Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1315 вузов, 5362 предметов.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Московский государственный физико-технический университет (МФТИ)
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

Seminary_Vesna

.pdf
Скачиваний:
5
Добавлен:
03.06.2015
Размер:
938.03 Кб
Скачать
☆

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

w (t )

 

 

 

 

 

 

e (t

)

e

 

T

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 T

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Заметим, что функцию w (t, ) можно найти и другим образом:

n

M (s )

 

s

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M (s)

 

 

 

 

 

 

 

k

 

 

 

 

w ( )

k

 

e k

,

 

где W (s)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

N (sk )

 

N (s)

(1 Ts)(1 s)

 

 

 

j1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Учитывая,

что: s

1, s

 

 

1

 

и

 

N (s) 2Ts T 1, получаем

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

T

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

тот же результат:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

k

 

 

 

 

 

t

 

 

 

k

 

 

 

 

t

 

w (t )

 

 

 

 

e (t )

 

 

 

 

 

e

 

 

T

 

 

 

 

 

 

 

e (t ) e

 

T .

 

 

 

 

 

 

T

 

 

 

1 T

 

 

 

 

 

1

T

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Подставляя w (t ) в приведенное выше выражение для дисперсии в

случае входного сигнала в виде белого шума, получаем для произвольного момента времени t

 

 

k 2 S

t

 

 

t

 

2

Dу

(t)

 

 

0

e (t ) e

 

T

d (замена переменных t , d d )

(1

T )2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k 2 S

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

k

2 S

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

2T

 

 

 

 

T

 

2

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e2

2e

 

 

T e

 

 

T d

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e2

 

 

 

 

 

 

e

 

T

 

e

 

T

 

 

 

 

(1 T )

2

 

 

 

 

 

(1 T )

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

1

T

 

 

2

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

k 2 S

 

1

 

2T

 

 

T

 

 

1

 

 

2T

 

 

 

t

 

t

 

 

 

 

T

 

2

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e 2t

 

 

 

 

e

 

 

T

 

 

 

 

 

 

e

 

 

T

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1 T )2

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 T 2

 

 

 

1 T

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

2 D

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1 T )e 2t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4Te

 

 

T T (1 T )e

 

T

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 T

 

 

 

 

2(1 T )(1 T )2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Можно показать, что при Т =1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

w (t )

k

e (t ) ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Следовательно

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k 2 S

t

 

 

 

 

 

 

k 2 S

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k 2 D

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D (t)

 

 

 

 

 

e2(t ) d

 

 

 

 

 

 

 

(1 e2t )

 

 

 

 

x

(1 e2t ).

 

 

 

(1')

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

у

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Сравнивая (1) и (1') замечаем, что значения Dу (t) для разных подходов отличаются. Это связано с нестационарностью выхода формирующего фильтра x(t) при малых t.

При t , т.е. в установившемся режиме, в обоих случаях, естественно, имеем одинаковое значение дисперсии

Dy уст

 

k 2 S

 

k

2 D

x

.

(2)

2(1

T )

1

 

 

 

 

 

T

 

Второй способ – метод спектральных плотностей (только для установившегося режима: t )

 

 

 

 

 

D

(t)

1

S

 

()d .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S

( )

 

W (i )

 

2 S

x

 

 

W (i )

 

2

 

W (i )

 

2 S

 

W (i )

 

2 S

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

фф

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k 2 S

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Dy (t) Dy уст

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

(1 2 )(1 T 2 2 )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Замечание:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рассмотрим интеграл:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I

 

 

 

 

 

 

 

 

d ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

(1 2 )(1 T 2 2 )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Он может быть представлен в виде

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

G(i )

d

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

2

 

 

A(i ) A( i )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где:

 

 

A(i ) a

0

(i )n

a (i )n 1 ... a

n 1

(i ) a

n

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

G(i ) b (i )2n 2

b (i )2n 4

... b

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

n 1

 

 

 

Заметим, что для физически реализуемых систем

порядок числителя как

минимум на две единицы меньше порядка знаменателя, сам же полином

G(i ) содержит только четные степени аргумента i

 

 

 

G(i ) (i )n 1 (i )n 2

 

 

... ( i )n 1

( i )n 2 ...

