все

(5)

Далее найдем флуктуацию энергии. Имеем в переменных V,T (используя (2)):

.

Возводя в квадрат и усредняя, используем найденные выше для флуктуаций объема и температуры выражения (4)

(6)

Далее, найдем флуктуацию Имеем в переменных V,T

На основе (4) получим

(7)

Далее, найдем флуктуацию На основе (4) имеем

(8)

Найдем теперь флуктуацию Имеем в переменных V,T

.

На основе (4) имеем

(9)

Наконец, найдем флуктуацию Имеем в переменных V,T

Следовательно,

Подставляя (4) и учитывая (2), находим

(10)

Задача 9. Считая гелий-4 идеальным бозе-газом, вычислить его химический потенциал при нормальных условиях. Оценить температуру, при которой становятся существенные эффекты для жидкого гелия (концентрация атомов равна ).

Решение. Свободная энергия одноатомного идеального газа неоднократно вычислялась ранее

Химический потенциал определяется как

.

В данном случае Т = 273 К, N/V = (число Лошмидта), , . Подставляя эти значения, получим значение химического потенциала .

Квантовые эффекты существенны при температуре порядка температуры вырождения

Подставляя значение концентрации , получим Температура кипения жидкого гелия в нормальных условиях составляет 4.22 K, так что существует диапазон температур, при котором гелий является квантовым объектом.

Задача 10. Построить изотермы идеальных ферми- и бозе-газов. Рассмотреть предельный переход к классическому газу при высоких температурах и случай низких температур.

Решение. Начнем с идеального электронного ферми-газа. Его давление дается соотношением

(1)

Здесь - химический потенциал. Концентрация частиц определяется формулой

(2)

Введем параметрическую переменную , а также обезразмеренные давление и концентрацию

(3)

Таким образом, зависимость p от n носит универсальный характер. Решение системы (3), содержащей неявный параметр x, показано на рис. 1.

p

n

Рис. 1

Классический предел соответствует большим отрицательным значениям химического потенциала (на кривой – это область вблизи начала координат). Например, при зависимость представляет собой простую биссектрису (рис. 2).

p

n

Рис. 2.

Это – область высоких температур. Она соответствует согласно (3) уравнению Клапейрона .

Напротив, большие положительные значения параметра соответствуют малым температурам (квантовая область). В этой области подынтегральные функции в обоих выражениях (3) близки к ступенчатым функциям Хевисайда. Поэтому первый интеграл приближенно пропорционален , в то время как второй интеграл пропорционален . С хорошей точностью эта параметрическая переменная устраняется, если первое соотношение поделить на второе, возведенное в степень 5/3. На рис. 3 полученное отношение вычислено как функция x в интервале 20 < x < 40. Видно, что зависимость этого отношения от x практически отсутствует.

Рис. 3

Из рис. 3 следует, что при очень низких температурах . Тогда уравнение состояния сильно вырожденного (при Т = 0) ферми-газа принимает вид

.

Точное значение численного множителя в этом соотношении равно Оно получается, если в (3) заменить подынтегральную функцию на ступенчатую функцию Хевисайда, после чего интегралы вычисляются элементарно.

Теперь обратимся к бозе-газу частиц с нулевыми спинами. Вместо (3) имеем

(4)

В отличие от ферми-газа, химический потенциал в бозе-газе принимает только отрицательные значения: в противном случае система (4) не имеет решения. Зависимость давления от концентрации частиц в соответствии с (4) представлена на рис. 4.

p

n

Рис. 4.

Как и в случае ферми-газа, классический предел соответствует большим отрицательным значениям химического потенциала (на кривой рис. 4 – это область вблизи начала координат). Например, при зависимость представляет собой простую биссектрису (рис. 5).

p

n

Рис. 5.

Это – область высоких температур. Она соответствует согласно (3) уравнению Клапейрона . При этом уравнение состояния бозе- и ферми-газа становятся одинаковыми.

Напротив, в окрестности малых значений химического потенциала уравнение состояния имеет вид, показанный на рис. 6.

p

n

Рис. 6

Температура, при которой химический потенциал обращается в нуль (температура вырождения), определяется из второго из соотношений (4):

(5)

При химический потенциал остается равным нулю. Часть частиц переходит в бозе-конденсат с нулевой энергией. Согласно первому из соотношений (4) давление равно

(6)

Давление не зависит от объема, так как частицы, находящиеся в состоянии с нулевой энергией (в бозе-конденсате), не имеют импульса и не вносят вклад в давление. Число частиц с ненулевой энергией определяется из второго из соотношений (4). С учетом (5) находим

(7)

Задача 11. Вычислить теплоемкость трехмерного и двумерного идеального ферми-газа при низкой температуре.

Решение. Рассмотрим сначала трехмерный случай. Энергия ферми-газа (частиц со спином ½) определяется соотношением

(1)

Здесь мы записали число состояний в виде

(2)

Функция распределения Ферми имеет вид

,

где - химический потенциал.

