квадратные корни

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный физико-технический университет (МФТИ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

и правая часть равенства положительна.

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

03.06.2015

Размер:

827.61 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>

2014-2015 уч. год, №4, 8 кл. Математика. Квадратные корни


В полученной дроби умножаем числитель и знаменатель на 1 2 ,
получаем: 1		1 2
получаем: 1	2	1 2	2	5	10
		6 1 2

1 2 22 4 5 10 10 20 6

5 32 35 210 . ▲ 6

§4. Преобразование выражений, содержащих квадратные корни

Покажем на примере, как можно тождественными преобразованиями упрощать выражения, содержащие квадратные корни. При этом мы будем пользоваться правилами, которые указали в предыдущем параграфе, как, например, правило произведения корней, правило деления корней, правило вынесения множителя из-под знака корня и т. д.


Пример 1. Упростите выражение 5		18 7	50 30		2.

	Заметим, что 5 18 5 9	2 5 9		2 15	2 и 7 50

725 2 725 2 352.

Витоге получаем: 152 352 302 202. ▲ Пример 2. Упростите выражение:


а)	7 4 3; б)	3 2 2 ; в)	a 1 4 a 3.
	а) Заметим, что 7 4 3 22				2 , тогда
	а) Заметим, что 7 4 3 22			3	2 , тогда

7 43 22 3 2 2 2 3 2 3 2 .

Поэтому

7 43 2 3 2 2 3 2 3.

б) 3 22 1 2 22 1 2 2 22 1 2 2

1 2 2 1.

в) a 1 4a 3 a 3 4 4a 3

a 3 2 22 2 2a 3 a 3 2 2 a 3 2. ▲

2015, ЗФТШ МФТИ, Яковлева Тамара Харитоновна

2014-2015 уч. год, №4, 8 кл. Математика. Квадратные корни

Пример 3. Сократите дроби:

а)

a b

; б)

49b

; в)

3x 3y

; г)

7a 7b

8 a 7 b

3x 3y 6 xy

a b

а) Заметим, что

a b a 2 b 2 , 7a 7 a, 7b 7 b,

подставляем эти выражения в данную дробь:

7 a

7 b

2 7

б)

64a 49b

8 a 7 b

8a 7b.

в)

3x 3y

3x 3y 6 xy

3x 3y

г) Преобразуем числитель дроби:

a a bb a 2 a b 2 b a 3 b 3

a b a 2 a b b 2 a b a b ab .

В результате получаем:

a b

. ▲

Пример 4. Докажите тождество

n mn

2015, ЗФТШ МФТИ, Яковлева Тамара Харитоновна

2014-2015 уч. год, №4, 8 кл. Математика. Квадратные корни

∆ Преобразуем выражение, стоящее в скобках:

mn m

m n

Тождество доказано. ▲

Пример 5. Решите уравнение

4x2 16x 16

x2 6x 9 4.

∆ Преобразуем левую часть уравнения:

x 3 2

4 x2 4x 4

4x2 16x 16

x2 6x 9

x 2 2 x 3 2 2

x 2

x 3

После

тождественных

преобразований

получили

уравнение

x 2

x 3

x 3,

x 2

1) Пусть

x 3,

тогда

и наше уравнение

сводится к уравнению

2 x 2 x 3 4; 2x 4 x 3 4; x 3 0; x 3.

Это число меньше 3 , поэтому при x 3 решений нет.

2) Пусть теперь

2 x 3 . Тогда

x 3

3 x,

x 2

x 2 . Полу-

чаем уравнение

2x 4 x 3 4, 3x 3, x 1.

Число 1

удовлетворяет

условию 2 1 3,

x 1 решение.

3) Пусть

x 2 .

Тогда

x 3

3 x,

x 2

и приходим к

уравнению 2x 4 3 x 4, x 11, x 11. Число 11 2.

Ответ: 1; 11. ▲

Пример 6. Решите систему уравнений

x 3

y 2 3,

2 x 3

y 2 9.

2015, ЗФТШ МФТИ, Яковлева Тамара Харитоновна

2014-2015 уч. год, №4, 8 кл. Математика. Квадратные корни

∆ Корень x 3 определён при x 3 , а корень y 2 определён при y 2.

Умножив второе уравнение системы на 2 и прибавив к первому уравнению, получаем: 7x 3 21, x 3 3, x 3 9, x 6.

Подставляем это значение для x в первое уравнение, получаем:

3 3 2y 2 3; 6 2y 2; y 2 3; y 2 9; y 11.

Ответ: 6;11 . ▲

§5. Преобразование двойных радикалов

Выражения вида a bc называют сложными или двойными радикалами. Мы уже рассматривали примеры, в которых можно было избавиться от внешних радикалов.

Пример 1. Освободитесь от внешнего радикала в выражении

23 415.

∆Заметим, что выражение 23 415 20 3 2 2 5 3

25 3 2 , тогда 23 415 25 3 2 25 3 25 3. ▲

Пример 2. Освободитесь от внешнего радикала в выражении

124 703.