02 (i )2(n 1) ( 1)n 1 1 (i )n 2 0 ( i )n 1 0 (i )n 1 1 ( i )n 2 ...

b0 (i )2n 2 0 1 (i )2n 3 ( 1)n 1 ( 1)n 2 ... b0 (i )2n 2 b1 (i )2n 4 ...n 1n 1 0 110

Для вычисления интегралов In

имеются табличные значения:

 

 

 

 

 

I

 

 

1

 

 

M n

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

2a0

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a1

a3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b0

b1

bn 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где

n

a0

a2

 

,

 

M n ( 1)n 1

 

a0

a2

 

 

 

.

 

0 a1

a3

 

 

0 a1

a3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

an

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

an

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b0 a0

 

b1

 

 

 

 

 

 

В рассматриваемой нами задаче n = 2 и

 

I 2

 

a2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2a0 a1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A(i ) (1 i )(1 Ti ) T (i )2 (1 T )i 1 a

0

T , a 1 T , a

2

1

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

G(i ) 0(i )2 b (i )0 0 ... b 0, b 1 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 T 1

 

 

1

 

 

 

 

I

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2T (1 T )

 

2(1 T )

 

 

 

 

 

 

Следовательно:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D

 

 

k 2 S

 

k 2 Dx

.

(2)

 

 

y уст

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2(1

T )

 

1 T

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Семинар 3

Вернемся к задаче, рассмотренной на предыдущем семинаре :

определить дисперсию выхода

Dy (t) системы, передаточная функция которой есть W(s)

= k /(Ts 1) , на вход которой

поступает стационарный сигнал x(t) , корреляционная

функция которого имеет вид K x ( ) Dx e .

Используя понятие формирующего фильтра, мы перешли к системе, у которой входом является белый шум.

(t)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y(t)

 

Wфф

 

 

 

W (s)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Wфф

(s)

 

 

2Dx

 

 

 

1

, S 2Dx .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

s)

 

 

 

 

s

 

S

 

 

 

 

(1

1

 

 

 

Заметим, что поскольку корреляционная функция входного сигнала не содержит постоянной составляющей, то mx , и тем самым, my , равны

нулю.

На предыдущем семинаре мы нашли дисперсию выходного сигнала y(t) системы с использованием методов интегральных соотношений и спектральных плотностей.

На примере той же задачи оценки точности рассмотрим третий метод – метод

корреляционной системы уравнений

В рамках этого способа исходной информацией о системе управления является система уравнений движения в виде

x Ax B,

где x(t) - n-мерный вектор фазового состояния системы, (t) - m- мерный вектор белых шумов, задаваемый матрицей интенсивностей S , A и B - соответствующие матрицы.

Корреляционная система уравнений имеет вид

R AR (AR)T BS BT ,

где R(t) – искомая дисперсионная матрица вектора выходных переменных, т.е. вектора x(t) .

В рассматриваемой нами системе с учетом формирующего фильтра уравнение движения является уравнением второго порядка относительно одной переменной y(t):

(1 p)(1 Tp) y k ,

или

Tу (1 T ) y у k.

(1)

Для применения корреляционной системы нам необходимо перейти к системе двух уравнений первого порядка. Это можно сделать разными способами.

Положим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x1 у(t),

x2 y(t).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(I)

 

Тогда:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x1

x2 ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

1

 

 

k

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 T

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

 

A

1

 

 

 

(1 T )

, B

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

2

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T

 

 

 

 

T

 

T

1

 

 

 

 

T

 

T

T

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а интересующим нас элементом дисперсионной матрицы является Dy (t) R11 .