Число частиц определяется соотношением

(3)

При нулевой температуре отсюда имеем

Согласно (2) тогда получим для плотности состояний

. (4)

Получим общее выражение для интегралов такого типа при низких температурах. Замена приводит к выражению

Далее преобразуем последний из интегралов в правой части этого выражения

Здесь мы заменили верхний предел во втором интеграле на бесконечность, так как возникающая поправка экспоненциально мала, а мы будем учитывать только степенные поправки по температуре. Итак,

.

Разлагая в ряд Тейлора числитель в интеграле, находим

Так как (интеграл вычисляется с помощью теории вычетов)

,

То окончательно получим общую формулу, справедливую при низких температурах (малых по сравнению с энергией Ферми)

(5)

На основе этой формулы вычисляем энергию, определяемую соотношением (1):

(6)

Аналогично для числа частиц получим

.

Отсюда находим поправку к химическому потенциалу при низких температурах

. (7)

Подставляя (7) в (6), находим поправку к энергии

.

Для теплоемкости получим

. (8)

Здесь энергия Ферми равна

. (9)

Теперь обратимся к двумерному ферми-газу. Число состояний этом случае записывается как

Здесь - площадь системы. При нулевой температуре имеем

При малой температуре, но отличной от нуля, число частиц выражается соотношением

Согласно (5) Поэтому химический потенциал не содержит поправок, квадратичных по температуре, т.е. Энергия системы согласно (5) равна

Таким образом, энтропия равна

(10)

Задача 12. Найти спиновую магнитную восприимчивость электронного газа (парамагнетизм Паули свободных электронов в металле) в слабом магнитном поле. Рассмотреть случаи низких и высоких температур.

Решение. Рассмотрим сначала случай низких температур. В магнитном поле с напряженностью Н энергия электрона приобретает вид - магнетон Бора. Намагниченность (магнитный момент единицы объема среды) имеет вид

. (1)

Здесь

(2)

- плотность состояний (см. задачу 11). По сравнению с задачей 11 она уменьшена в два раза, чтобы учесть различие в состояниях, когда спин электрона направлена вдоль магнитного поля и против него. Величина представляет собой концентрацию частиц, а

(3)

- химический потенциал при нулевой температуре (энергия Ферми). В задаче 11 было найдено, что при малых температурах химический потенциал имеет вид

(4)

Для упрощения выражения (1) при низких температурах используем соотношение (4) из задачи 11:

(5)

В данном случае Получаем:

(6)

Учитывая (4) в первом слагаемом этого выражения, находим парамагнитную восприимчивость

(7)

Теперь обратимся к случаю промежуточных температур. Выражение (1) можно записать в виде

(8)

Ошибка от такой замены по сравнению с точным выражением (1) квадратична по магнитному полю. В слабом магнитном поле отсюда получаем

(9)

Здесь плотность состояний определяется соотношением (2). Следовательно, можно написать общее выражение для парамагнитной восприимчивости

(10)

Здесь введено обозначение для парамагнитной восприимчивости при нулевой температуре, которое было получено выше (см. выражение (7)):

(11)

Число частиц в единице объема записывается как

(12)

Отсюда получим

. (13)

Из (10) и (13) получим

(14)

Уравнения (13) и (14) связаны друг с другом неявной переменной x. На рис. 1 представлена универсальная зависимость безразмерной величины от безразмерной температуры

Рис. 1

Из рис. 1 следует, что магнитная восприимчивость монотонно убывает с увеличением температуры, начиная со значения, равного величине (11) при нулевой температуре.

Далее обсудим поведение магнитной восприимчивости в классическом пределе В этом случае распределение Ферми можно заменить на распределение Больцмана. Намагниченность приобретает вид

Следовательно, классическая парамагнитная восприимчивость равна

(15)

Проверим, что при высоких температурах кривая рис. 1 представляет собой гиперболу. Из (13) и (14) следует, что

(16)

На рис. 2 представлена зависимость безразмерной величины (16) от безразмерной температуры (13) при (классический предел).

Рис. 2

Видно, что кривая близка к значению 1 в соответствии с классической формулой (15).

Задача 13. Найти диамагнитную восприимчивость идеального газа свободных электронов в магнитном поле. Рассмотреть случаи низких и высоких температур.

Решение. Сначала обратимся к случаю классической статистики высоких температур - энергия Ферми. В слабом магнитном поле Н, направленном вдоль оси z, квантовомеханическая энергия электрона равна (без учета спина)

(1)

Здесь - магнетон Бора. Вычислим вырождение каждого из этих дискретных уровней в кубическом ящике с длиной L:

Следовательно, число состояний равно

(2)

(дополнительный фактор 2 появляется из-за двух проекций спина электрона).

Вычисляем классическую статистическую одноэлектронную сумму для одного электрона (бесконечная геометрическая прогрессия)

(3)

Получим

(4)

Для N электронов статистическая сумма равна (используя формулу Стирлинга для N!)

