B)qp = (A − B)ψ 2 cosϕsin2 θ = 0. (5.1)

Не рассматривая случай перманентного вращения, будем считать величины ψ ≠ 0, sinθ ≠ 0, так как в противном

случае движение не является регулярной прецессией. При регулярной прецессии ϕ - линейная функция от времени,

ϕ = ϕOt +ϕO , и поэтому sin ϕ и cosϕ не могут быть

тождественно равны нулю. Следовательно, равенство (5.1) выполняется в любой момент времени лишь при A = B.

1) См. М.А. Айзерман. Классическая механика, 1980.

<<< < Предыдущая 1 23 / 53 4 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
03.06.201545.59 Кб30Тест вводный физика - 10 кл 2013..pdf
#
03.06.201543.19 Кб24Тест вводный физика - 9 кл 2013..pdf
#
09.11.201960.42 Кб2ТЗ к Уставу Родной Партии.doc
#
03.06.201595.74 Кб7Тотальная мобилизация.doc
#
01.05.2025134.99 Кб0ТРПО шпора.docx
#
03.06.2015733.35 Кб52Трухан. Динамика твердого тела.pdf
#
27.03.2016796.04 Кб23ТРЯП 2015.pdf
#
03.06.2015653.46 Кб60ТФКП методичка.pdf
#
03.06.201510.77 Mб330ТФКП Половинкин.pdf
#
10.12.2018259.07 Кб2Т№12мет.указ. 2009.doc
#
10.12.2018183.3 Кб8Т№14 мет.указ. 2009.doc