4.2.Равновесие по Нэшу в игре в развернутой форме

Если мы определим равновесие в Г^е, то есть в игре в развернутой форме, как равновесие в ее нормальном представлении, тогда игры, как в примере 1, будут иметь огромное число равновесий, которые все будут эквивалентны по поведению.

(В примере 4.1.1 при ,,,являются равновесными стратегиями в нормальном представлении.

- набор стратегий поведения, который им всем соответствует).

Для того, чтобы избежать этого, можно было бы рассмотреть равновесие в Г^екак равновесие в ее многоагентном представлении, но такое определение могло бы породить проблему бессмысленности равновесия, так как игрок бы не может согласовать свои действия в различных состояниях.

Например, является равновесием в многоагетном представлении этой игры. Если 2-й игрок выбирает, то 1-й игрок в 1.1. не захочет отклоняться, выбраввместо, так как при отклонении он получит 0, а не отклоняясь – 2. Если ожидается, что 1-й агент 1-го игрока будет выбирать, то последний агент 1-го игрока представляет себе, что планы на игру никогда не исполнятся, поэтому выбирать также хорошо, как планировать выбирать:

	3,2	2,3
	0,5	4,1
	2,3	3,2
	2,3	3,2

	3,3,2	0,0,5	2,2,3	4,4,1
	2,2,3	2,2,3	3,3,2	3,3,2

Многоагентное

представление.

Нормальное представление

В то же время, если 1-й игрок знает, что 2-й игрок выберет _, тогда наилучший ответ 1-1-го игрока –в первом информационном состоянии ив последнем информационном состоянии, а не,. Бессмысленные равновесия возникают потому, что возможность согласованных изменений, которые бы включали более, чем одно информационное состояние не рассматриваются в определении многоагентного представления игры Г^е. Чтобы избежать этих трудностей, равновесие по Нэшу определяется следующим образом.

Равновесие по Нэшув игре в развернутой форме или, другими словами, равновесие в стратегиях поведения, определяется как любое равновесиев многоагентном представлении такое, что смешанное представлениеявляется также равновесием в нормальном представлении.

То есть равновесиев Г^еопределяется как набор стратегий поведения, который

1. является равновесием в многоагентном представлении,

2. его представление в смешанных стратегиях является равновесием по Нэшу в нормальном представлении игры Г^е.

Таким образом, единственным равновесием в стратегиях поведения в игре примера 2.20.1 является .

Пусть Г^е– игра с совершенной памятью и Г – ее нормальное представление в стратегической форме. По теореме 2.3, если– равновесие по Нэшу в Г и- другой набор смешанных стратегий, эквивалентный по поведению набору, тогдатакже является равновесием по Нэшу в Г (т.к. переключение любой стратегии игрока в равновесии на стратегию эквивалентную по выигрышу не нарушает равновесия). Так что для любого набора стратегий поведения, смешанное представлениеявляется равновесием в Г тогда и только тогда, когда каждый набор смешанных стратегий, у которого то же самое представление по поведению, является равновесием в Г.

Следующая теорема показывает, что для того, чтобы найти равновесие в , достаточно найти равновесие нормального представления, т.к. любое равновесие в нормальном представлении соответствует равновесию в многоагентном представлении.

Теорема 4.2.1Если Г^е– игра в развернутой форме с совершенной памятью и– равновесие в нормальном представлении Г^е, тогда любое представлениев стратегиях поведения является равновесием в многоагентном представлении Г^е.

Эта теорема вместе с теоремой существования равновесия в смешанных стратегиях в игре в стратегической форме приводит к следующей теореме.

Теоремай 4.2.2.В любой игре Г^е в развернутой форме с совершенной памятью существует равновесие по Нэшу в стратегиях поведения.