3. Линейные отображения линейных пространств
Является ли проектирование (например, ортогональное) линейного пространства всех свободных (геометрических) векторов V
на его одномерное подпространство
(свободных векторов, параллельных
некоторой прямой)V
линейным отображением? В случае
положительного ответа укажите его ядро
и образ.Докажите, что дифференцирование
,
где
– пространство многочленов степени
не выше
от переменной
.
Найдите ядро и образ
.Докажите, что интегрирование
,
где
– пространство многочленов степени
не выше
от переменной
,
а
.
Найдите ядро и образ
.Докажите, что если
,
то
.Может ли при гомоморфизме линейных пространств ненулевой вектор отображаться в нулевой?
Может ли при линейном отображении система линейно зависимых векторов отображаться в линейно независимую систему векторов?
Может ли при линейном отображении система линейно независимых векторов отображаться в линейно зависимую систему векторов?
Известно, что некоторая система
векторов линейного пространства
линейно независима и при линейном
отображении
отображается в линейно независимую
систему векторов. Следует ли из этого
свойства, что
–
изоморфизм соответствующих линейных
пространств?*Докажите, что если линейное пространство
изоморфно линейному пространству
,
то линейное пространство
изоморфно линейному пространству
.*Докажите, что если линейное пространство
изоморфно линейному пространству
,
а линейное пространство
изоморфно линейному пространству
,
то линейное пространство
изоморфно линейному пространству
.*
,
верно ли, что
,
если
и
–
подпространства линейного пространства
?
,
верно ли, что
,
если
и
–
подпространства линейного пространства
?
,
верно ли, что
,
если
и
–
подпространства линейного пространства
?*
,
верно ли, что
,
если
и
–
подпространства линейного пространства
?
,
верно ли, что
,
если
и
–
подпространства линейного пространства
?
,
верно ли, что
,
если
и
–
подпространства линейного пространства
?Для
ортогонального
проектирования линейного пространства
всех свободных (геометрических) векторовV
на его одномерное подпространствоV
(свободных векторов, параллельных
некоторой прямой) укажите ядро и образ.Для
симметрии (отражения) линейного
пространства всех свободных
(геометрических) векторов относительно
его одномерного подпространстваV
(свободных векторов, параллельных
некоторой прямой) укажите ядро и образ.Докажите, что для любого
множество
является подпространством линейного
пространства
.Докажите, что для любого
множество
является подпространством линейного
пространства
.Докажите, что отображение
,
инъективно тогда и только тогда, когда
..
и имеет нулевое ядро. Означает ли это,
что сюръективность
?Докажите, что отображение
есть изоморфизм линейных пространства
тогда и только тогда, когда
,
а
.*Как связаны ранг и дефект линейного отображения и свойство сюръективности этого отображения?
*Как связаны ранг и дефект линейного отображения и свойство инъективности этого отображения?
,
сравните размерности:
с размерностями пространств
и
.
,
сравните размерности:
с размерностями пространств
и
.*
и является изоморфизмом этих линейных
пространств, укажите
и
.*Определите условия, когда
имеет обратное отображение.*Докажите, что для
существует обратное отображение, причем
*Докажите, что свойство линейных пространств «быть изоморфными» есть отношение эквивалентности на множестве всех линейных пространств.
Известно, что ранг матрицы
линейного отображения
равен 3. Можно ли определить размерность
ядра этого отображения?
и имеет нулевое
ядро. Следует ли из этого, что отображение
является изоморфизмом этих пространств?
и имеет нулевое
ядро. Является ли отображение
сюръективным?
и
.
Является ли отображение
инъективным?
и
.
Означает ли это инъективность отображения
?
и
.
Следует ли из этого, что отображение
является изоморфизмом этих пространств?Может ли матрица
быть матрицей изоморфизма каких-либо
линейных пространств?Может ли матрица
быть матрицей изоморфизма каких-либо
линейных пространств?Может ли матрица
быть матрицей изоморфизма каких-либо
линейных пространств?Докажите, что если
ненулевое отображение, то существуют
базисы
и
,
относительно которых матрица
имеет вид
,
где
–
единичная матрица порядка не выше
.
,
как изменится матрица гомоморфизма
относительно базисов
и
в линейных пространствах
и, соответственно,
,
если в базисе
поменять местами первый и второй
векторы?
,
как изменится матрица гомоморфизма
относительно базисов
и
в линейных пространствах
и, соответственно,
,
если в базисе
изменить порядок векторов на
противоположный?
,
как изменится матрица гомоморфизма
относительно базисов
и
в линейных пространствах
и, соответственно,
,
если в базисе
поменять местами первый и второй
векторы?*
,
как изменится матрица гомоморфизма
относительно базисов
и
в линейных пространствах
и, соответственно,
,
если в каждом из базисов поменять
местами первые и вторые векторы?*
,
как изменится матрица гомоморфизма
относительно базисов
и
в линейных пространствах
и, соответственно,
,
если в базисе
изменить порядок его векторов на
противоположный?*
,
как изменится матрица гомоморфизма
относительно базисов
и
в линейных пространствах
и, соответственно,
,
если в каждом из базисов
и
изменить порядок его векторов на
противоположный?
,
как изменится матрица гомоморфизма
относительно базисов
и
в линейных пространствах
и, соответственно,
,
если в базисе
первый вектор умножить на 2?
,
как изменится матрица гомоморфизма
относительно базисов
и
в линейных пространствах
и, соответственно,
,
если в базисе
первый вектор умножить на 2?
,
как изменится матрица гомоморфизма
относительно базисов
и
в линейных пространствах
и, соответственно,
,
если в каждом из базисов первые векторы
умножить на 2?*
,
как изменится матрица гомоморфизма
относительно базисов
и
в линейных пространствах
и, соответственно,
,
если все векторы базисов
и
умножить на 2?*
,
как изменится матрица гомоморфизма
относительно базисов
и
в линейных пространствах
и, соответственно,
,
если все векторы базиса
умножить на 2, а все векторы базиса
поделить на 2?*
,
как изменится матрица гомоморфизма
относительно базисов
и
в линейных пространствах
и, соответственно,
,
если все векторы базиса
умножить на 2, а все векторы базиса
умножить на 4?
,
как изменится матрица гомоморфизма
относительно базисов
и
в линейных пространствах
и, соответственно,
,
если в базисе
к первому базисному вектору прибавить
второй базисный вектор?
,
как изменится матрица гомоморфизма
относительно базисов
и
в линейных пространствах
и, соответственно,
,
если в базисе
к первому базисному вектору прибавить
второй базисный вектор?*
,
как изменится матрица гомоморфизма
относительно базисов
и
в линейных пространствах
и, соответственно,
,
если в каждом из базисов
и
к первому базисному вектору прибавить
второй базисный вектор этого базиса?Докажите, что
⊞
,
если отображения
,
а
⊞
–
их сумма, т.е.
⊞
для любого
.Докажите, что если отображение
,
то
⊡
при любом
,
где
⊡
для любого
.*Докажите, что
является линейным пространством
относительно естественных операций
сложения и гомоморфизмов и умножения
их на число (см. задачи 218 и 217).