
- •Пособие по теории игр
- •Часть 1
- •Введение
- •1.Теория принятия решений
- •1.1Лотерея
- •1.2.Аксиомы
- •1.3.Теорема о максимизации ожидаемой полезности
- •1.4.Эквивалентные представления
- •1.5.Системы условных вероятностей Байеса
- •1.6.Доминирование
- •2.Основные модели теории игр
- •Развернутая и стратегическая формы игр
- •2.2.Эквивалентность игр в стратегической форме
- •2.3.Сокращенная нормальная форма стратегической игры
- •2.4.Исключение доминируемых стратегий
- •2.5.Многоагентное представление
- •2.6.Общеизвестная информация
- •2.7.Байесовская форма игры
- •2.8.Совместимость мнений
- •2.9.Эквивалентность игр в Байесовской форме
- •2.10.Тип-агентное представление
- •3.Равновесие в играх в стратегической форме
- •3.1. Равновесие по Нэшу
- •3.2.Вычисление равновесий по Нэшу
- •3.3.Эффект фокусировки
- •3.4.Эволюционный подход
- •3.5.Игры двух лиц с нулевой суммой
- •3.6.Равновесие Байеса
- •3.7.Замена смешанных стратегий чистыми
- •3.8.Аукцион
- •3.9.Игры, в которых множество выборов бесконечно
- •4.Последовательные равновесия в играх в развернутой форме
- •4.1.Смешанные стратегии и стратегии поведения
- •4.2.Равновесие по Нэшу в игре в развернутой форме
- •4.3.Последовательная рациональность в информационных состояниях, вероятность которых произойти положительная
- •4.4.Совместимость мнений и последовательная рациональность во всех информационных состояниях
- •4.5.Вычисление последовательных равновесий
- •Как найти последовательное равновесие.
- •4.6.Совершенные равновесия в подыграх
- •4.7.Игра с совершенной информацией
- •4.8.Добавление ходов случая, которым приписана небольшая вероятность
- •4.9.Прямая индукция
- •Приложение 1. Исследование операций
- •Литература
- •Оглавление
4.2.Равновесие по Нэшу в игре в развернутой форме
Если мы определим равновесие в Ге, то есть в игре в развернутой форме, как равновесие в ее нормальном представлении, тогда игры, как в примере 1, будут иметь огромное число равновесий, которые все будут эквивалентны по поведению.
(В примере 4.1.1 при
,
,
,
являются равновесными стратегиями в
нормальном представлении.
- набор стратегий поведения, который им
всем соответствует).
Для того, чтобы избежать этого, можно было бы рассмотреть равновесие в Гекак равновесие в ее многоагентном представлении, но такое определение могло бы породить проблему бессмысленности равновесия, так как игрок бы не может согласовать свои действия в различных состояниях.
Например,
является равновесием в многоагетном
представлении этой игры. Если 2-й игрок
выбирает
,
то 1-й игрок в 1.1. не захочет отклоняться,
выбрав
вместо
,
так как при отклонении он получит 0, а
не отклоняясь – 2. Если ожидается, что
1-й агент 1-го игрока будет выбирать
,
то последний агент 1-го игрока представляет
себе, что планы на игру никогда не
исполнятся, поэтому выбирать
также хорошо, как планировать выбирать
:
|
|
|
|
3,2 |
2,3 |
|
0,5 |
4,1 |
|
2,3 |
3,2 |
|
2,3 |
3,2 |
|
|
| ||
|
|
|
|
|
|
3,3,2 |
0,0,5 |
2,2,3 |
4,4,1 |
|
2,2,3 |
2,2,3 |
3,3,2 |
3,3,2 |
Многоагентное
представление.
Нормальное представление
В то же время, если 1-й игрок знает, что
2-й игрок выберет
, тогда наилучший ответ 1-1-го игрока
–
в первом информационном состоянии и
в последнем информационном состоянии,
а не
,
.
Бессмысленные равновесия возникают
потому, что возможность согласованных
изменений, которые бы включали более,
чем одно информационное состояние не
рассматриваются в определении
многоагентного представления игры Ге.
Чтобы избежать этих трудностей, равновесие
по Нэшу определяется следующим образом.
Равновесие по Нэшув игре в развернутой
форме или, другими словами, равновесие
в стратегиях поведения, определяется
как любое равновесиев многоагентном представлении такое,
что смешанное представление
является также равновесием в нормальном
представлении.
То есть равновесиев Геопределяется как набор стратегий поведения, который
является равновесием в многоагентном представлении,
его представление в смешанных стратегиях является равновесием по Нэшу в нормальном представлении игры Ге.
Таким образом, единственным равновесием
в стратегиях поведения в игре примера
2.20.1 является
.
Пусть Ге– игра с совершенной
памятью и Г – ее нормальное представление
в стратегической форме. По теореме 2.3,
если– равновесие по Нэшу в Г и
- другой набор смешанных стратегий,
эквивалентный по поведению набору
,
тогда
также
является равновесием по Нэшу в Г (т.к.
переключение любой стратегии игрока в
равновесии на стратегию эквивалентную
по выигрышу не нарушает равновесия).
Так что для любого набора стратегий
поведения
,
смешанное представление
является равновесием в Г тогда и только
тогда, когда каждый набор смешанных
стратегий, у которого то же самое
представление по поведению
,
является равновесием в Г.
Следующая теорема показывает, что для
того, чтобы найти равновесие в
,
достаточно найти равновесие нормального
представления
,
т.к. любое равновесие в нормальном
представлении соответствует равновесию
в многоагентном представлении.
Теорема 4.2.1Если Ге– игра в
развернутой форме с совершенной памятью
и–
равновесие в нормальном представлении
Ге, тогда любое представление
в стратегиях поведения является
равновесием в многоагентном представлении
Ге.
Эта теорема вместе с теоремой существования равновесия в смешанных стратегиях в игре в стратегической форме приводит к следующей теореме.
Теоремай 4.2.2.В любой игре Ге в развернутой форме с совершенной памятью существует равновесие по Нэшу в стратегиях поведения.