(5)

Свободная энергия определяется как Получаем

Намагниченность (магнитный момент единицы объема) равна

(6)

Здесь - концентрация электронов. Магнитная проницаемость равна

(7)

Если , то из (7) получим

. (8)

Она отрицательна (диамагнетизм) и в 3 раза меньше, чем парамагнитная восприимчивость, обусловленная спином электрона (см. задачу 10, формула (15)). Если, наоборот, , то из (7) получим, что восприимчивость очень мала:

На рис. 1 представлена зависимость безразмерной величины от безразмерной величины

Рис. 1

Теперь обратимся к случаю низких температур В этом случае рассмотрим только случай слабых магнитных полей Квантовая статистическая сумма теперь определяется статистикой Ферми, т.е. свободная энергия

после подстановки числа состояний (2) принимает вид

. (9)

Вычисляем сумму в (9) с помощью формулы Эйлера-Маклорена

Здесь обозначено

Следовательно, Таким образом, из (9) получим

Вклад в магнитную восприимчивость дает только последнее слагаемое в (10), квадратичное по магнитному полю, так как Получаем:

.

При низкой температуре функция распределения Ферми представляет собой ступенчатую функцию Хевисайда, так что

Так как энергия Ферми при нулевой температуре , то окончательно получаем

(10)

Мы видим, что как и в случае высоких температур, в случае низких температур диамагнитная восприимчивость в три раза меньше парамагнитной восприимчивости, найденной в задаче 12 (формула (7)).

Задача 14. Гамильтониан ферромагнетика в модели Изинга в магнитном поле h имеет вид

.

Здесь - спины электронов, индексы i,k нумеруют узлы кристаллической решетки ферромагнетика, - магнетон Бора. Обменное взаимодействие –V обеспечивает параллельные спины при низких температурах (спонтанную намагниченность). В приближении самосогласованного поля определить температуру фазового перехода (температуру Кюри), магнитную восприимчивость выше температуры Кюри и спонтанную намагниченность ниже температуры Кюри.

Решение. Выделим один спин и в соответствии с данной формой гамильтониана введем самосогласованное поле, действующее на этот спин со стороны других спинов, заменяя другие спины средним значением спина :

.

Здесь z – число ближайших соседей к данному спину, которые и учитываются во взаимодействии. Среднее значение намагниченности (магнитный момент единицы объема) определяется как

.

Здесь n – концентрация свободных электронов. Следовательно, самосогласованное поле можно записать в виде

.

С другой стороны, среднее значение величины намагниченности определим с помощью усреднения по распределению Гиббса

(1)

Здесь .

Если (слабое магнитное поле), то из этого соотношения следует, что

Отсюда находим парамагнитную восприимчивость

(2)

При отсюда получим , что совпадает с классическим выражением для парамагнитной восприимчивости, найденной в задаче 12 (уравнение (15)), как и должно быть. Восприимчивость определена при температуре выше критической температуры (температуры Кюри)

(3)

В этой точке восприимчивость обращается в бесконечность.

Ниже точки Кюри возникает спонтанная намагниченность. Ее величина находится из (1), если положить h = 0. Получаем неявное уравнение

(4)

При Т = 0 отсюда получим . Найдем решение (4) при температурах вблизи температуры Кюри, где намагниченность мала. Разлагая правую часть (4) в ряд Тейлора, получим

Отсюда

(5)

На рис. 1 представлена зависимость безразмерной величины от согласно неявному уравнению (4) (для положительной намагниченности). Она согласуется с оценками, приведенными выше.

Рис. 1

В заключение рассмотрим случай сильного магнитного поля. Обозначим , и Уравнение (1) для намагниченности перепишем в виде

(6)

Дифференцируя его по x, получим уравнение для обезразмеренной магнитной восприимчивости :

.

Подставляя (6) в это соотношение, находим

Восприимчивость обращается в бесконечность при откуда . Подставляя это соотношение в (6), получим неявное уравнение

(7)

Оно определяет критическую точку Кюри t через напряженность магнитного поля x. Если x = 0, то t = 1 (случай слабого поля, рассмотренного выше). На рис. 2 представлена зависимость обезразмеренного магнитного поля от обезразмеренной критической температуры согласно уравнению (7)

Рис. 2

Из этого рисунка следует, что при критическом поле критическая температура обращается в нуль, т.е. спонтанная намагниченность исчезает.

Обсудим теперь намагниченность при в присутствии магнитного поля. Из (6) следует, что

. (8)

На рис. 3 показан график этой зависимости при типичном значении .

x

Рис. 3

Из этого рисунка следует, что при небольших магнитных полях каждого знака (в данном случае ) имеется два значения намагниченности. Большее (по модулю) из этих двух значений (как при положительных, так и при отрицательных значениях магнитного поля) соответствует метастабильному состоянию: оно переходит в стабильное состояние при дальнейшем увеличении магнитного поля. Меньшее значение соответствует абсолютно неустойчивому состоянию.