8. Линейные операторы на евклидовых линейных пространствах

455. Почему матрица ортогонального оператора в ортонормированном базисе евклидова линейного пространства ортогональная?

456. Может ли матрица ортогонального оператора на конечномерном евклидовом линейном пространстве , быть не ортогональной в каком-либо его базисе?

457. Может ли ортогональный эндоморфизм линейного пространства быть вырожденным?

458. Является ли ортогональный эндоморфизм линейного пространства его автоморфизмом

459. Если – ортогональные автоморфизмы линейного евклидова пространства, т.е. O, то ортогонален ли автоморфизм?

460. **Образует ли множество всех ортогональных эндоморфизмов Oевклидова линейного пространствагруппу относительно операции их композиции?

461. Линейное пространство рассматривается со стандартным скалярным произведением. Ортогонален ли автоморфизмом(поворот векторной плоскостина угол)?

462. Линейное пространство рассматривается со стандартным скалярным произведением. Ортогонален ли эндоморфизмом(центральная симметрия векторной плоскости)?

463. Линейное пространство рассматривается со стандартным скалярным произведением. Ортогонален ли автоморфизмом(ортогональное отражение векторной плоскостиотносительно векторной прямой (одномерного подпространства))?

464. Линейное пространство рассматривается со стандартным скалярным произведением. Являются ли ортогональным эндоморфизмом– ортогональное проектирование векторной плоскостина векторную прямую?

465. Является ли ортогональное проектирование евклидова линейного пространства на его любое нетривиальное подпространство ортогональным линейным оператором?

466. **– ортогональный оператор конечномерного евклидова линейного пространства, т.е. O и все элементы его матрицы в ортонормированном базисе этого пространства равны по модулю. Можно ли указать значение этой абсолютной величины?

467. –ортогональный оператор конечномерного евклидова линейного пространства , т.е.O. Является ли его матрица относительно любого базиса этого пространства ортогональной?

468. –ортогональный оператор конечномерного евклидова линейного пространства , т.е.O. Является ли он автоморфизмом (обратимым эндоморфизмом) этого линейного пространства ?

469. Может ли число быть собственным значением ортогонального линейного оператораO евклидова линейного пространства ?

470. Может ли число быть собственным значением ортогонального линейного оператораO евклидова линейного пространства ?

471. *Пусть – евклидово линейное пространство, аO – ортогональный оператор этого пространства имеет инвариантное подпространство . Верно ли, что– ортогональное дополнениетакже инвариантно относительно?

472. *Пусть –конечномерное евклидово линейное пространство, а O – ортогональный оператор этого пространства имеет инвариантное подпространство . Верно ли, что– ортогональное дополнениетакже инвариантно относительно?

473. Векторная плоскость рассматривается со стандартным скалярным произведением,O (– центральная симметрия). Найдите эндоморфизм, сопряженный.

474. Векторная плоскость рассматривается со стандартным скалярным произведением, O (– ортогональное отражениеотносительно векторной прямой (одномерного подпространства)). Найдите эндоморфизм, сопряженный.

475. Векторная плоскость рассматривается со стандартным скалярным произведением,O (– ортогональное проектированиена векторную прямую). Найдите эндоморфизм, сопряженный.

476. *Векторная плоскость рассматривается со стандартным скалярным произведением,O (– поворотна угол). Найдите эндоморфизм, сопряженный.

477. Векторная плоскость рассматривается со стандартным скалярным произведением,(– гомотетияс коэффициентом). Найдите эндоморфизм, сопряженный.

478. *Пусть – евклидово линейное пространство, а. Его подпространствоинвариантно относительно. Верно ли, что– ортогональное дополнениеинвариантно относительно сопряженногоэндоморфизма?

479. *Пусть –конечномерное евклидово линейное пространство, а . Его подпространствоинвариантно относительно. Верно ли, что– ортогональное дополнениеинвариантно относительно сопряженногоэндоморфизма?

480. *Пусть – евклидово линейное пространство, а для отображениясуществует отображениетакое, чтодля любых векторов. Докажите, что.

481. Пусть – евклидово линейное пространство,и является самосопряженным оператором с простым спектром. Сколько различных (не гомотетичных) базисов можно составить его собственных векторов?

482. Пусть – евклидово линейное пространство,, а– его сопряженный оператор. Найдите и сравните их характеристические многочленыи, сравните собственные значенияи.

483. Можно ли по характеристическому уравнению линейного оператора найти собственные значения сопряженного ему линейного оператора?

