3.9.Игры, в которых множество выборов бесконечно

Рассмотрим более широкий класс игр, в котором игроки могут иметь бесконечно много стратегий.

Пусть N – конечное множество игроков, N={1,2,..n}. Для каждогопусть- компактное метрическое пространство, которое обозначает множество всех чистых стратегий, имеющихся в распоряжении у игрока i. Конечное произведение компактных метрических пространствтакже является компактным. Метрическим пространством с метрикой,- метрика в пространстве,.

Пусть обозначает множество распределений вероятности на, т.е., если- это функция, которая приписывает неотрицательное числолюбому, которое является борелевским подмножеством,, и для любого счетного наборанепересекающихся друг с другом подмножеств.

(Напоминание: наименьший класс подмножеств на , содержащий все открытые множества из, все замкнутые множества из, все объединения конечного или счетного числа подмножеств из, все пересечения конечного или счетного числа подмножеств из, называется классом измеримых или Борелевских подмножеств.)

Сходимость смешанных стратегий определяется так.

Последовательность распределений вероятности изсходится к распределению вероятности, если для любой ограниченной непрерывной функции.

С такой сходимостью множество вероятностных распределений из также является компактным метрическим пространством.

Функция является измеримой по Борелю еслимножествоявляется Борелевским подмножествомC. Будем требовать, чтобы функции полезности игроков были измеримы и ограничены. Ограниченность означает .что существует такое число k, что.

Пусть и- два набора функций полезности, определенных наC, таких, чтоиявляются ограниченными, измеримыми функциями. Расстояние между наборами функцийиопределяется так:. Функции полезности при применении игроками смешанных стратегий подсчитываются так,.

Наборы функций полезности изавершают определение игры в стратегической форме.,. Если- равновесие в, тогда, конечно, не обязательно равновесие в. Даже еслииочень близки, равновесия вии могут быть очень далеки друг от друга.

Например, в игра с одним игроком

,,,мало.

Единственным равновесием в является 1, единственным равновесием вявляется 0. Расстояние междуиравно. Однако, еслииочень близки, существует определение равновесия такое, что можно наблюдать «непрерывность» равновесий.для любой игры в стратегической форме-равновесием называется такой набор смешанных стратегий, что ни один игрок не может рассчитывать на выигрыш больший, чем, отклоняясь от этого набора.

То есть является- равновесием в

если

Если , то-равновесие – это равновесие по Нэшу.

Теорема(В М, 3.3) Пустьитакие, как описано выше. Пусть- расстояние между наборами функций полезностии. Пусть-равновесие в. Тогдаявляется-равновесием в.

Доказательство:

==.

Теорема(М, 3.4) Пустьнепрерывны. Пустьявляется сходящейся последовательностью наборов смешанных стратегий из. Пусть-сходящаяся последовательность неотрицательных чисел, таких, чторавновесие игры. Пустьи. Тогдаявляется-равновесием в игре. В частности, если, тогдаявляется равновесием в.

Доказательство:

==.

Доказательство окончено.