 

Далее

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

0

 

 

T R11

 

R12

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

TR12

 

 

 

 

 

TR22

 

 

 

AR

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1 T )R

 

 

 

R (1 T )R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T

 

1 1 T R

21

 

R

22

 

 

 

 

 

 

 

T

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11

 

 

12

 

12

 

22

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k 2

 

 

0

 

 

 

k 2

 

0 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

BS BT

 

S

 

 

 

 

 

 

 

 

0 1 S

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T

 

 

 

 

 

T

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

0 1

 

 

 

 

 

Следовательно:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2TR12

 

 

2R12

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R11

 

 

 

 

T

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R11 1 T R12

 

 

 

 

 

 

 

TR22

R11

1 T

R12

 

1

 

R22

 

 

 

 

(2)

R12

T

 

T

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

R12

 

1 T R22

 

 

k 2

 

S

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R22

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T

T

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Чтобы получить интересующее нас решение корреляционной системы уравнений

(2) в виде Dy (t) R11 (t) , нужно задать начальные условия для элементов дисперсионной

матрицы при t 0 , т.е. в момент подачи процесса x(t) . Учтем, что

до момента t 0

система покоилась, а значит и в момент подачи процесса

x(t) должно выполняться

x1 (0) y(0) 0 . На основании этого получаем

 

 

 

 

R (0) D

y

(0) M[ y2 (0)] 0 ,

R (0) M[ y(0) y(0)] 0 .

11

 

 

12

 

 

 

Что же касается значения y(0) , то ситуация здесь иная. В соответствии с заданной

передаточной функцией W (s) зависимость

выхода

y

от входа

x определяется

дифференциальным уравнением

 

 

 

 

 

 

 

Ty y k x

 

 

 

 

Для момента времени t 0 имеет место

Ty(0) 0 k x(0) y(0) k x(0) T .

Величина x(0) - случайная. Поэтому

 

 

 

 

 

R (0) M[ y2 (0)] M[x2 (0)k 2

T 2 ] D (0)k 2

T

2 D k 2

T 2

22

 

 

 

x

 

x

 

Здесь замена Dx (0) на Dx объясняется стационарностью процесса x(t) .

Решение корреляционной системы уравнений для любых t

найдем для варианта

T 1. В этом случае

2R

 

 

 

R

 

 

 

 

 

 

 

 

11

12

 

 

(3)

R12

R22 R11 2R12

 

 

 

 

 

 

 

 

2R12 4R22

2Dx k

2

 

R22

 

 

Так как нас интересует только зависимость Dy (t) R11 (t) , то в данном случае систему трех уравнений (3) удобно свести к одному уравнению 3-го порядка относительно

R11.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Полагая

p d

 

dt , получим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

2

 

0

R11

 

 

0

 

 

 

 

 

1

p 2

 

1

R

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

2

 

p 4

R

 

 

 

2D k 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

13

 

 

 

 

x

 

По правилу Крамера

 

R11 1

, где

 

 

 

 

 

 

 

 

p

2

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

p 2

1

 

p

3

6 p

2

12 p 8

( p

2)

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

2

p 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

2

0

 

 

 

 

0

p 2

1

 

4D k 2

1

 

 

 

 

 

x

 

 

2D k 2

2

p 4

 

 

 

 

x

 

 

 

 

Таким образом R11 4Dx k 2 ( p 2)3 ( p 2)3 R11 4Dx k 2 .

В соответствии с этим результатом, уравнение для R11 будет иметь вид

 

 

 

4Dx k

2

 

R11

6R11 12R11 8R11

 

 

 

 

 

 

 

 

Для получения решения этого уравнения нужно задать значения R11(0) , R11(0) ,

R11(0) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Мы уже знаем, что при t 0

выполняется R11 (0) 0

и R12 (0) 0 . Обратимся к

первому уравнению корреляционной системы (3): оно дает

 

R11(0) 2R12 (0) 0 . Если

же первое уравнение продифференцировать, то с учетом 2-го уравнения получается

R11(0) 2R12 (0) 2R11(0) 4R12 (0) 2R22 (0) 2R22 (0) 2Dx k 2

Итак, начальные условия полностью определены. Решение самого уравнения определим в виде суммы общего и частного решений. В качестве частного решения возьмем, естественно, значение

R11 ( ) 12 Dx k 2

Вид общего решения определяется корнями характеристического уравнения. В данном случае

3 6 2 12 8 ( 2)3 0 1,2,3 2 .