484. Может ли быть вырожденным самосопряженный оператор на линейном пространстве?

485. Почему матрица самосопряженного оператора Sв ортонормированном базисе евклидова линейного пространства симметрическая?

486. Базис конечномерного линейного евклидова пространстване является ортонормированным относительно скалярного произведения.и имеетматрицей относительно. Укажите матрицусопряженногоэндоморфизма.

487. * Пусть – евклидово линейное пространство,– его подпространство.– ортогональное проектированиена подпространство. Укажите сопряженный линейный оператор.

488. Векторная плоскость рассматривается со стандартным скалярным произведением. Является ли центральная симметрияO пространства самосопряженным оператором на?

489. Векторная плоскость рассматривается со стандартным скалярным произведением. Является ли ортогональное отражение Oпространства относительно векторной прямойсамосопряженным оператором на?

490. Векторная плоскость рассматривается со стандартным скалярным произведением. Является ли ортогональное проектирование O пространства на векторную прямую самосопряженным оператором на ?

491. Векторная плоскость рассматривается со стандартным скалярным произведением. Является лиO,поворот на угол, самосопряженным оператором на?

492. Векторная плоскость рассматривается со стандартным скалярным произведением. Является ли, гомотетияс коэффициентом, самосопряженным оператором на?

493. *Пусть – евклидово линейное пространство,– его подпространство. Является лиортогональное проектированиена подпространствосамосопряженным линейным оператором?

494. Векторная плоскость рассматривается со стандартным скалярным произведением,(– гомотетияс коэффициентом). Является ли гомотетиясамосопряженным линейным оператором на?

495. *Пусть – евклидово линейное пространство,– его подпространство.ортогональное проектированиена подпространствосамосопряженным линейным оператором на пространстве?

496. **На линейном пространстве дифференцируемых и интегрируемых на отрезкефункций со скалярное произведение заданно формулой:. Найдите оператор, сопряженный дифференцированию функций относительно этого скалярного произведения.

497. **На линейном пространстве дифференцируемых и интегрируемых на отрезкефункций со скалярное произведение заданно формулой:. Найдите оператор, сопряженный интегрированию функций относительно этого скалярного произведения.

498. –матрица линейного оператора евклидова линейного пространствавортонормированном базисе. Как определить матрицу сопряженного ему линейного оператора в этом же базисе?

499. –матрица линейного оператора евклидова линейного пространствавпроизвольном базисе. Какова матрица сопряженного ему оператора?

500. Как изменится матрица ортогонального оператора O на евклидовом линейном пространстве , если от его ортонормированного базисаперейти к базису?

501. Как изменится матрица оператора O на евклидовом линейном пространстве , если от его ортонормированного базисаперейти к базисус матрицей перехода? Будет ли матрицаоператорав базисеортогональной, если этот базис не ортонормирован относительно?

502. Пусть O, где – двумерное евклидово линейное пространство, и матрицаоператораортогональна в базисе, ортонормированном относительно. Будет ли в базисеортогональной матрица?

503. Может ли , где– двумерное евклидово линейное пространство, быть одновременно и ортогональным и самосопряженным?

504. *Может ли самосопряженный оператор на линейном пространстве быть ортогональным? В случае положительного ответа приведите примеры.

505. *Среди ортогональных операторов O укажите все самосопряженные или докажите, что таких не существует.

506. *Может ли самосопряженный оператор на линейном пространстве быть вырожденным? В случае положительного ответа приведите примеры.

507. Всегда ли самосопряженный оператор линейного пространства является его автоморфизмом

508. Если – самосопряженные операторы линейного евклидова пространства, т.е. S. Верно ли, что оператортоже самосопряженный?

509. Докажите, что операция сопряжения линейного оператора в евклидовом линейном пространстве обладает свойством: .

510. **Образует ли множество всех самосопряженных операторов на евклидовом линейном пространстве Sгруппу относительно операции их композиции?

511. *Верно ли для любого O, что ?

512. *Верно ли, что для любого линейного оператора на евклидовом линейном пространствевыполняется?

513. *Верно ли, что для любого линейного оператора на евклидовом линейном пространствевыполняется?

514. Верно ли, что если S – самосопряженный оператор евклидова линейного пространства имеет инвариантное подпространство, то его ортогональное дополнениетакже инвариантно относительно?

515. *Верно ли для любого линейного оператора на евклидовом линейном пространствеутверждение?