∆ В этом примере укажем метод, по которому иногда можно избавляться от внешнего радикала. Подберём целые числа a и b такие, что-

бы 124 703 a b3 . Если такие числа есть, то должны выполняться такие условия:

			2
a b		3	2	124	70 3,
a b		3		124	70 3,

	3 0.
a b	3 0.
Из первого условия получаем

a2 2ab	3 3b2 124 70						3,

a2 3b2 124 2ab						3 70	3.
Так как a и b целые числа,			то выражение					a2 3b2	124 является
целым числом, значит,		рациональным						числом.	Выражение

2ab 70 3 является рациональным числом, если

2015, ЗФТШ МФТИ, Яковлева Тамара Харитоновна

2014-2015 уч. год, №4, 8 кл. Математика. Квадратные корни

		2
a b	3		124	70 3,	и 2ab 70	0,	т. е. ab 35.
					и 2ab 70	0,	т. е. ab 35.
	3 0.
a b	3 0.

Уравнению

ab 35 удовлетворяют

следующие

пары

чисел:

a 1, b 35;

a 5, b 7;

a 7, b 5;

a 35, b 1;

a 1, b 35;

a 5, b 7;

a 7, b 5;

a 35, b 1.

Условию

a2 3b2 124 0

удовлетворяют две

пары

чисел:

a 7, b 5

a 7, b 5.

Число 7 5

3 не удовлетворяет условию

a b 3 0,

число

7 5

удовлетворяет этому условию.

Таким

образом,

124 70 3

7 5 3.▲

В некоторых примерах удаётся избавиться от внешнего радикала, если воспользоваться тождеством


		a a2	b	a a2	b

a	b					.
a	b	2		2		.
		2		2

Это тождество называют формулой двойного радикала. Оно справедливо, если a 0, b 0 и a2 b 0. Тогда все три корня определены,

Возведём в квадрат обе части равенства. Получим:

a a2

a2 a

2 b

a b a b.

Пример 2. Освободитесь от внешнего радикала в выражении

					56
					56		2880 ,
применяя формулу двойного радикала.


			56	3136 2880					56	3136 2880

56	2880
56	2880			2						2
				2						2

		56 16		56 16
		56 16		56 16		6		20 6 2		5. ▲
						6		20 6 2		5. ▲
		2		2

2015, ЗФТШ МФТИ, Яковлева Тамара Харитоновна

2014-2015 уч. год, №4, 8 кл. Математика. Квадратные корни

§6. Построение графиков функций

В школьном курсе 7-го класса вы уже рассматривали график линейной функции y kx b, графики функций y x2 и y x3 . В этом году вы познакомились ещё с одной функцией, а именно, с функцией y x.

Составим таблицу значений этой функции. Очевидно, что функция определена при x 0.

x	0	1/16	1/ 9	1/ 4	1	4	9

y	0	1/ 4	1/ 3	1/ 2	1	2	3

Построим график этой функции.

y
3
2
1
2
41	1	4	9	x
		Рис. 1 y	x

Пример 1. Постройте графики функций:

а) y x2 ;

б) y x;

в) y x 1;

г) y

x 1

; д) y x2 4x 4 x2 2x 1;

е) y x 2 .

а) Из определения арифметического корня следует, что

x2 x x, если x 0,

x, если x 0.

График данной функции приведён на рис. 2.

2015, ЗФТШ МФТИ, Яковлева Тамара Харитоновна

2014-2015 уч. год, №4, 8 кл. Математика. Квадратные корни
б) Из определения корня следует, что x 0 , т. е.								x 0.		Составим
таблицу значений функции:
	x	0	1/16		1/ 4		1		4		9
	y	0	1/ 4		1/ 2		1		2		3
График функции изображён на рис. 3.
	y									y
					9		4			1	x
										1	x
	1									2
	0	1	x							3
	0	1	x
	Рис. 2 y		x2			Рис. 3 y			x
в)	Данная		функция	определена		при	x 1 0, x 1.				При
x 1 y 0,		x 3 y 2, x 8 y 3. График данной функции получает-

ся из графика функции y			x	параллельным сдвигом вдоль оси Ox
на одну единицу влево. Приводим график данной функции на рис. 4.
y								y
2								2
2
1								1
1 0	3			x	5	2	1	0	3	x
Рис. 4 y		x 1				Рис. 5	y		x 1
г) Данная функция определена при всех						x. При		x 1 выражение
x 1 x 1,	поэтому график данной функции совпадает с графиком
функции y	x 1,	который мы привели на рис. 4.						При x 1 данная
функция определена, при этом				y	x 1.	Заметим, что данная функ-
ция в точках, симметричных относительно точки								x 1, принимает
2015, ЗФТШ МФТИ, Яковлева Тамара Харитоновна
										17

2014-2015 уч. год, №4, 8 кл. Математика. Квадратные корни

равные значения. Например, при x 0 и x 2 значения функции совпадают и равны 1 . В точках 3 и 5 значения функции также сов-

падают и равны 2 . Про график данной функции говорят так: график функции симметричен относительно прямой x 1. График данной функции приведён на рис. 5.

д) Преобразуем выражение, которым задаётся наша функция.

y x 2 2 x 1 2

x 2

x 1

При x 2

y x 2 x 1 3.

При 1 x 2

y x 2 x 1 2x 1.

При x 1

y x 2 x 1 3.

График функции изображён на рис. 6.

е) Данная функция определена при x 0.

Для этих значений график

функции приведён на рис. 7. ▲

1 0

Рис. 7

Рис. 6

x2 4x 4

x2 2x 1

Пример 2. Постройте график функции

x , если x 0;

y 3

x, если 0 x 2;

x 2 2, если

x 2.

На рис. 3 в предыдущем примере мы строили график функции y x. Значения заданной функции при x 0 получаются из значений функции y x прибавлением числа 3, т. е. график функции