То есть характеристическое уравнение дает корень 2 тройной кратности. Ввиду этого решение однородного уравнения должно иметь следующую структуру

(c0 c1t c2t 2 )e 2t ,

а полное решение, соответственно, примет вид

R11 (t) 12 Dx k 2 (c0 c1t c2t 2 )e 2t .

Здесь c0 , c1 , c2 - константы, определяемые по начальным условиям.

Последовательно находим

R

(0)

 

1

D k 2 c 0

c

 

1

D k 2

 

 

 

 

 

 

 

 

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

11

 

x

 

0

 

 

 

)e

 

 

0

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R11

(t) 2(c0

c1t c2t

 

 

 

(c1

2c2t)e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

2t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2t

 

 

 

 

 

 

R11

(0) 2c0

c1

0 c1

2c0 Dx k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

(t)

4(c0 c1t c2t

2

)e

2t

4(c1

2c2t)e

2t

2c2e

2t

 

 

R11

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(0)

4c0 4c1

2c2

2Dx k

2

c2

Dx k

2

2c1

2c0 0

 

R11

 

 

 

В итоге получаем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D

(t) R (t)

1

D k 2

(

1

 

D k

2 D k 2t)e 2t

 

1

D k 2

[1 (1 2t)e 2t ] .

 

 

 

 

 

y

 

 

 

11

2

 

 

x

 

 

 

 

 

2

 

 

x

 

 

x

 

 

2

x

 

Решение получилось точно таким же, как было получено при использовании интегральных соотношений (См. семинар 2).

Замечание:

Наряду с (I) можно рассмотреть второй способ сведения уравнения второго порядка (!) к системе двух уравнений первого порядка

Вспоминая, как мы пришли к рассматриваемой системе:

(Tp 1) y(t) x(t) , ( p 1)x(t) (t)

можно ввести переменные следующим образом

x1 x(t),

x2 y(t),

(II)

при этом интересующим нас элементом дисперсионной матрицы становится R22 . Заметим, что при таком выборе компонент вектора x(t) мы осуществляем переход от одного уравнения 2-го порядка

(уравнение Лагранжа) к канонической системе двух уравнений движения первого порядка (уравнения Гамильтона).

Тогда получаем

x1 x1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

0

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

k

 

 

A

 

1

, B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

 

 

 

 

0

 

 

 

 

x2

 

x2

 

x1

 

 

 

 

 

T

 

T

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T

 

 

 

T

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

0

 

 

R12

 

 

 

R11

 

 

 

R12

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R11

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

AR

 

k

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

k(R R ) kR

 

 

R

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11

 

12

12

 

 

 

 

22

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T

 

 

 

 

R21

R22

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T

 

 

 

T

 

 

T

 

 

 

 

 

 

T

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

BS BT

S

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тем самым, искомая корреляционная система примет вид

R11 2R11 S

 

 

 

 

 

 

 

R12

kR11 / T R12 (1 T ) / T

 

2(kR12 R22 ) / T

 

R22

 

 

 

 

В рассматриваемом случае корреляционную необходимо дополнить условием стационарности сигнала

dR11 / dt 0 .

Тогда

R11

Dx

 

 

(1 T )R12 / T k Dx

 

R12

/ T ,

 

 

 

R22 2R22 / T 2k R12 / T

 

систему x1 x(t) :

(2')

Интегрирование этой системы аналогично интегрированию системы (2). Интересующим нас элементом дисперсионной матрицы является R22 .

Все три метода – метод интегральных соотношений, метод спектральных плотностей и метод КСУ, обладающие разными границами применимости, приводят, естественно, в общей границе применимости - в определении установившегося значения дисперсии выхода, к одному и тому же результату

D k 2 Dx .

y уст 1 T

Семинар 4

Анализ точности нелинейных стохастических систем

Рассмотрим задачу:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

φ(ε)

 

 

kv

 

 

найти дисперсию выходного сигнала x

 

ε

 

u

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

нелинейной системы, представлен-

 

 

 

 

 

 

-1

 

 

 

s

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ной на рисунке, в установившемся

-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

режиме при входном воздействия

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x(t), заданном своей корреляционной

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ционной функцией K x Dx e

 

 

 

, 0 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение.