516. *Верно ли для любого линейного оператора на евклидовом линейном пространствеутверждение?

517. *Верно ли для любого линейного оператора на евклидовом линейном пространствеутверждение?

518. *Верно ли для любого линейного оператора на евклидовом линейном пространствеутверждение?

519. *Верно ли для любого линейного оператора на евклидовом линейном пространстве, чтосамосопряженный линейный оператор?

520. *Верно ли для любого линейного оператора , где– евклидово линейное пространство, чтосамосопряженный линейный оператор?

521. *Верно ли для любого линейного оператора на евклидовом линейном пространстве, чтоортогональный линейный оператор?

522. *Верно ли для любого линейного оператора на евклидовом линейном пространстве, чтоортогональный линейный оператор?

523. **Верно ли для любого линейного оператора евклидова линейного пространстваутверждение: если уравнениеимеет решение, то всякое его решение удовлетворяет уравнению?

524. Пусть , а– конечномерное евклидово линейное пространство и в некотором базисе имеет матрицей симметрическую матрицу. Верно ли, чтоS–самосопряженный на пространстве ?

525. Как связаны между собой собственные значения линейных операторов и, если эти операторы действуют в унитарном линейном пространстве?

526. Верно ли, что оператор , где– евклидово линейное пространство, всегда имеет инвариантное гиперподпространство (подпространство размерности)?

527. *, где– унитарное линейное пространство. Верно ли, что этот оператор всегда имеет инвариантное гиперподпространство (подпространство размерности)?

528. **Верно ли, что для любого линейного оператора -мерного евклидова линейного пространстванайдется базис, в котором матрица этого оператора треугольная (верхняя треугольная)?

529. **Верно ли, что для любого линейного оператора -мерного унитарного линейного пространстванайдется базис, в котором матрица этого оператора треугольная (верхняя треугольная)?

530. Верно ли, что для любого самосопряженного линейного оператора вконечномерном евклидовом линейном пространстве имеет место равенство:?

531. *Верно ли, что для любого самосопряженного линейного оператора в евклидовом линейном пространствеимеет место равенство:?

532. *Пусть евклидово линейное пространство . Докажите, что проектирование этого пространства на подпространствопараллельно подпространствуявляется самосопряженным тогда и только тогда, когда эти подпространства ортогональные.

533. Может ли самосопряженное преобразование линейного евклидова пространства иметь неортогональный базис из его собственных векторов?

534. Может ли самосопряженное преобразование линейного евклидова пространства иметь неортогональный базис из его собственных векторов при условии, что все его собственные значения различные?

535. **Пусть S самосопряженные операторы евклидова линейного пространства с матрицамии, соответственно, относительно некоторого ортонормированного базиса,причем, матрица положительно определена. Докажите, что все корни характеристического уравнениявещественные.

536. **Пусть S самосопряженные операторы евклидова линейного пространства с матрицамии, соответственно, относительно некоторого ортонормированного базиса,причем, матрица положительно определена. Докажите, что в линейном пространствесуществует базис,в котором матрица оператора диагональная.

537. **Может ли матрица самосопряженного линейного оператора линейного евклидова пространства в некотором ортонормированном базисе иметь вид:?

538. **Может ли матрица самосопряженного линейного оператора линейного евклидова пространства в некотором ортонормированном базисе иметь вид:?

539. **Может ли матрица самосопряженного линейного оператора линейного евклидова пространства в некотором базисе иметь вид:?

540. **Пусть линейный оператор на линейном пространстветакой, что весть базис из собственных векторовс вещественными собственными значениями. Можно ли в этомзадать скалярное произведениетак, что относительно этого скалярного произведения операторбудет самосопряженным?

541. Докажите, что всякое линейный оператор на унитарном линейном пространствеможно представить в виде суммы:, гдеи– эрмитовы операторы на этом пространстве.

542. Может ли линейный оператор унитарного линейного пространства быть одновременно и унитарным, и эрмитовым?

543. Найдите полярное разложение линейного оператора на евклидовом линейном пространстве, если известно, что его матрица в некотором ортонормированном базисе имеет вид: .

544. Найдите полярное разложение линейного оператора на евклидовом линейном пространстве, если известно, что его матрица в некотором ортонормированном базисе имеет вид: .

545. Найдите полярное разложение линейного оператора на евклидовом линейном пространстве, если известно, что его матрица в некотором ортонормированном базисе имеет вид: .

546. Является ли разложение полярным разложением ()?