3.8.Аукцион

Понятие равновесия по Байесу важно при анализе аукционов. Рассмотрим несколько простых примеров.

Рассмотрим сначала аукцион с nучастниками, которые хотят купить один неделимый товар. Каждый игрок знаетиндивидуальную ценность товара, т.е. сколько объект стоит для него.- индивидуальная ценность товара. Предположим, чтои возрастающая дифференцируемая функциятакая, что каждый игрок считает, что ценность объекта для других игроков – независимая случайная величина из [0,M].- это вероятность того, что любой игрок имеет ценность предмета меньшую, чем. В аукционе игрок подаёт запечатанное предложение цены. Объект достаётся тому, кто предложил самую большую цену. Он платит сумму, которую предложил, все остальные ничего не платят.

Обозначим:

- набор предложений цены.

- набор ценностей объекта для игроков.

Ожидаемый выигрыш -ого игрока:

.

Это игра Байеса, в которой тип каждого игрока определяется ценностью объекта для него.

Покажем, как найти равновесие по Байесу такое, что ставка (предложенная цена) выбирается игроком согласно возрастающей дифференцируемой функции . Игрокожидает, что все остальные игроки выберут ставки между 0 и, так что его ставка также не выше. Предположим, что когда ценность объекта для игрокаравна, он делает ставку. Другой игрокбудет делать ставку меньше, чемтогда и только тогда, когда, так как- возрастающая функция.

- вероятность того, что ставкавыиграет аукцион, т.к. типы остальных игроков независимо распределены согласноF.

Ожидаемый выигрыш - го игрока, если его ставка, а ценность объекта, такая:.

Но по определению равновесия оптимальная ставка для , если ценность объекта, равна. Так что производная пов точке=должна равняться 0. То есть.

Это уравнение значит, что .

Если типы распределены равномерно, так что ,, из формулы следует, что,.

При такой ставке выигрыш уменьшается, если число игроков увеличивается.

Мы рассмотрим аукцион, в котором ценность объекта для игрока не зависит от его ценности для других игроков, каждый игрок знает ценность, и это частная информация, и он считает, что ценности объекта для других игроков – независимые случайные величины.

Но могут быть другие типы аукционов.

II. Во многих аукционахценность объекта одна для всех, кто предлагает ставки, но она по-разному оценивается игроками, т.к. игроки имеют разную частную информация об объекте. Такой аукцион называетсяаукционом с общей стоимостью. Например, аукцион прав нефтяного бурения на данном участке земли. Ценность – сумма нефти под землёй, о которой игроки имеют разную информацию и по-разному её оценивают.

Рассмотрим аукцион с 2-я участниками. Аукцион на один объект с неизвестной общей стоимостью. Объект имеет денежную ценность, которая зависит от трёх независимых случайных величин . Каждая величина выбрана из [0,1] случайно, согласно равномерному распределению.

Игрок, которому достанется объект, извлечёт из него пользу, которая равна , гденеотрицательные константы, известные всем игрокам.

Во время аукциона 1-й игрок имеет информацию об , но не знает. Второй игрок знает, но не знает.

Так что тип 1-го игрока , а тип

2-го игрока .

Во время аукциона игроки подают запечатанные ставки и. Чья ставка больше, тот и получает объект. Если=, то игрок с вероятностью 0,5 получает объект. Оба игрока нейтральны к риску.

Плата:

.

Индекс jобозначает партнёраi-ого игрока.

Существует единственное линейное равновесие по Байесу, в котором ставки такие:

.

Чтобы это доказать, предположим, что 2-й игрок выбирает ставку как предписано, а 1-й игрок отклоняется и выбирает ставку bпри,, которые он пронаблюдал.

1-й игрок выиграет, если

, т.е. если

То есть по информации, которой располагает 1-й игрок, ставка bпринесёт ему победу с вероятностью, если это число находится между 0 и 1. Игрок 1 не будет использовать ставку, которая больше, чем 1, т.к. такая ставка больше, чем нужно, чтобы заведомо выиграть. Он не будет использовать ставку, которая даётY(b) меньше 0, т.к. такая ставка – заведомый проигрыш. Таким образом, условный ожидаемый выигрыш 1-го игрока (при условии, что его тип), если 2-ой игрок выбрал равновесную стратегию, равен: .

Подставляя определение Y(b) и выбираяbиз условия максимизации выигрыша, получаем.

Подставляя в определенииY(b) получаем, так что ставка удовлетворяет требованиюдля любыхииз [0,1].

Аналогично показывается, что ставка 2-го игрока наилучшая для него, если 1-й игрок будет придерживаться равновесной стратегии.

Рассмотрим случай и,. Тогда равновесная стратегия 1-го игрока – сделать ставку, равную 1.

Почему такая низкая?

Ведь ожидаемая величина равна 0,5, так что ожидаемая ценность объекта по имеющейся информации равна 100*0+100*0,01+100*0,5=51.

Почему 1-й игрок так осторожен?

Предположим, он сделал ставку 50. Может показаться, что такая ставка дает ему положительный ожидаемый выигрыш, т.к. ставка 50 меньше, чем ожидаемый выигрыш и достаточно высокая, чтобы была существенная вероятность выигрыша. Но согласно формулам, полученным раньше, такая ставка даст ожидаемый выигрыш -12, т.к. ().

Игрок 1 будет ожидать такие серьезные потери от ставки 50, потому что, если эта ставка выиграет, значит, равновесная ставка 2го игрока не больше 50 ()

Значит находится между 0 и 0.5 и условная ожидаемая ценность объекта

==

Все дело в том, что у 1 - го игрока появляется дополнительная информация, что ставка 50 выиграет и он может применить формулы, приведенные выше. Благодаря этой информации мы знаем, что . Поэтому благодаря этой информации можно оценитькак, а не.

При подсчете ожидаемого выигрыша конкретной ставки важно, что игрок оценивает объект по условно ожидаемой ценности, которая строится на основе текущей информации и дополнительной информации, которая возникает, если ставка выиграла аукцион. Эта условная ценность значительно ниже, чем ожидаемая ценность объекта, подсчитываемая по информации, которая есть у игрока во время подачи ставки. Этот эффект называется «проклятие победителя».

Рассмотрим случай, когда и, где- очень маленькое положительное число.

В этом случае равновесная стратегия 1го игрока – это ставка . Равновесная стратегия 2го игрока -. Хотяиодинаково незначительно влияют на ценность объекта,гораздо значительней по влиянию на ставку 1 - го игрока, т.к. это информация, которой он обладает частным образом, независимо от того, что знает 2 - й игрок, в то время как- общеизвестная информация. Приэта игра сводится к игре, в которой 1й игрок знает точно, что ценность объекта (,) лежит в пределах интервала (0,100), а 2й игрок знает ценность объекта.

Как показали Milgrom и Weber в 1985, предел равновесий Байеса при - это равновесие в смешанных стратегиях, в которых 2 - й игрок подает ставку, равную половине стоимости объекта. При этом 1 - й игрок подает ставку, выбранную из [0,50] согласно равномерному распределению. Она основывается на небольших сомножителях, не зависящих от того, что 2 – й игрок наблюдает во время аукциона.