Из вида корреляционной функции следует, что x(t) – стационарный случайный процесс с нулевым математическим ожиданием mx 0.

Применению имеющихся в нашем распоряжении методов оценки точности препятствует наличие в системе нелинейного звена. Поэтому сначала выполним процедуру линеаризации заданного релейного звена.

На лекции было получено, что при выборе линеаризованной модели нелинейного звена в виде

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u 0 k1 k0 m k1

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

коэффициенты

статистической линеаризации

0 , k1 и k0 для

рассматриваемой не-

линейности зависят от матожидания m и дисперсии

D входного сигнала нелинейного

звена и имеют вид:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m

 

 

a

1

 

 

 

a

 

t2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e

 

 

 

 

 

 

 

0 (m , D ) k0 (m , D ) m

2

 

 

,

где

 

 

 

 

 

 

 

 

2 dt ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

m 1/ 2

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

1 m2

 

 

k (1)

(m , D )

 

 

 

 

1

4 2

 

 

 

, k (2)

(m , D )

 

 

 

 

 

 

 

exp

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

D

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

2 D

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 D

 

Учитывая, что произвольный сигнал представим в виде суммы

детерминированной и случайной составляющей

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x m

x

 

x0

, m 0 , u m u

0 , y m

y

 

y0 ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а также разделяя каналы прохождения детерминированной и случайной составляю-щих рассматриваемых сигналов, представим исходную САУ в виде

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

mx

(-) m

k0

 

mu

Wл(s

 

my

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x(t)

 

 

 

 

 

 

 

y(t)

 

 

(-)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k1

 

 

Wл(s

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x0

0

 

 

u 0

 

 

y0

 

 

 

 

 

Тем самым, передаточная функция разомкнутой линеаризованной системы равна W0 (s) = k0 Wл (s) для детерминированной составляющей сигнала (t) и W1 (s) = k1 Wл (s) - для

случайной. Здесь Wл (s) kv / s.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Учитывая, что уравнения движения линеаризованной системы имеют вид

(p=d

/dt)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x y,

 

 

k m k ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

py k u k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v

 

 

 

 

v

0

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

имеем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m m m

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

W0 (s)

 

 

 

 

 

 

 

 

mx

 

 

 

 

x

 

 

 

my

 

 

mx

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

pmy

 

 

 

1 W0 (s)

 

p / k0 kv

 

 

k0 kv m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Поскольку mx 0 ,

получаем что и m

0 и, тем самым,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k (1)

 

 

1

 

 

,

 

 

k (2)

 

 

2

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

D

 

 

1

 

 

2 D

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.В качестве единого статистического коэффициента усиления k1 примем величину

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k(1)

k(2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

(1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

2

 

 

 

2

 

2 D

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Поскольку искомое значение дисперсии выходного сигнала нас интересует в установившемся режиме, то согласно методу спектральных плотностей

D

1

S ( )d

 

 

 

y

2

y

 

 

 

 

 

 

 

 

Здесь учтено, что

Ф(s) W1 (s) /(1 W1 (s)),

Sx ( ) Kx ( )e i d

 

(i )

2

 

1

 

k k

 

 

2

1

d . (2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Sx ( )d 2 Dx 2

 

i k k

 

 

 

2 2

 

 

 

 

 

 

 

v 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

Dxe

 

 

 

e i d Dx e i d e i d

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

1

 

1

 

 

2 D

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Dx

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Однако, выражение (2) не является окончательным результатом, ибо значение (1)

коэффициента

k1 зависит от неизвестной пока величины дисперсии входа нелинейного

звена D .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Величину D найдем следующим образом. Имеем

 

 

 

 

 

 

 

D

1

 

 

 

Ф (i )

 

2 S ( )d ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Поскольку

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ф (s) 1/(1 W1 (s)),

 

 

 

то

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

i

 

 

 

2

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D 2 Dx

 

 

 

 

 

 

 

 

d .

 

 

 

 

2

i k k

 

 

 

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v 1

 

 

 

 

 

 

Для вычисления интеграла приведѐм подынтегральное выражение к типовому

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности